А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Число элементов группы может быть конечным, либо бесконечным, в последнемслучае элементы группы могут помечаться непрерывно изменяющимися параметрами.Группа называется топологической, если множество ее элементов является топологическим пространством (определена система открытых множеств), и если групповое умножение является непрерывнымотображением G × G → G, а g −1 — непрерывным отображением G → G. Важное значение имеют понятиякомпактности и связности. Топологическая группа компактна, если из любого покрытия множества ееэлементов окрестностями можно выделить конечное покрытие. В зависимости от топологических свойствмножества, группа может быть односвязной, если любая замкнутая кривая может быть непрерывно деформирована в точку, (много)связной и несвязной.Теперь напомним определения дифференцируемого и аналитического многообразий.
Рассматривается хаусдорфово пространство, покрытое системой окрестностей, на каждой из которых задана карта,т.е. отображение каждой точки пространства в Rd (локальная координатная система xi , i = 1, . . . , d).Пространство, снабженное такой структурой, называется вещественным дифференцируемым (аналитиiческим) многообразием размерности d, если в областях перекрытия двух карт xi , x′ задано преобразоiвание координат x′ = f i (x), осуществляемое функциями f i класса C ∞ (аналитическими функциями).Некоторые четномерные многообразия (d = 2n) допускают введение комплексной структуры.
В случаекомплексного многообразия рассматриваются локальные карты z i , z̄ i ∈ Cn , а в областях перекрытиякарт задаются голоморфные отображения z i → z ′ i (z). В определении групп Ли в вещественном случае,как правило, используются аналитические многообразия, которые наследуют аналитичность от случаякомплексных многообразий.Определение 11.2. Топологическая группа называется группой Ли, если групповое множество является аналитическим многообразием, а операции умножения и взятие обратного являются аналитическими отображениями.
Вещественная размерность многообразия является размерностью группы.Важным классом групп Ли являются группы преобразований точек некоторого многообразия M :x → gx (левое действие группы). Например, в R3 можно рассматривать трансляции xi → xi + ai ивращения xi → Oi j xj , Oi j Oj k = δki . Параметрами группы трансляций являются вещественные числа изR3 , элементами группы вращений — ортогональные матрицы, зависящие от непрерывно изменяющихсяпараметров (углов). В общем случае, элементы g(ai ) d-параметрической группы преобразований зависятот d параметров ai .
Удобно принять, что параметры единичного (тождественного) преобразования имеютнулевые значения e = g(0).Группа Ли компактна, если компактно групповое многообразие. Например, группа вращений SO(N )компактна, поскольку область изменения каждого из ее N (N − 1)/2 параметров (углов) — замкнутое иограниченное множество в R. Группа Лоренца SO(1, 3) некомпактна, поскольку псевдовращения задаютсяпараметрами, изменяющимися на всей оси. Группа сдвигов в Rn также некомпактна (изоморфна Rn ).Подмножество G0 ⊂ G, замкнутое относительно заданной на всей группе операции умножения, называется подгруппой.
Возможны непрерывные подгруппы, которые являются аналитическими подмногообразиями, а также дискретные подгруппы. Тривиальными подгруппами называются сама группа и группа,состоящая из одного единичного элемента.100Подгруппа H называется инвариантной (нормальной, нормальным делителем), если из h ∈ H и g ∈ Gследует, что, ghg −1 ∈ H. Группа называется простой, если она не содержит нетривиальных связныхинвариантных подгрупп, и полупростой, если она не содержит нетривиальной инвариантной связнойкоммутативной (абелевой) подгруппы.
Подчеркнем, что здесь речь идет о непрерывных подгруппах Ли,простая группа может иметь нетривиальную дискретную нормальную подгруппу. Существует полнаяклассификация простых комплексных групп Ли (см. ниже).Пример. Группа O(k) ортогональных преобразований в Rk задается квадратными вещественнымиматрицамиk × k, удовлетворяющими условиюPVV=δij . Такие матрицы, очевидно, имеют определитель ±1. Группа O(k) несвязна и состоит изikjkkдвух связных подгрупп в соответствии со знаком определителя.
Матрицы с определителем единица образуют инвариантную подгруппу обозначаемую SO(k). Группа SO(3) проста, для высших размерностей этоне так: имеется локальный изоморфизм SO(4) ∼= SO(3) × SO(3), так что группа SO(4) лишь полупроста.Собственные группы SO(k) (не содержащие отражений) просты при k ≥ 5.Теорема 11.1. Пусть G — топологическая группа, H — замкнутая подгруппа; определим множествоклассов эквивалентности G/H: g1 , g2 принадлежат одному и тому же классу, если g1 = g2 h, h ∈ H, ивведем на нем соответствующую топологию.
Тогда, если H нормальный делитель, то в G/H можноввести умножение так, что G/H будет группой (называемой фактор-группой).Множество элементов, коммутирующих со всеми элементами группы, является инвариантной абелевойподгруппой и называется центром. Рассмотрим группу SU (n) унитарных комплексных матриц n × n сединичным определителем. Можно показать, что SU (2)/Z2 = SO(3), где Z2 – дискретный центр группыSU (2), состоящий из двух элементов (единичной и минус-единичной матриц).
Этот пример демонстрируетнакрытие неодносвязной группы SO(3) односвязной группой SU (2). Более общее утверждение формулируется в виде следующей теоремы об универсальной накрывающей:Теорема 11.2. Внутри класса линейно связных, локально односвязных, локально изоморфных топологических групп существует единственная с точностью до изоморфизмов односвязная группа G̃. Всеостальные группы из этого класса являются фактор-группами G̃/N , где N — дискретная нормальнаяподгруппа.Поясним понятия прямого и полупрямого произведений групп.Определение 11.3. Группа G является прямым произведением G = H × K своих нормальных подгруппH, K, если ее элементом являются упорядоченные пары g = (h, k) с законом умножения gg ′ = (hh′ , kk ′ ).При этом каждая из групп-сомножителей остается нормальной подгруппой произведения. В отличие отэтого, полупрямое произведение H ⋉ K двух групп H, K определяется таким образом, что только H остается инвариантной подгруппой произведения.
Закон умножения проиллюстрируем на примере евклидовойгруппы E(3), состоящей из трансляций T (3) и вращений SO(3) в R3 . Элементами E(3) являются пары(ai , Oji ) с законом умножения (a, O) ∗ (a′ , O′ ) = (ai + Oji a′j , Oki Oj′k ). Трансляции остаются инвариантнойподгруппой в G = T (3) ⋉ SO(3), но вращения нет.
Аналогичным образом строится группа Пуанкаре какполупрямое произведение четырехмерных трансляций в пространстве-времени R1,3 и группы ЛоренцаSO(1, 3).Действие группы G в многообразии транзитивно, если для любой пары точек найдется элемент,переводящий одну точку пары в другую.Определение 11.4. Многообразие, на котором действие группы является транзитивным, называетсяоднородным пространством этой группы.Подгруппа изотропии Hx заданной точки x однородного пространства состоит из всех элементов G,оставляющих эту точку неподвижной (при этом группы изотропии разных точек изоморфны друг другу).
Нетрудно показать, что фактор-пространство G/H является однородным пространством группы G.В приведенном выше примере пространство R3 , на котором действует евклидова группа E(3), можнорассматривать как однородное фактор-пространство E(3)/SO(3) (здесь SO(3) — подгруппа изотропии).Аналогично, пространство Минковского является фактор-пространством группы Пуанкаре по группе Лоренца.11.2Алгебры ЛиАбстрактное определение алгебр Ли следующее:Определение 11.5. Вещественной (комплексной) алгеброй Ли называется векторное пространствоL над полем вещественных (комплексных) чисел на котором задана операция умножения, называемая коммутатором, сопоставляющая каждой паре элементов A, B величину [A, B], удовлетворяющуюсвойствам линейности, антисимметрии и тождеству Якоби:101[αA + βB, C] = α[A, C] + β[B, C],[A, B] = −[B, A],[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0.Далее обсуждается случай только конечномерных алгебр.
Векторные поля в многообразии образуютструктуру алгебры Ли. Действительно, пусть X, Y — векторные поля в вещественном аналитическомd-мерном многообразии с локальными координатами xi , i = 1, ..., d:X = X i (x)∂,∂xiY = Y i (x)∂.∂xiТогда коммутатор, определяемый как производная Ли поля Y по полю XZ = [X, Y ] = Z i∂,∂xiZi = Xji∂Y ij ∂X−Y∂xj∂xjудовлетворяет требуемым свойствам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
