А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Для этого достаточно показать, что ran(Ĥ|D ± i) плотнов D. В самом деле, пусть ψ ∈ C0∞ (R\{0}). Тогда ψ(k) = (k 2 + i)ϕ(k), где ϕ ∈ C0∞ (R\{0}). Значит,Z∞u(x, k)ψ(k) dk =−∞Z∞2u(x, k)(k + i)ϕ(k) dk = (Ĥ + i)Z∞−∞−∞u(x, k)ϕ(k) dk ∈ ran(Ĥ|D + i),то есть D ⊂ ran(Ĥ|D + i). Аналогично доказывается, что D ⊂ ran(Ĥ|D − i).Утверждение 5.10. Отображение f 7→ f+ задает волновой оператор Ω+ , то естьke−itĤ f+ − e−itĤ0 f kL2 → 0, t → −∞.Доказательство.
Ясно, чтоe−itĤ01f= √2πДокажем, чтоe−itĤf+ =Z∞Z∞2eikx−itk ϕ(k) dk.−∞2u(x, k)e−itk ϕ(k) dk.−∞∞P(−itĤ)nf+ . Докажем, чтоОпределим на множестве D функций f+ вида (5.36) оператор U (t)f+ =n!n=0R2U (t)f+ (x) = u(x, k)e−itk ϕ(k) dk и что U (t) = e−itĤ . Из (5.37) следует, чтоRĤf+ (x) =Z∞u(x, k)k 2 ϕ(k) dk.−∞Так как ϕ ∈ C0∞ (R\{0}), а u(x, k) ограничена по k на компактных подмножествах R\{0}, то по теоремеФубиниZ∞Z∞∞X2(−it)n2nU (t)f+ (x) =u(x, k)k ϕ(k) dk =u(x, k)e−itk ϕ(k) dk.n!n=0−∞−∞Отсюда видно, что U (t)f+ ∈ D и U (t + s) = U (t)U (s) для любых t, s ∈ R. Докажем, что U (t) являетсяунитарным, то есть U (t)∗ = U (−t). Пусть N ∈ N. Тогда для любых f+ , g+ ∈ Dhf+ , U (t)∗ g+ i = hU (t)f+ , g+ i =*+ * ∞+NXX (−itĤ)n(−itĤ)n=f+ , g+ +f+ , g+ =n!n!n=0n=N +1+ * ∞+*NXX (−itĤ)n(itĤ)n=f+ ,g+ +f+ , g+ .n!n!n=0n=N +1С другой стороны,hf+ , U (−t)g+ i =NXn=0*(itĤ)nf+ ,g+n!++*∞Xn=N +1(itĤ)nf+ ,g+n!Таким образом, нужно доказать, что для любого f+ ∈ D и t ∈ R∞X(−itĤ)nf+ → 0, N → ∞.n!n=N +12Положим ηN (k) = e−itk −NPn=0(−itk2 )n.n!ТогдаZ∞∞X(−itĤ)nfN (x) :=f+ (x) =u(x, k)ηN (k)ϕ(k) dk.n!n=N +1−∞46+.Пусть supp ϕ ⊂ K, где K — компактное подмножество R\{0}.
Так как ηN равномерно стремится к 0 наK, а u(x, k) равномерно ограничена, то fN равномерно сходится к 0 на [−R0 , R0 ]. Пусть x > R0 . Тогдаu(x, k) = βeikx +c(x, k)1x 2 +γ,где c(x, k) равномерно ограничена по x > R0 и k ∈ K. Интегрируя по частям, получаемZ∞e−∞i=xZ∞ikxiηN (k)ϕ(k) dk =xZ∞eikx (ϕ(k)ηN (k))′ dk =−∞eikx (ϕ′ (k)ηN (k) + ϕ(k)ηN −1 (k)(−2itk)) dk =−∞c(x)αN,xгде αN → 0 при N → ∞, а c(x) ограничена при x > R0 . Далее,Z∞−∞c(x, k)x12 +γηN (k)ϕ(k) dk =βN d(x)1x 2 +γгде βN → 0 при N → ∞ и d(x) ограничена.
Значит, |fN (x)| 6 const,αNx+βN1x 2 +γпри x > R0 . Аналогичнооценивается |fN (x)| при x 6 −R0 . Отсюда следует, что fN → 0 при N → ∞ в L2 (R). Унитарность U (t)доказана.L2 (R)L2 (R)f+ → −iĤf+ при t → 0 для любого f+ ∈Аналогично доказывается, что U (t)f+ → f+ и U(t)−1tD. Продолжим для каждого t ∈ R оператор U (t) по непрерывности на замыкание D. Тогда {U (t)} —однопараметрическая группа из унитарных операторов. Докажем, что U (t)g → g при t → 0 для любогоg ∈ D. Зафиксируем ε > 0.
Тогда существует функция f+ ∈ D такая, что kf+ −gk < ε. Значит, kU (t)g−gk 6kU (t)g − U (t)f+ k + kU (t)f+ − f+ k + kf+ − gk 6 kU (t)f+ − f+ k + 2kf+ − gk 6 3ε при достаточно малых t.Итак, {U (t)} — сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов. По теоремеСтоуна, существует самосопряженный оператор A такой, что U (t) = e−itA .
Так как (U (t)f+ )′ |t=0 = −iĤf+для f+ ∈ D и Ĥ|D существенно самосопряжен, то A = Ĥ и U (t) = e−itĤ .ОтсюдаZ∞ 1 ikx −itk2−itĤ−itĤ0h(t, x) := ef+ (x) − ef (x) =u(x, k) − √ eeϕ(k) dk.2π−∞По теореме Римана–Лебега, для любого x ∈ R h(x, t) → 0 при t → ∞. При x ∈ [−R0 , R0 ] и t ∈ R функцияh(x, t) равномерно ограничена, поэтому по теореме Лебега об ограниченной сходимостиZ|h(x, t)|2 dx → 0, t → ∞.[−R0 , R0 ]При x < −R01c(x, k)u(x, k) − √ eikx = αe−ikx +,12π|x| 2 +γпри x > R01u(x, k) − √ eikx =2π1c(x, k)β−√eikx + 1 +γ2πx2(в случае k > 0).
По теореме об ограниченной сходимости,Z ∞2Z2c(x,k)−itkeϕ(k) dk dx → 0, t → ∞.1+γ|x| 2|x|>R0 −∞Осталось доказать, чтоZ 02+∞Z Z221ikx−itk−ikx−itkβ̃ − √eϕ(k) dk +αeϕ(k) dk dx+2πx<−R0 −∞047+Z 02+∞ZZ1−ikx−itk2ikx−itk2 dx → 0, t → −∞.√α̃eϕ(k)dk+β−eϕ(k)dk2πx>R0 −∞0Это вытекает из следующего утверждения [3, т. 3, гл. XI, §3, лемма 3]: если s(k) — такая функция наинтервале (a, b), что s′′ ∈ L1 и s′ > 0, ϕ ∈ L2 (a, b), то2Z∞ Zikx−its(k)eϕ(k) dk dx → 0, t → −∞.0 (a, b)Аналогично строится волновой оператор Ω− .Из существования волнового оператора Ω+ следует, что оператор, получающийся при ограничении Ĥна некоторое подпространство Hac , унитарно эквивалентен Ĥ0 .
Значит, кратность абсолютно непрерывного спектра оператора Ĥ на R+ не меньше 2. С другой стороны, раньше было показано, что кратностьспектра не больше 2 и, кроме того, отсутствует сингулярный спектр. В итоге получаем следующее утверждение.2d′Теорема 5.13. Пусть Ĥ = − dx2 + V (x), где V (x) = W (x) при x ∈ [−R0 , R0 ], W ∈ L2 [−R0 , R0 ], иV ∈ L1 ({x : |x| > R0 }), V (x) → 0, |x| → ∞. Пусть выполнены неравенства (5.32) и (5.33). Тогда приE > 0 оператор Ĥ имеет двукратный спектр, причем спектральная мера эквивалентна мере Лебега, апри E < 0 спектр дискретный.2dПусть теперь Ĥ0 = − dx2 + U0 θ(x), где θ(·) — функция Хевисайда, Ĥ = Ĥ0 + V , где потенциал Vимеет те же свойства, что и в теореме 5.13.
Построим волновые операторы на P[U0 , +∞) H, где P[U0 , +∞)— спектральный проектор оператора Ĥ (в энергетическом представлении это оператор умножения нахарактеристическую функцию множества [U0 , +∞)). Если будет доказано, что волновые операторы существуют, то отсюда будет следовать, что на P[U0 , +∞) H спектр Ĥ будет иметь кратность не меньше 2.Пусть u0 (x, q) — решение уравнения −u′′ + U0 θ(x)u = (q 2 + U0 )u такое, что u0 (x, q) = c(q)eiqx , x > 0.Коэффициент c(q) подбирается так, чтобы отображениеϕ(q) 7→Z∞u0 (x, q)ϕ(q) dq−∞задавало изометрию из L2 (R) в L2 (R) (при этом образом будет P[U0 , +∞) H в силу утверждения 5.4). Пустьu(x, q) — решение уравнения −u′′ + (U0 θ(x) + V (x))u = (q 2 + U0 )u, асимптотики которого выбраны так,чтобы:√21.
при q > 0 u(x, q) − u0 (x, q) ∼ α(q)eiqx , u(x, q) − u0 (x, q) ∼ β(q)e−i q +U0 x ;x→+∞2. при q < 0 u(x, q) − u0 (x, q)∼x→+∞x→−∞α̃(q)e−iqx , u(x, q) − u0 (x, q)∼x→−∞√2β̃(q)ei q +U0 x .2dДальше точно так же, как для оператора − dx2 , доказывается, чтоΩ+Z∞u0 (x, q)ϕ(q) dq =−∞Z∞u(x, q)ϕ(q) dq.−∞Аналогично строится волновой оператор на P[0, U0 ] H.
В итоге получаем2dТеорема 5.14. Пусть Ĥ = − dx2 + U0 θ(x) + V , где функция V такая же, как в теореме 5.13. Тогдапри E < U0 спектр Ĥ однократный, а при E > U0 двукратный; в обоих случаях спектральная мераэквивалентна мере Лебега. При E < 0 спектр дискретный.5.13Периодический потенциалПусть V — периодическая обобщенная функция вида V = W ′ , где W ∈ Lloc2 . Тогда существует такаяконстанта γ, что W0 (x) = W (x) − γx является периодической.Всамомделе,пусть x0 — период функцииRV .
Зафиксируем функцию ϕ1 ∈ C0∞ (R) такую, что ϕ1 (x) dx = 1. Тогда для любой функции ϕ ∈ C0∞ (R)48RRимеет место разложение ϕ = ϕ0 + ϕ1 ϕ(x) dx, где ϕ0 ∈ C0∞ (R) и ϕ0 (x) dx = 0. Значит, ϕ0 = ψ ′ , гдеψ ∈ C0∞ иZZZZ′W (x + x0 )ϕ(x) dx = W (x + x0 )ψ (x) dx + ϕ(t) dt W (x + x0 )ϕ1 (x) dx ===ZZW (x)ψ ′ (x) dx +W (x)ϕ(x) dx +ZZϕ(t) dtϕ(x) dxZZW (x + x0 )ϕ1 (x) dx =(W (y + x0 ) − W (x))ϕ1 (x) dx,то есть W (x + x0 ) = W (x) + c, так что W (x) − c xx0 является периодической функцией.Рассмотрим дифференциальное выражение l(ϕ) = −(ϕ[1] )′ − W0 (x)ϕ[1] − W02 (x)ϕ + γϕ и порожденнуюим квадратичную формуZZq(ϕ) = − [(ϕ[1] )′ + W0 (x)ϕ[1] + W02 (x)ϕ + γϕ]ϕ∗ dx = (|ϕ′ |2 − W0 (x)(ϕ′∗ ϕ + ϕ∗ ϕ′ ) + γ|ϕ|2 ) dx.Докажем, что существует a < 1 такое, чтоZZZ W0 (x)(ϕ′∗ ϕ + ϕ∗ ϕ′ ) dx 6 a |ϕ′ |2 dx + b |ϕ|2 dxдля любого ϕ ∈ W21 (R).
Действительно,Z ZX W0 (x)(ϕ′∗ ϕ + ϕ∗ ϕ′ ) dx = W0 (x)(ϕ′∗ ϕ + ϕ∗ ϕ′ ) dx 6 n∈Z[nx0 , (n+1)x0 ]6Xn∈Z2kW0 kL2 [nx0 , (n+1)x0 ] kϕkC[nx0 , (n+1)x0 ] kϕ′ kL2 [nx0 , (n+1)x0 ] =: A.По неравенству Соболева, для любого ε > 0 существует такая константа C > 0 (не зависящая от n), чтоkϕkC[nx0, (n+1)x0 ] 6 εkϕ′ kL2 [nx0 , (n+1)x0 ] + CkϕkL2 [nx0 , (n+1)x0 ] . Далее,kϕkL2 [nx0 , (n+1)x0 ] kϕ′ kL2 [nx0 , (n+1)x0 ] 6Cε ′ 2kϕ kL2 [nx0 , (n+1)x0 ] + kϕk2L2 [nx0 , (n+1)x0 ] .CεОтсюда и из периодичности функции W0 (x) получаемA 6 2kW0 kL2 [0, x0 ]X(2εkϕ′ k2L2 [nx0 , (n+1)x0 ] +n∈Z= 4εkW0 kL2 [0, x0 ] kϕ′ k22 + 2C2kϕk2L2 [nx0 , (n+1)x0 ] ) =εC2kW0 kL2 [0, x0 ] kϕk22 .εПри достаточно малых ε коэффициент при kϕ′ k22 будет меньше 1.По теореме 1.8, область определения формы q совпадает с W21 (R).
При этом q однозначно порождаетсамосопряженный оператор Ĥ с областью определенияD(Ĥ) = ψ ∈ W21 (R)|∃g ∈ L2 (R) : ∀ϕ ∈ W21 (R) q(ψ, ϕ) = hg, ϕiL2([3], доказательство теоремы VIII.15). Отсюда выводится, что D(Ĥ) состоит из функций, абсолютно непрерывных вместе с квазипроизводными и таких, что l(ψ) ∈ L2 .Найдем спектр оператора Ĥ и его обобщенные собственные векторы. Оснащение строим с помощьюоператора Kϕ = −(ϕ[1] )′ − W0 (x)ϕ[1] − W02 (x)ϕ + c0 (1 + x2 )ϕ, где c0 — достаточно большое число, такое,что K — положительно определенный оператор и обратный к нему является оператором Гильберта–Шмидта.Так же, как и в §5.8, доказывается, что обобщенный собственный вектор имеет вид F (ϕ) =R(c1 ϕ1 + c2 ϕ2 )ϕ dx, где ϕ1 , ϕ2 — линейно независимые решения уравнения Ĥϕj = Eϕj , а ϕ ∈ H+ и имееткомпактный носитель.
Кроме того, можно показать, что множество таких функций ϕ плотно в L2 (R), такчто преобразование Фурье однозначно продолжается на все L2 и кратность спектра не больше 2.Так как потенциал V является периодическим с периодом x0 , то Ĥ перестановочен с оператором сдвигаTx0 ϕ(x) = ϕ(x − x0 ). Этот оператор унитарный, причем он и его обратный оставляют подпространствоD(Ĥ) инвариантным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
