А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Кроме того,fE = KgE , где gE ∈ L2 (R+ ), что дает ограничение на рост функции f на бесконечности.Шаг 4. В пространстве Hlm соответствующий обобщенный собственный вектор имеет вид fEr(r) Ylm (θ, ϕ).Замечание 1. Азимутальное квантовое число m не входит в радиальное уравнение, поэтому собственные значения энергии одинаковы для всех m, то есть имеет место вырождение энергии по m. Этоможно связать с существованием некоммутирующих между собой интегралов движения. Пусть [Ĥ, Â] = 0,[Ĥ, B̂] = 0 (то есть A, B — интегралы движения) и [Â, B̂] 6= 0.
Тогда существуют общие (обобщенные)собственные векторы пары Ĥ, Â: Ĥϕa, E = Eϕa, E , Âϕa, E = aϕa, E . Так как [B̂, Ĥ] = 0, то Ĥ(B̂ϕa, E ) =B̂ Ĥϕa, E = E B̂ϕa, E , то есть B̂ϕa, E — собственная функция Ĥ с собственным значением E. Так как Â иB̂ не коммутируют, то существует вектор ϕa, E такой, что B̂ϕa, E 6= cϕa, E , то есть ϕa, E и B̂ϕa, E — различные собственные функции оператора Ĥ, соответствующие одному и тому же собственному значениюE. В нашем случае в качестве Â и B̂ можно взять L̂z и L̂+ или L̂z и L̂− .63Замечание 2. Если V (r) = o(r−2 ) при r → 0, то при l > 0 в уравнении для fE есть точка поворота,препятствующая “классическому” проникновению частицы в точку r = 0. Часто Vэфф при E < 0 имеетдве точки поворота, а при E > 0 — одну. Соответственно при E < 0 спектр дискретен и ограничен снизу(он может быть пустым), а при E > 0 спектр непрерывен.c1~2Замечание 3. Если 2µ~2 V (r) < − r 2 в окрестности нуля, где c > 4 , то оператор − 2µ ∆+V (r) не являетсяограниченным снизу в смысле форм на C0∞ (R3 \{0}), и стандартной процедуры построения самосопряженного расширения нет.
Если r2 V (r) → −∞, то Vэфф → −∞, что соответствует падению на центр.r→0r→0Рассмотрим случай свободного движения, то есть V = 0. Так как при преобразовании Фурье оператор−∆ переходит в положительно определенный оператор |p|2 с непрерывным спектром, то спектр оператораШредингера тоже непрерывный и совпадает с R+ . Уравнение для радиальной функции имеет вид2 ′l(l + 1)′′2Rkl + Rkl + k −Rkl = 0.(6.9)rr2При l = 0 это уравнение можно написать, какd2(rRk0 ) + k 2 rRk0 = 0,dr2откуда Rk0 = c1 sinrkr + c2 cosrkr .
Для решения уравнения с l 6= 0 делаем подстановку Rkl = rl χkl . Получаемуравнение для χkl :2(l + 1) ′χ′′kl +χkl + k 2 χkl = 0.rχ′Продифференцировав это уравнение по r и подставив χ̃ = rkl , получаем, что χ̃ удовлетворяет уравнениюдля χk, l+1 . Отсюда следует, чтоl1 dχkl =χk0r drи решение (6.9) имеет видRkl = C1 jl (kr) + C2 nl (kr),гдеl1 dsin z,z dzzlcos z1 dnl (z) = (−1)l+1 z lz dzzjl (z) = (−1)l z l— сферические функции Бесселя и Неймана соответственно. При малых z выполнено jl (z) ∼ z l , nl (z) ∼z −(l+1) , поэтому C2 = 0. При z ≫ l имеем1π1πjl (z) ∼ cos z − (l + 1) , nl (z) ∼ sin z − (l + 1) .z2z2Таким образом, общее решение стационарного уравнения Шредингера имеет видψ(~r) =∞ XXClm jl (kr)Ylm (θ, ϕ).l=0 |m|6lТеперь рассмотрим случай потенциальной ямы:V (r) = −U0 θ(a − r), U0 > 0.(6.10)При −U0 < E < 0 получаем связанные состояния.
Так же, как для (6.9), при r > a находим решение ввидеl1 dlREl = Cl rRE0 ,r drqгде k = 2µ|E|~2 . Так как собственная функция не может экспоненциально возрастать на бесконечности,q−krто RE0 = C e r . При r < a REl = C̃jl (κr), где κ = 2µ(U~02+E) . Условия склейки для потенциала (6.10)— это условия C 1 -гладкости. Отсюда получаем собственные значения оператора Шредингера. При l = 0эти условия имеют видkctgκa = − .κ6422При U0 < π8µa~2 это уравнение не имеет решений, то есть нет связанных состояний. Это можно объяснитьследующим образом: флуктуация кинетической энергии оказывается больше глубины ямы, и частица неможет удерживаться в яме. Заметим, что в одномерном случае связанное состояние всегда есть.Рассмотрим случай потенциальной ямы с бесконечными стенками:0, r < a,U (r) =∞, r > a.Так же, как для одномерного случая, можно показать, что Rkl (a) = 0.
Отсюда получаем jl (ka) = 0, тоесть k = zanl , где znl — n-й нуль сферической функции Бесселя jl . Таким образом, дискретный спектр~2 z 2энергии Enl = 2µanl2 образует двухпараметрическое семейство. При l = 0 минимальное значение k равноπa , то есть основное состояние имеет ту же энергию, что и в соответствующей одномерной задаче.6.7Кулоново полеРассмотрим движение в поле с потенциалом U = − αr , где α > 0 отвечает притяжению, α < 0 — отталкиванию. При α = e2 это соответствует атому водорода, при α = Ze2 — одноэлектронному иону.Радиальное уравнение Шредингера для случая связанных состояний (E < 0) может быть записано ввиде′2l(l + 1) Rkl2Rkl′′+−− k 2 Rkl = 0,(6.11)Rkl+rrBrrq~2где k = 2µ|E|~2 , rB = µα — боровский радиус. Найдем его решения.Способ 1. Перейдем к безразмерной переменной x = 2kr и введем функцию Φ(x), выделив регулярныеасимптотики при x → 0 (xl ) и x → ∞ (e−x/2 ): R = N xl e−x/2 Φ(x).
Подставив это в (6.11), получаемуравнения Куммера для Φ:xΦ′′ + (β − x)Φ′ − γΦ = 0,(6.12)где β = 2(l + 1), γ = l + 1 − kr1B . Регулярным при x = 0 решением уравнения (6.12) является вырожденнаягипергеометрическая функцияΦ(γ, β, x) = 1 +γγ(γ + 1) x2γ(γ + 1) .
. . (γ + n − 1) xnx++ ···++ ...ββ(β + 1) 2!β(β + 1) . . . (β + n − 1) n!Если γ + n − 1 6= 0 ни при каком n, то Φ(x) ∼ ex при x → ∞, и соответствующее решение не принадлежитоснащению гильбертова пространства. Если −γ ∈ Z+ , то ряд в некоторый момент обрывается. ТогдаR ∈ L2 ((0, ∞), r2 dr) и решение является собственным вектором для дискретного спектра. Условие обрываряда1γ =l+1−= −nrkrB(nr — радиальное квантовое число) приводит к квантованию энергии En = − 2rBαn2 , где n = nr + l + 1 —главное квантовое число, принимающее натуральные значения. Так как два целых числа nr и l входят ввыражение для n в виде суммы, то возникает дополнительное вырождение уровней энергии.
При заданномn орбитальное квантовое число l может изменяться от 0 до n − 1, поэтому полная кратность вырожденияgn уровня с заданным n равнаn−1Xgn =(2l + 1) = n2 .l=0Вырожденная гипергеометрическая функция при условии обрыва ряда становится полиномом, принадлежащим семейству обобщенных полиномов Лагерра np!d(p!)2qqxΦ(q − p, q + 1, x) =ee−x xp−q ,Lp (x) = (−1)q!(p − q)!(p − q)!dxгде p − q ∈ Z+ . Таким образом, радиальную функцию дискретного спектра можно записать в видеRnl = Nnl xl e−x/2 L2l+1n+1 (x),где Nnl определяется из условияR∞02 2Rnlr dr = 1 и равна Nnl =1/22 [(n−l−1)!]n2 [(n+l)!]3/2 .Способ 2.
Собственные векторы и собственные значения можно найти с помощью метода факторизации. Пусть оператор Â имеет вид Â = θ̂1∗ θ̂1 + λ1 . По индукции положим Âi+1 = θ̂i θ̂i∗ + λi и допустим,65∗что существуют θ̂i+1 и λi+1 такие, что Âi+1 = θ̂i+1θ̂i+1 + λi+1 . Спектры операторов θ̂i θ̂i∗ и θ̂i∗ θ̂i одинаковыс точностью до {0}. Предположим, что для всех i оператор θ̂i∗ ядра не имеет, а θ̂i имеет нетривиальноеядро, дискретный спектр оператора Â лежит в {E < E0 }, E0 ∈ R, и λn → E0 . Докажем, что {λi } — этоn→∞последовательность точек дискретного спектра.
Пусть(θ̂1∗ θ̂1 + λ1 )ψ = Eψ.(6.13)Если θ̂1 ψ = 0, то E = λ1 . Пусть θ̂1 ψ 6= 0. Подействуем оператором θ̂1 на уравнение (6.13) и получим(θ̂1 θ̂1∗ + λ1 )θ̂1 ψ = E θ̂1 ψ,то есть(6.14)Â2 ψ1 = Eψ1 ,где ψ1 = θ̂1 ψ. Значит,(θ̂2∗ θ̂2 + λ2 )ψ1 = Eψ1 .Если θ̂2 ψ1 = 0, то E = λ2 .
Если θ̂2 ψ1 6= 0, то действуем оператором θ̂2 на (6.14), и т. д. Так как hθ̂i∗ θ̂i ϕ, ϕi =hθ̂i ϕ, θ̂i ϕi > 0, то спектр θ̂i∗ θ̂i неотрицательный. Поскольку E < E0 и λn → E0 , то E − λn < 0 дляn→∞некоторого n ∈ N и поэтому θ̂n−1 ψn−2 = ψn−1 = 0, то есть E = λn−1 . Таким образом, если E принадлежитдискретному спектру Â, то E = λn для некоторого n. Обратно, пусть E = λn . По предположению,оператор θ̂n имеет нетривиальное ядро. Пусть ψ ∈ ker θ̂n . Тогда Ân ψ = Eψ, откуда∗∗∗ψ = θn−1Ân ψ = E θ̂n−1ψ.Ân−1 θ̂n−1∗∗Так как ядро оператора θ̂n−1тривиально, то θ̂n−1ψ 6= 0 и E является собственным значением Ân−1 .Дальше по индукции доказывается, что E является собственным значением Â.Применим этот метод для оператора = p̂2r +l(l + 1)~22c− ,r2r∂где p̂r = −i~( ∂r+ 1r ) — оператор, канонически сопряженный к радиальной координате r (в частности, онd22 dудовлетворяет коммутационным соотношениям [p̂r , f (r)] = ~i f ′ (r)).
Оператор p̂2r равен −~2 ( dr2 + r dr ), тоесть совпадает с радиальной частью оператора Лапласа. Ищем операторы θ̂j в видеbjbj∗θ̂j = p̂r + i aj +, θ̂j = p̂r − i aj +.rrТогдаθ̂j∗ θ̂j = p̂2r + a2j +b2j2aj bjbj ~+ 2− 2 ,rrrоткуда находим условия на a1 , b1 :a1 b1 = −c, b1 (b1 − ~) = l(l + 1)~2 .cРешив эту систему, получаем b1 = ~(l + 1), a1 = − ~(l+1)или b1 = −l~, a1 =cl~ .Можно показать, что впервом случае θ̂1 имеет нетривиальное ядро, а во втором не имеет (для этого решаем соответствующеедифференциальное уравнение и оцениваем поведение решения на бесконечности). Кроме того, в первомслучае θ̂1∗ не имеет нетривиального ядра.
Таким образом,a1 = −cc2, b1 = ~(l + 1), λ1 = −.~(l + 1)(l + 1)2 ~2Теперь найдем остальные собственные значения. Из равенства∗θ̂j+1θ̂j+1 + λj+1 = θ̂j θ̂j∗ + λjполучаем условия на aj+1 , bj+1 и λj+1 : aj+1 bj+1 = aj bj ,bj+1 (bj+1 − ~) = bj (bj + ~),λj+1 + a2j+1 = λj + a2j .66По индукции доказывается, что θ̂j+1 имеет нетривиальное ядро тогда и только тогда, когда в качестверешения этой системы беретсяaj+1 = −cc2, bj+1 = (l + j + 1)~, λj+1 = −.(l + j + 1)~(l + j + 1)2 ~2Собственный вектор, соответствующий собственному значению λj+1 , имеет вид θ̂j∗ . .
. θ̂1∗ ψ0 , где ψ0 — решение Âψ0 = λ1 ψ0 .6.8Симметрия SO(4) для кулонова поляКак было показано, при движении в кулоновом поле уровни энергии En зависят только от n = nr +l+1, тоесть имеет место дополнительное вырождение. Оказывается, что это связано с наличием дополнительногоинтеграла движения.При классическом движении частицы в кулоновом поле имеет место специфический для этого полязакон сохранения. А именно, вектор Лапласа–Рунге–Ленца~p×Lα~r~= ~A−µrявляется интегралом движения. В квантовой механике этой величине соответствует симметрический оператор~rˆ~ ~ ~~ˆ = 1 (p̂~ × L̂A− L̂ × p̂) − α .2µrРассмотрим ограничение этого оператора на (конечномерное) подпространство HE собственных функций~ˆ коммутирует с Ĥ.гамильтониана Ĥ, соответствующих значению энергии E. На этом подпространстве AКроме того, выполнены следующие коммутационные соотношения:[Lj , Ak ] = i~εjkl Al , [Aj , Ak ] =2~εjkl Ll E.iµОтсюда следует, что Âj коммутирует с L̂j , но не коммутирует с L̂2 .
Таким образом, имеется новая сохраняющаяся величина, не измеримая одновременно с другими сохраняющимися величинами, что и приводитк дополнительному вырождению.ПоложимrL̂jµl̂j =, ûj = −Âj.~−2~2 EДля этих операторов коммутационные соотношения имеют вид[l̂j , ûk ] = iεjkl ûl , [ûj , ûk ] = iεjkl l̂l , [l̂j , l̂k ] = iεjkl ˆll .Введем операторыˆ), ~ˆj− = 1 (~ˆl − ~uˆ).~ˆj+ = 1 (~ˆl + ~u22Для них имеем[ĵ+s , ĵ+k ] = iεskl ĵ+l , [ĵ−s , ĵ−k ] = iεskl ĵ−l , [ĵ+s , ĵ−k ] = 0.Эти коммутационные соотношения с точностью до умножения на мнимую единицу совпадают с коммутационными соотношениями алгебры so(4), то есть операторы ij± задают некоторое ее представление.22222222Так как операторы ĵ+z , ĵ−z , ĵ+= ĵ+x+ ĵ+y+ ĵ+zи ĵ−= ĵ−x+ ĵ−y+ ĵ−zкоммутируют, то HE имеет2базис из векторов, являющихся собственными для всех этих операторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
