А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В самом деле, рассмотрим оператор Ĥ = −∆ + r2 на S(R3 ). Как было показано, он имеет полную ортонормированную систему собственных функций, которые являются бесконечногладкими, при этом кратность каждого собственного значения конечна. Пусть HE — подпространство H,состоящее из собственных функций оператора Ĥ с собственным значением E.
Тогда HE конечномерно исостоит из гладких функций. Так как потенциал r2 является центрально-симметричным, то на бесконечногладких функциях Ĥ и L̂xj коммутируют. Отсюда следует, что если f ∈ HE , то L̂2 f ∈ HE и L̂z f ∈ HE .Рассмотрим действие L̂2 и L̂z на HE . Так как HE конечномерно и состоит из гладких функций, то на немоператоры ограничены и коммутируют, а значит, сильно коммутируют и поэтому имеют полную системуобщих собственных векторов. Если f ∈ HE — собственный вектор L̂2 и L̂z с собственными значениями aи b соответственно, то в силу гладкости она имеет вид f (~r) = f˜(r)g(θ, ϕ), где g удовлетворяет уравнениям(6.3) и (6.4).
Докажем, что множество M таких g образует полную систему в L2 (S 2 ). Действительно, еслисуществует функция g̃, ортогональная всем элементам M , то функция χ[0, 1] (r)g̃(θ, ϕ) будет ортогональнавсем собственным векторам Ĥ, что противоречит полноте их системы.Замечание. Аналогично доказывается, что оператор Лапласа–Бельтрами на n−1-мерной сфере имеетполную систему бесконечно гладких собственных функций. Другое доказательство приведено в [9].Из доказанного следует, что операторы L̂2 и L̂z являются существенно самосопряженными на S(R3 ),их замыкания сильно коммутируют, а спектр является точечным.Найдем собственные значения и общие собственные векторы операторов L̂2 и L̂z . Положим L̂± =L̂x ± iL̂y . Тогда L̂2 = L̂− L̂+ + L̂2z + ~L̂z .
Пусть |λ, mi ∈ H — такой вектор, чтоL̂2 |λ, mi = ~2 λ|λ, mi, L̂z |λ, mi = ~m|λ, mi.Так как [L̂2 , L̂± ] = 0 и [L̂z , L̂± ] = ±~L̂± , то состояния L̂± |λ, mi также являются собственными векторамиL̂2 и L̂z с собственными значениями ~2 λ и ~(m ± 1) соответственно:L̂2 (L̂± |λ, mi) = L̂± (L̂2 |λ, mi) = ~2 λL̂± |λ, mi,2L̂z (L̂± |λ, mi) = L̂± (L̂z |λ, mi) + [L̂z , L̂± ]|λ, mi = ~(m ± 1)L̂± |λ, mi.Из равенства L̂ = L̂2x + L̂2y + L̂2z следует, что при фиксированном λ спектр L̂z ограничен сверху и снизу,поэтому существует максимальное положительное значение mmax = l такое, что L̂+ |λ, li = 0 (где |λ, liполучен из |λ, mi многократным применением L̂+ ).
Применим оператор L̂2 к вектору |λ, li:L̂2 |λ, li = L̂− L̂+ |λ, li + L̂2z |λ, li + ~L̂z |λ, li = ~2 l(l + 1)|λ, li.57Следовательно, λ = l(l + 1).Аналогично доказывается, что существует минимальное значение mmin , для которого L− |λ, mmin i = 0.При этом~2 l(l + 1)|λ, mmin i = L̂2 |λ, mmin i = L̂+ L̂− |λ, li + L̂2z |λ, mmin i − ~L̂z |λ, li = ~2 mmin (mmin − 1)|λ, li.Отсюда и из условия mmin 6 l получаем mmin = −l. Значит, состояние |λ, −li получается из состояния|λ, li применением L̂− 2l+1 раз. Таким образом, 2l+1 целое и поэтому l может быть целым или полуцелым.Далее вектор состояния |λ, mi будем обозначать |l, mi.Обозначим через Ylm (θ, ϕ) элементы |l, mi в координатном представлении на сфере в R3 . Они удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:~∂ϕ Ylm (θ, ϕ) = ~mYlm (θ, ϕ),i−~2(6.5)1122∂θ sin θ∂θ +∂ϕ Ylm (θ, ϕ) = ~ l(l + 1)Ylm (θ, ϕ).sin θsin2 θ(6.6)Из уравнения (6.5) получаем, что Ylm (θ, ϕ) = Θlm (θ)eimϕ , ϕ ∈ [0, 2π].
Отсюда следует, что m (и, следовательно, l) может быть только целым.Подставив в (6.6) выражение для Ylm , имеем уравнение для функций Θlm (θ):1m2∂θ (sin θ∂θ Θlm ) −Θlm + l(l + 1)Θlm = 0.sin θsin2 θРегулярные на сфере решения этого уравнения называются присоединенными полиномами ЛежандраΘlm (θ) = Nlm Plm (cos θ),где Nlm — нормировочный коэффициент,Plm (cos θ) =(−1)l(sin θ)|m|2l l!dd cos θl+|m|(sin θ)2l .Нормировочный коэффициент выбирается так, чтобы система {Ylm (θ, ϕ)} была ортонормирована на единичной сфере:ZYl∗′ m′ (θ, ϕ)Ylm (θ, ϕ) sin θ dθ = δll′ δmm′ .S2Для этого надо положитьYlm (θ, ϕ) = (−1)m ils2l + 1 (l − |m|)! mP (cos θ)eimϕ .4π (l + |m|)! lФункции Ylm называются шаровыми функциями или сферическими гармониками.Пусть |l, li — один из собственных векторов оператора L̂2 в L2 (R3 ).
Рассмотрим подпространствоH̃ ⊂ L2 (R3 ), натянутое на векторы {L̂m− |l, li : m = 0, . . . , 2l + 1}. Оно инвариантно относительно действияоператоров L̂z и L̂± , а значит, относительно любых линейных комбинаций L̂x , L̂y и L̂z . Докажем, что H̃инвариантно относительно T (SO(3)). В самом деле, если U ∈ SO(3), то это поворот вокруг некотороговектора ~l. Если U (t) — однопараметрическая подгруппа вращений вокруг вектора ~l, то генератором TU(t)~~будет h~l, L̂i, поэтому по теореме Стоуна T (U ) = exp(ith~l, L̂i) для некоторого t ∈ R.
Так как H̃ инвари~антно относительно оператора h~l, L̂i (который на этом подпространстве ограничен), то оно инвариантно~относительно exp(ith~l, L̂i).С другой стороны, H̃ не содержит собственных инвариантных подпространств представления T (SO(3)).В самом деле, в обратном случае H̃ разбивалось бы на два ортогональных инвариантных подпространства, на каждом из которых L̂2 совпадает в ~2 l(l + 1)I.
Значит, на H̃ существуют два различных вектора,которые являются собственными векторами L̂2 и L̂z с одними и теми же собственными значениями, чтопротиворечит построению H̃. Таким образом, на H̃ задано неприводимое представление группы SO(3).586.4Представления SU(2) и спиновый моментВ предыдущем параграфе были построены неприводимые представления группы SO(3), накрывающейгруппой которой является SU (2); при этом SO(3) = SU (2)/{±1} [18, стр. 105]. Классификация неприводимых представлений группы SU (2) связана с понятием спинового момента.Рассмотрим сильно непрерывное унитарное представление группы SU (2) в сепарабельном гильбертовом пространстве. Так как группа SU (2) компактна, то ее представление является прямой суммой(конечномерных) неприводимых унитарных подпредставлений.Пусть T — неприводимое унитарное представление группы SU (2) в конечномерном пространстве H.Так как матрицы из группы SU (2) диагонализуются, то каждый элемент g ∈ SU (2) имеет вид g = eX ,где X ∈ su(2).
Следовательно, T (g) = eT (X) . Поэтому если подпространство инвариантно относительноTsu(2) , то оно инвариантно относительно TSU(2) , и если оператор коммутирует со всеми T (X), X ∈ su(2),то он коммутирует со всеми T (g), g ∈ SU (2).
Алгебра Ли su(2) группы SU (2) имеет генераторы1 0 i1 0 11 i 0, X2 =, X3 =,X1 =2 i 02 −1 02 0 −iудовлетворяющие коммутационным соотношениям [Xj , Xk ] = −εjkl Xl . Пусть Uj (t) — однопараметрическая подгруппа, порожденная Xj . ПоложимŜj =~~T Uj (t) − IT (Xj ) = lim.ii t→0tТогда Ŝj — самосопряженные операторы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям[Ŝj , Ŝk ] = i~εjkl Ŝl .(6.7)~ˆ = (Ŝ1 , Ŝ2 , Ŝ3 ) называется оператором спина.Оператор SПоложим Ŝ 2 = Ŝ12 + Ŝ22 + Ŝ32 . Этот оператор коммутирует со всеми Ŝj . Значит, по лемме Шура, Ŝ = λI.Найдем все возможные значения λ.
Положим Ŝ± = Ŝ1 ± iŜ2 . Точно так же, как в предыдущем параграфе,доказывается, что собственные значения оператора Ŝ3 равны −~s, −~(s−1), . . . , ~(s−1), ~s, где s — целоеили полуцелое число, называемое спином, а собственные векторы переводятся друг в друга с помощьюоператоров Ŝ± . При этом значение λ равно ~2 s(s + 1). Все собственные значения Ŝ однократны (этодоказывается так же, как в предыдущем параграфе для группы SO(3)).Обратно, пусть s — произвольное целое или полуцелое число.
Докажем, что тогда реализуется неприводимое представление группы SU (2) такое, что Ŝ 2 = ~2 s(s + 1)I. В самом деле, рассмотрим пространствоC2s+1 и выберем в нем ортонормированную систему векторов {ej }sj=−s . Положим Ŝ3 ej = ~jej ,Ŝ+ ej =Ŝ− ej =p~ (s + j + 1)(s − j)ej+1 , если j < s,0, если j = s,p~ (s + j)(s − j + 1)ej−1 , если j > −s,0, если j = −s,1Ŝ1 = 12 (Ŝ+ + Ŝ− ), Ŝ2 = 2i(Ŝ+ − Ŝ− ).
Тогда можно показать, что выполнены коммутационные соотношения(6.7). Значит, построено неприводимое конечномерное представление алгебры su(2). Это представлениеинтегрируется до неприводимого представления односвязной группы, алгеброй Ли которой является su(2),то есть группы SU (2).Замечание 1. Представление группы SU (2) связывается со спином в нерелятивистской теории. Врелятивистской теории рассматривается классификация неприводимых представлений группы Пуанкаре[4, т. 2, гл. 17], которые характеризуются значениями массы и спина.Замечание 2. Представления группы SU (2) с полуцелыми значениями s иногда рассматриваются какдвузначные представления группы SO(3).6.5Вспомогательные утверждения об операторе Штурма–Лиувилля в L2 (R+ )Сначала докажем неравенство Гильберта [22, стр.
212].Утверждение 6.1. Пусть ϕ ∈ W21 (R+ ) имеет компактный носитель в (0, +∞). ТогдаZ∞ 1′22|ϕ (x)| − 2 |ϕ(x)|dx > 0.4x059Если c > 14 , то для любого x0 > 0 квадратичная формаZx0 cq(ϕ) =|ϕ′ (x)|2 − 2 |ϕ(x)|2 dxx0не является ограниченной снизу на множестве функций из W21 (0, x0 ) с компактным носителем.Доказательство. Первое утверждение следует из того, чтоZ∞ Z∞ ϕ 212′2dx = ϕ′ −|ϕ (x)| − 2 |ϕ(x)| dx > 0.4x2x00√Для доказательства второго утверждения рассмотрим последовательность функций ϕε (x) = ηε (x) x, где0, x ∈ [0, ε], x−ε , x ∈ [ε, 2ε],εηε (x) =1,x ∈ [2ε, x0 /2],2 − 2xx0 , x ∈ [x0 /2, x0 ].Тогда для любого M > 0 выполнено q(ϕε ) + M hϕε , ϕε i → −∞ при ε → 0.2dРассмотрим в L2 (R+ ) оператор Ĥ = − dx2 + V (x), где V = V1 + V2 , а Vj имеют следующие свойства:1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
