А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654), страница 25
Текст из файла (страница 25)
K(x, x + ξ) совпадает почти всюду с непрерывной функцией по ξ со значениями в L1 (Rnx );R3. Tr K̂ = K(x, x) dx, где K(x, x) — значение этой непрерывной функции при ξ = 0.9.2Матрица плотностиПредположим, что рассматривается физическая система, которая является частью некоторой полнойквантовой системы, описываемой вектором состояния ψ(x, y), где x — множество координат выделеннойчасти. Системы x и y взаимодействуют между собой. Будем описывать систему с координатами x.
Пустьнаблюдаемая F̂ действует на функции вида ψ(x). Возможно, перейдя к другому представлению, можносчитать, что F̂ — это оператор умножения на функцию, то есть (F̂ ψ)(x) = F (x)ψ(x), где x принадлежит некоторому пространству с мерой (X, µ). Для функций ψ(x, y) полагаем (F̂ ψ)(x, y) = F (x)ψ(x, y).Математическое ожидание этой наблюдаемой равноZhF i = ψ ∗ (x, y)F (x)ψ(x, y) dx dy.Положимρ(x, x′ ) =Zψ ∗ (x′ , y)ψ(x, y) dy.hF i =ZF (x)ρ(x, x) dx.ТогдаТаким образом, незамкнутая система описывается матрицей плотности ρ(x, x′ ). Приведем некоторые еесвойства. ПустьZρ̂ : ϕ(x) 7→ ρ(x, x′ )ϕ(x′ ) dx′ .Тогда1.
оператор ρ̂ неотрицательный, то есть hϕ, ρ̂ϕi > 0 для всех ϕ ∈ H. В самом деле,ZZhϕ, ρ̂ϕi = ϕ∗ (x) ρ(x, x′ )ϕ(x′ ) dx′ dx ===ZdyZZ Z Zϕ∗ (x)ϕ(x′ )ψ ∗ (x′ , y)ψ(x, y) dy dx′ dx = Z Z′∗ ′′ϕ (x)ψ(x, y) dxϕ(x )ψ (x , y) dx = dy f (y)f ∗ (y) > 0.∗2. Оператор ρ̂ эрмитов, то есть hϕ1 , ρ̂ϕ2 i = hρ̂ϕ1 , ϕ2 i. Это следует из того, что ρ(x′ , x) = ρ(x, x′ )∗ .883. Tr ρ̂ = 1. Действительно, для любого f ∈ L2 (X) выполнено2ZX Z ϕn (x)f (x) dx ,|f (x)|2 dx =nгде {ϕn } — ортонормированный базис. Значит,XXZ Z Zhϕn , ρ̂ϕn i =ϕ∗n (x)ϕn (x′ )ψ(x, y)ψ ∗ (x′ , y) dx dx′ dy =n=nXZnЗаметим, что Tr ρ̂ =RZ2 Z2X Z ϕn (x)ψ ∗ (x, y) dx =dy ϕn (x)ψ ∗ (x, y) dx = dynZZZ= dydx |ψ ∗ (x, y)|2 = |ψ(x, y)|2 dx dy = 1.ρ(x, x) dx.Теперь рассмотрим оператор F̂ ρ̂.
Он имеет вид(F̂ ρ̂ϕ)(x) = F (x)Zρ(x, x′ )ϕ(x′ ) dx′ ,то есть это интегральный оператор с ядром F (x)ρ(x, x′ ). Если он имеет след, то, согласно теореме 9.1,ZTr (F̂ ρ̂) = F (x)ρ(x, x) dx = hF i.Пусть системы x и y не взаимодействуют, то есть гамильтонианы, которые их описывают, сильнокоммутируют. Тогда можно выбрать собственные состояния так, что ψ(x, y) = ψ1 (x)ψ2 (y), kψ1 k = 1,kψ2 k = 1. В этом случае матрица плотности имеет видZ′ρ(x, x ) = ψ1∗ (x′ )ψ2∗ (y)ψ1 (x)ψ2 (y) dy = ψ1∗ (x′ )ψ1 (x).(9.1)Диагональные элементы матрицы плотности — это плотности вероятности обнаружить систему имеющейкоординату x. Среднее значение hF i при этом имеет стандартный видZhF i = ψ1∗ (x)F (x)ψ1 (x) dx.Пусть матрица плотности имеет вид (9.1).
ТогдаZ(ρ̂ϕ)(x) = ψ1∗ (x′ )ψ1 (x)ϕ(x′ ) dx′ = hψ1 , ϕiψ1 (x),то есть ρ̂ — это оператор ортогонального проектирования на подпространство, натянутое на вектор ψ1 .Определение 9.1. Пусть ρ(x, x′ ) — матрица плотности, соответствующая некоторому состоянию.Состояние называется чистым, если существует такой вектор |ψi, что оператор ρ является оператором ортогонального проектирования на |ψi. При этом ψ — та волновая функция, которая описываетсистему. Если состояние не является чистым, то оно называется смешанным.Покажем, что чистые состояния являются крайними точками на множестве всех состояний, то естьчто для любого λ ∈ (0, 1) и для любых двух различных состояний ρ1 и ρ2 состояние λρ1 + (1 − λ)ρ2 неявляется чистым. В самом деле, состояние ρ является чистым тогда и только тогда, когда ρ2 = ρ.
Пусть(λρ1 + (1 − λ)ρ2 )2 = λρ1 + (1 − λ)ρ2 .Тогдаλρ1 (1 − ρ1 ) + (1 − λ)ρ2 (1 − ρ2 ) + λ(1 − λ)(ρ1 − ρ2 )2 = 0.Все слагаемые являются неотрицательно определенными (это доказывается с помощью перехода к собственному базису), причем третье не равно нулю, если λ ∈ (0, 1) и ρ1 6= ρ2 , так что сумма не может бытьравной 0.Уравнение эволюции для матрицы плотности имеет видi∂ ρ̂= [ρ̂, Ĥ].∂t~Это уравнение можно получить двумя способами.89(9.2)1. Рассматривается эволюция чистого состояния, при этом соответствующий вектор изменяется со временем согласно уравнению Шредингера. Отсюда получается уравнение (9.2). Для смешанных состояний это уравнение постулируется.2. Если рассмотреть картину Гейзенберга, то состояние не изменяется, а наблюдаемая эволюционирует−itĤпо закону Â(t) = U + (t)ÂU (t), где U (t) = e ~ .
В представлении Шредингера наблюдаемая неизменяется, а состояние изменяется. Если потребовать, чтобы среднее значение любой наблюдаемойбыло одним и тем же в обоих представлениях, то получаемTr (ρ̂(t)Â) = Tr (ρ̂Â(t)) = Tr (ρ̂U + (t)ÂU (t)) = Tr (U (t)ρ̂U + (t)Â).В силу произвольности Â, получаем ρ̂(t) = U (t)ρ̂U + (t). Значит, ρ̂(t) удовлетворяет уравнению (9.2).Заметим, что при эволюции свойства 1)–3) матрицы плотности сохраняются, то есть ρ̂(t) снова задаетсостояние.В стационарном состоянии [ρ̂, Ĥ] = 0. Отсюда следует, что если спектр оператора Ĥ чисто дискретный, то в энергетическом представлении матрица ρ̂ имеет блочно-диагональный вид, где каждому блокусоответствует собственное значение оператора Ĥ.
С помощью ортогональной замены базиса каждый блокможно привести к диагональному виду, при этом новые базисные векторы снова будут собственнымивекторами Ĥ. Таким образом, можно считать, чтоρmn = δmn wn .Величины wn можно интерпретировать как вероятность нахождения незамкнутой системы в состоянииψn , являющемся собственным вектором Ĥ, соответствующем n-му собственному значению.
ТогдаXhF i = T r(F̂ ρ̂) =wn hψn , F ψn i,nто есть статистическое и квантовомеханическое усреднение в данном случае разделяются между собой.9.3Равновесные состояния для эргодических систем,близких к неэргодическимПриведем схему вывода распределения Гиббса для равновесных состояний, изложенного в [8].Определение 9.2. Квантовая система, определенная гамильтонианом Ĥ и имеющая коммутирующиемежду собой первые интегралы K̂1 , . . .
, K̂n , называется эргодической, если каждая сохраняющаясявеличина является функцией Ĥ и K̂1 , . . . , K̂n , то есть совместный спектр Ĥ и K̂1 , . . . , K̂n являетсяпростым.Рассмотрим эргодическую систему LN (ε), состоящую из N одинаковых слабо взаимодействующихподсистем Li , являющихся копиями системы L. Пространство состояний системы L обозначим H, а еегамильтониан через Ĥ. Пространство состояний HN системы LN (ε) является N -й тензорной степенью H,а гамильтониан имеет видNX(N )Ĥ (ε) =Ĥi + V̂ε ,k=1где Ĥk — гамильтониан Lk , V̂ε — взаимодействие. Считаем, что Vε → 0 при ε → 0 и предельная системаLN состоит из независимых подсистем (ее гамильтониан обозначим Ĥ (N ) ).Пусть Â — наблюдаемая, отнесенная к системе L, Âi — ее копия, отнесенная к Li .
РассмотримÂ(N ) =N1 XÂi .N i=1Положим(N )A1T →∞ T(ε) = limZTeitĤ (N ) (ε)~Â(N ) e−itĤ (N ) (ε)~dt.(9.3)0Пусть система состоит из N одинаковых слабо взаимодействующих подсистем. Смешанное состояние ρ̂подсистемы Li называется состоянием равновесия, если [ρ̂, Ĥi ] = 0 и для любой наблюдаемой  выполненоравенствоD ED (N ) EÂi= A (ε),ψEψE90где ψE — собственный вектор оператора Ĥ (N ) с собственным значением E, а hAiψ обозначает среднеенаблюдаемой A в состоянии ψ.Пусть Ĥ (N ) (ε) имеет простой дискретный спектр {λk } для любого ε > 0.
Рассмотрим матричный(N )элемент akl оператора A(ε) в собственном базисе Ĥ (N ) (ε):akl(N )Отсюда следует, что A1= limT →∞ TZTitakl e ~ (λk −λl ) dt = akl δλk λl .0(N )(ε) коммутирует с Ĥ (N ) (ε). В силу эргодичности, A(N )существует предел f (x) = lim fε (x). Положим Aε→0(N )= lim Aε→0(ε) = f (Ĥ(N )(ε) = fε (Ĥ (N ) (ε)).
Пусть). Оператор A(N )коммутируетс Ĥ (N ) и кратен единичному в собственных подпространствах Ĥ (N ) .Пусть ψE — собственный вектор Ĥ (N ) с собственным значением E. ТогдаD(N )где PETr (A(N )ψE , A(N )(N ) (N )EDE DETr (A PE )(N )ψE = lim ψE , A (ε)ψE = ψE , f (Ĥ (N ) )ψE = f (E) =,(N )ε→0Tr PE(9.4)— проектор на собственное подпространство Ĥ (N ) с собственным значением E. Покажем, что(N )(N )(N )PE ) = Tr (Â(N ) PE ). В самом деле, умножим обе части (9.3) на PE(N )Tr (A(N )(ε)PE )1= limT →∞ T1= limT →∞ TТак как lim Ĥε→0(N )(ε) = Ĥ(N )ZTZT(N )Tr (PE eitĤ (N ) (ε)~Â(N ) e−itĤ (N ) (ε)~и возьмем след:) dt =0Tr (e−itĤ (N ) (ε)~(N )PE eitĤ (N ) (ε)~Â(N ) ) dt.0, тоlim e−itĤ (N ) (ε)~ε→0(N )PE eitĤ (N ) (ε)~(N )= PE .Значит,Tr (A(N )(N )(N )PE ) = Tr (Â(N ) PE ).Отсюда и из (9.4) получаемD(N )ψE , AE Tr (Â(N ) P (N ) )E.ψE =(N )Tr PE(9.5)Так как LN (ε) близка к LN и эргодична, тоD(N )AE(ε)ψED (N ) E≈ lim A (ε)ε→0ψED (N ) E= A(9.5)ψE=(N )Tr (Â(N ) PE )(N )Tr PE.(9.6)Пусть ψs — собственные векторы Ĥ, Es — соответствующие собственные значения.
Утверждается, что(9.6) имеет предел при N → ∞ и E/N = E = const, равныйXae−βEs αs ,(9.7)sгде αs = hψs , Âψs i, а a и β находятся из соотношенийPEs e−βEsXae−βEs = 1, sP −βEs = Eess(доказательство довольно сложное). Таким образом, мы доказали, что в собственном базисе оператора Ĥ,в котором матрица ρ̂ диагональна, выполнено равенствоXhÂi i =ae−βEs αs ,s91то есть диагональные элементы ρ̂ равны ae−βEs . Значение (9.7) является средним αs по распределениювероятностей ws = ae−βEs .
Это распределение называется распределением Гиббса.Формула (9.7) может быть записана в видеTr (Âe−β Ĥ )Tr e−β Ĥ(9.8).Если Ĥ имеет коммутирующие первые интегралы K̂1 , . . . , K̂n , то (9.8) заменяется наTr (Âe−β(Ĥ+µ1 K̂1 +···+µn K̂n ) )Tr e−β(Ĥ+µ1 K̂1 +···+µn K̂n ).При выводе распределения Гиббса предполагалось, что матрица плотности незамкнутой системы зависит только от энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
