А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Определим величины Ik (α) по формуле (7.1). Для каждого m = (m1 , . . . , mn ) ∈ Zn и каждого ~ > 0 через αm (~)обозначим такое α, что1Ik (α) = 2π~ mk + lj4(если оно существует).p2+ V (x) (при этом на потенциал V накладываются некоторые условия гладкости иПусть H = 2m~2роста: см. [11, стр.
268 и 59]). Рассмотрим семейство операторов Ĥ(~) = − 2m∆ + V (x), ~ ∈ (0, h0 ). Пустьдля любого ~ спектр Ĥ(~) в интервале (E ′ , E ′′ ) чисто дискретен. Тогда утверждается, что при малых ~собственные значения оператора Ĥ(~) в интервале (E ′ , E ′′ ) имеют видEm (~) = E(αm (~)) + O(~2 ),где E(α) — значение функции Гамильтона на Λα , а |O(~2 )| 6 C0 ~2 , где C0 не зависит от ~ и m [11, теорема13.3].Замечание. Эта теорема в [11] приводилась в несколько большей общности.
Во-первых, не предполагалось, что движение условно-периодическое. Рассматривалось семейство лагранжевых многообразийΛα , где число параметров α равнялось размерности одномерной группы гомологий Λα ; при этом предполагалось, что Λα инвариантны относительно фазового потока и что значение функции Гамильтона наних постоянно. Во-вторых, гамильтониан имел более общий вид и Ĥ являлся, вообще говоря, псевдодифференциальным оператором.7.4Схема доказательства правил квантованияЗапишем уравнение Шредингера в виде−λ−2 ∆ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x),где λ =1~— большой параметр, и будем искать его решения в виде формального рядаψ(x, λ) = eiλS(x)∞X(iλ)−j ϕj (x).(7.2)j=0Подставив этот ряд в уравнение и приравняв к нулю коэффициент при (iλ)0 , получим, что S(x) являетсярешением уравнения Гамильтона–Якоби.Пусть Λ = Λα для некоторого α, Ω ⊂ Λ — односвязная область, диффеоморфно проектирующаясяв Rnx .
Тогда Ω задается как график отображенияx 7→ ▽S(x), где S — решение уравнения Гамильтона– — производная меры dσ по dx. Тогда можно показать, что вЯкоби. Пусть dσ — объем на Λ, J(x) = dσdxpразложении (7.2) с точностью до числовой константы ϕ0 (x) = J(x).Пусть точка r ∈ Λ является особой. Тогда существует разбиение (1, . . .
, n) на два непересекающихсямножества (α) = (α1 , . . . , αk ) и (β) = (β1 , . . . , βl ) такое, что окрестность точки r диффеоморфно проектируется в лагранжеву плоскость (p(α) , x(β) ). Введем λ-преобразование Фурье по части переменных:(Fλ,x(α) →p(α) u(x))(p(α) , x(β) ) =гдеλ2πik/2 Zexp(−iλhx(α) , p(α) i)u(x) dx(α) ,√−1i = eiπ/4 . Обратное преобразование обозначим Fλ,p.(α) →x(α)76Оператор Шредингера строился по функции Гамильтона H(x, p) с помощью преобразования Фурье.Сделав преобразование Фурье по другим переменным, можно по функции H построить некоторый псевдодифференциальный оператор, действующий на функциях от (p(α) , x(β) ) (в [11] даны все строгие определения).
По соответствующему псевдодифференциальному уравнению строится формальное асимптотическое решение в виде ряда по (iλ)j . Оказывается, что коэффициент при (iλ)0 (с точностью до константы)имеет видq−1iλS(p(α) , x(β) )Fλ,pJ(p,x)e,(7.3)(α)(β)(α) →x(α)где J(p(α) , x(β) ) — производная меры dσ по мере dp(α) dx(β) .Построим функцию, которая при соответствующем λ-преобразовании Фурье с точностью до числовогомножителя и слагаемого O(λ−1 ) равна (7.3). Сначала ее построим локально (с помощью разбиения единицы и предканонического оператора), а затем осуществим склейку (построив канонический оператор,если это возможно).Канонической картой называется односвязная область Ω ⊂ Λ, которая диффеоморфно проектируетсяна одну из лагранжевых координатных плоскостей (p(α) , x(β) ). Неособая карта — это карта, в которой всеточки являются неособыми.
Координаты (p(α) , x(β) ) называются фокальными координатами. Каноническим атласом называется набор (Ωj ) канонических карт, являющийся не более чем счетным покрытиемΛ, при этом каждый компакт покрывается конечным числом карт. Можно показать, что каноническийатлас существует.Пусть r0 — фиксированная неособая точка на Λ, Ω ⊂ Λ — каноническая карта с фокальными координатами (p(α) , x(β) ), l(r0 , r) — кривая на Λ, соединяющая точки r0 и r. Введем предканонический операторK ≡ K(Ω, (p(α) , x(β) )) : C0∞ (Ω) → C ∞ (Rnx ) по формуле Z −11/2exp iλ p dx − hx(α) (p(α) , x(β) ), p(α) i .(Kϕ)(x) = Fλ,p(α) →x(α) ϕ(r)|J(p(α) , x(β) )|l(r0 , r)Утверждается, что если карта Ω диффеоморфно проектируется на лагранжевы плоскости (p(α) , x(β) ) и(p(α̃) , x(β̃) ), то при λ > 1 и ϕ ∈ C0∞ (Ω) выполнено(K(Ω, (p(α) , x(β) ))ϕ)(x) = eiπm2(K(Ω, (p(α̃) , x(β̃) ))ϕ)(x) + O(λ−1 ),где m ∈ Z не зависит от ϕ и r ∈ Ω. Более того, если r — неособая точка, то m = inerdex∂x(α̃) (r)∂p(α̃)∂x(α) (r)∂p(α)−inerdex+ 4k, где k ∈ Z, inerdex — индекс инерции матрицы (число отрицательных собственныхзначений).
Это доказывается с помощью метода стационарной фазы.Пусть Ωi , Ωj — канонические карты с фокальными координатами (p(α) , x(β) ) и (p(α̃) , x(β̃) ) соответственно, r ∈ Ωi ∩ Ωj — неособая точка. Индексом пары карт Ωi , Ωj называется числоγ(Ωi ∩ Ωj ) = inerdex∂x(α) (r)∂x(α̃) (r)− inerdex.∂p(α)∂p(α̃)Если имеется цепочка карт Ωi0 , .
. . , Ωis (то есть Ωij ∩ Ωij+1 6= ∅), то индексом этой цепочки называетсяγ(Ωi0 , . . . , Ωis ) = γ(Ωi0 ∩ Ωi1 ) + · · · + γ(Ωis−1 ∩ Ωis ).Пусть на Λ задан канонический атлас {Ωj }, причем точка r0 покрывается неособой картой. Определимоператор, отличающийся от предканонического числовым множителем:(Kλr0 (Ωi )ϕ) = e−iπ2 γ(C(r))(K(Ω, (p(α) , x(β) ))ϕ),где C(r) — цепочка карт {Ωjk }sk=0 , покрывающая кривую l(r0 , r), γ(C(r)) — ее индекс. Такой оператор независит от выбора фокальных координат, а если Ωj0 и Ωi — неособые карты, тоZrpiπ(Kλr0 (Ωi )ϕ)(x) = J(x) exp iλ p dx − ind l(r0 , r) ϕ(x, p(x)).2r0Пусть ej (r) — разбиение единицы на Λ, подчиненное{Ωj }, то есть ej — гладкие неотрицательные функции,Psupp ej ⊂ Ωj и для любого r ∈ Λ выполненоej (r) = 1.
Определим канонический оператор по формулеj(KΛr0 ϕ)(x) =X(KΛr0 (Ωj )(ej ϕ))(x).j77Для того, чтобы этот оператор был корректно определен (т.е. чтобы не было зависимости от выборапути l(r0 , r), канонического атласа и разбиения единицы), необходимо и достаточно, чтобы для любогозамкнутого пути γ ⊂ Λ выполнялосьZπλ p dx − ind γ = 2πk,2γгде k ∈ Z. Последнее эквивалентно тому, что для базисных циклов γj выполненоZ1p dx = 2π~ kj + ind γj ,4γjkj ∈ Z. Таким образом, условие существования канонического оператора — это правила квантования.Для каждого α выберем на Λ(α) точку r0 = r0 (α).
Пусть α таково, что условия квантования выполнены. Положим E(α) = H|Λα и возьмем ϕ ≡ 1. Тогда утверждается, чтоr (α)ĤKΛ0αr (α)ϕ = E(α)KΛ0αϕ + O(~2 )r (α)(это доказывается с помощью метода стационарной фазы). При этом |O(~2 )| 6 C~2 , kKΛ0α ϕkL2 (Rn ) >C1 > 0, где C, C1 не зависят от x, α и ~. Отсюда выводится, что расстояние от E(α) до спектра Ĥ непревосходит CC1 ~2 .7.5Квантование орбит в атоме водородаПусть гамильтониан имеет видp2Ze2−.2mrНайдем асимптотическое распределение собственных значений соответствующего оператора Шредингерапри ~ → 0 в соответствии с правилами квантования Бора–Зоммерфельда.Перейдем к сферическим координатам: x = r cos ϕ sin θ, y = r sin ϕ sin θ, z = r cos θ.
Найдем координатыpr , pθ и pϕ , канонически сопряженные к r, θ и ϕ соответственно. По определению, pi = ∂L˙i = ∂T˙i , где L —∂q∂qлагранжиан, аm|~r˙ |2m(ṙ2 + r2 (θ˙2 + sin2 θϕ̇2 ))T ==22H(~p, ~r) =— кинетическая энергия. Отсюда pr = mṙ, pθ = mr2 θ̇, pϕ = mr2 sin2 θϕ̇,p2m pr 2 pθ 2 pϕ 2=T =++,2m2mrmrm sin θ!22p1pZe2ϕH=p2r + 2θ + 2 2−.2mrrr sin θИщем решение уравнения Гамильтона–Якоби в виде S = S1 (ϕ) + S2 (θ) + S3 (r). Тогда222 !1∂S31 ∂S21∂S1Ze2+ 2+ 2 2−= E.2m∂rr∂θrr sin θ ∂ϕp2ϕ2221Отсюда следует, что ∂S∂ϕ не зависит от ϕ, то есть pϕ = const.
Аналогично L := pθ + sin2 θ = C = const.Можно показать, что pϕ и L2 являются первыми интегралами и что {pϕ , L2 } = 0, так что выполненыусловия теоремы Лиувилля.∂SМногообразие Λα задаем равенствами pj = ∂qj . В качестве γk выбираем сечения Λα плоскостямиjq = const, j 6= k. ТогдаIZ2πp dq = pϕ dϕ = 2πpϕ .γϕ0Кривая γϕ диффеоморфно проектируется в координатное пространство, поэтому ind γϕ = 0.
Из условийквантования получаем 2πpϕ = 2π~nϕ , то есть pϕ = ~nϕ , где nϕ ∈ Z. Далее,sπ−θIZ Cp2ϕp dq = 2C2 −dθ,sin2 θγθθC78pгде θC = arcsin Cϕ . Кривая γθ диффеоморфна окружности и пересекает ось θ в двух точках, а ее индексравен 2. Значит, правила квантования для pθ имеют видsZπ/2p2ϕ4C2 −dθ = 2π~nθ + π~, nθ ∈ Z+sin2 θθC(отрицательные nθ не годятся, так как левая часть равенства неотрицательна). Сделав замену ξ =2C2p2 sin θ, получаемϕC22√ξ−1πqdξ = π~nθ + ~.p2ϕ21 ξ 1 − C2 ξВычислив интеграл, имеем в итоге равенство C = ~ nθ + |nϕ | + 12 .Теперь напишем условия квантования для pr . Движение происходит по эллиптическим орбитам (т.
е.финитно) в том случае, если E < 0. Пусть!!p2ϕ11Ze222pr + 2 pθ += E,H=−2mrrsin2 θpϕZpϕrmin , rmax — такие значения r, при которых pr = 0. ТогдаsrZmax2I~2 |nϕ | + nθ + 12Ze2p dq = 22m E +−dr = 2π~nr + π~, nr ∈ Z+rr2γrrmin(индекс кривой γr также равен 2). Сделав замену u =интеграл. В итоге получаемEn = −2~2 (|n1rи проинтегрировав по частям, вычисляем этотZ 2 me4Z 2 me4=− 2 2 ,22~ nϕ | + nθ + nr + 1)где n ∈ N. Значения En в точности совпадают с собственными значениями оператора Ĥ, что связано сего симметрией.Замечание. Несмотря на то, что электрон в центральном поле совершает плоское движение, приквантовании нужно учитывать все три координаты. В самом деле, если рассмотреть аналогичную двумерную задачу с координатами r и ϕ, то вместо |nϕ | + nθ + nr + 1 ∈ N будет стоять полуцелое число|nϕ | + nr + 21 .8Теория возмущенийНайти точное решение задачи о нахождении собственных значений и собственных векторов удается довольно редко.
Поэтому применяются приближенные методы решения.Пусть Ĥβ = Ĥ0 + β V̂ , причем операторы Ĥβ и Ĥ0 самосопряженные, а спектральная задача для Ĥ0имеет точное решение. Число β предполагается достаточно малым. Оператор β V̂ называется возмущением.8.1Регулярная теория возмущенийПусть E0 — собственное значение оператора Ĥ0 . При некоторых условиях на оператор V оказывается, чтовблизи E0 существует собственное значение Eβ оператора Ĥβ , которое является аналитической функциейβ, и соответствующий собственный вектор также аналитически зависит от β. Определим дискретныйспектр оператора.Теорема 8.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
