А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Векторное поле порождает локальную однопараметрическую группупреобразований, которая каждой точке многообразия M0 и достаточно малому вещественному параметруτ сопоставляет точку Mτ , лежащую на интегральной кривой векторного поля γ(τ ), проходящей при τ = 0через M0 .Каждая группа Ли имеет соответствующую алгебру Ли.
Имеют место утверждения:Теорема 11.3. Всякая алгебра Ли является алгеброй Ли некоторой локальной группы Ли. Всякой алгебре Ли соответствует связная односвязная группа Ли, для которой она является алгеброй.Соответствие между группами и алгебрами Ли выглядит особенно просто для групп преобразований.Пусть G — d-параметрическая группа преобразований n -мерного многообразия, задаваемая аналитическими функциями f i , зависящими от n + d аргументов x′i = f i (x1 , . . . , xn ; a1 , . . .
, ad ) так, что f i (x; 0)является единицей группы. Инфинитезимальное преобразование x + dx = f (x; da),diX∂f(x;a)dxi ==uij (x)daj∂aj j=1a=0порождает систему d векторных полей∂,∂xiназываемых генераторами группы G. Они образуют алгебру Ли G данной группы. Обратная задача восстановления группы Ли по заданной алгебре Ли решается с помощью экспоненциального отображения.Следует иметь в виду, что алгебра Ли является локальной структурой, не зависящей от глобальной топологии группы. Иначе, можно построить глобально различающиеся группы имеющие одну и ту же алгебругенераторов (например, SO(3) и SU (2)).Рассмотрим конечномерную алгебру Ли состоящую из d элементов Xα , образующих замкнутое относительно коммутации множество:[Xα , Xβ ] = Cαβγ XγXj = uij (x)Величины Cαβγ = −Cβαγ называются структурными константами этой алгебры.
В силу тождества Якобиони удовлетворяют соотношениюCαρ δ Cβγ ρ + Cβρ δ Cγαρ + Cγρ δ Cαβρ = 0.(11.1)С помощью структурных констант можно построить симметричный тензор второго рангаgαβ = Cαγ δ Cβδ γ ,α, β = 1, ..., d,который называется метрикой Киллинга. Он вводит метрическую структуру на групповом многообразии.Соответствующая квадратичная форма называется формой Киллинга.Алгебра называется абелевой (коммутативной), если все ее элементы коммутируют между собой. Подпространство N ⊂ L образует подалгебру, если [N, N ] ⊂ N , и идеал, если [L, N ] ⊂ N . Максимальныйидеал, элементы которого коммутируют со всеми элементами алгебры, называется центром.
Очевидно,центр коммутативен.Определение 11.6. Алгебра Ли называется простой, если она не имеет нетривиальных идеалов, иполупростой, если она не имеет коммутативных идеалов.102Любая полупростая алгебра Ли представима в виде суммы простых идеалов.Соответствие между структурой группы и ее алгебры Ли устанавливается следующей теоремой.Теорема 11.4. Пусть G — группа Ли, G — ее алгебра Ли, H — непрерывная подгруппа и H — множествокасательных векторов к единице в H . Тогда1.
H — подалгебра в G, являющаяся алгеброй Ли группы G,2. если H — инвариантная подгруппа, то H — идеал в G.Простой критерий, позволяющий установить, является ли алгебра полупростой, даетТеорема 11.5. (Картан). Алгебра Ли полупроста тогда и только тогда, когда ее метрика Киллинганевырождена, det||gαβ || =6 0.
Соответствующая группа Ли также полупроста.Существует простой критерий компактности полупростой группы Ли:Теорема 11.6. (Вейль). Вещественная полупростая связная группа Ли компактна тогда и только тогда, когда метрика Киллинга соответствующей алгебры — отрицательно определенная квадратичнаяформа.Это свойство отражает отрицательную определенность следа квадрата антисимметричной матрицы.11.3Классификация алгебр и групп ЛиКлассификация алгебр Ли основана на утверждении:Теорема 11.7.
(Адо). Каждая алгебра Ли над C изоморфна некоторой матричной алгебре.Очевидно, это остается верным и для вещественных алгебр. Таким образом любая абстрактная алгебраЛи может рассматриваться как подалгебра алгебры матриц gl(n, C), n ∈ N.Дадим теперь определение разрешимых и нильпотентных алгебр. Если N идеал алгебры L, то легкопроверить, что [N, N ] тоже идеал. В частности сама алгебра L также идеал, и можно построить последовательности Ln (производный ряд) и Ln (центральный ряд) идеалов, выбирая L0 = L, Ln+1 = [Ln , Ln ] иL0 = L, Ln+1 = [Ln , L].Определение 11.7.
Алгебра L называется разрешимой, если производный ряд обрывается для некоторого номера n, Ln = 0, и нильпотентной, если обрывается центральный ряд Ln = 0.Нетрудно видеть что Ln ⊂ Ln , так что любая нильпотентная алгебра разрешима, обратное вообще говоряневерно. Первая производная подалгебра разрешимой алгебры нильпотентна.Пример. Подалгебра верхних (нижних) треугольных матриц в gl(n) разрешима. Ее производный рядобрывается на n-м элементе. Подалгебра строго верхних (нижних) треугольных матриц в gl(n) (с нулевойглавной диагональю) нильпотентна.
Ее центральный ряд обрывается на n-м элементе.Прямое и полупрямое произведения групп соответствуют прямой и полупрямой сумме их алгебр Ли.Если группа Ли является прямым произведением G = H × K, то алгебры образуют прямую сумму G =H ⊕ K, при этом любой элемент H коммутирует с любым элементом K, т.е. [H, K] = 0. Полупрямая суммаалгебр G = H⊃+K определяется так, что H является идеалом в G: т.е. [H, H] = H, [H, K] = H, [K, K] = K.Имеет местоТеорема 11.8.
(Леви-Мальцев). Произвольная алгебра Ли G представима в виде полупрямой суммыG = R⊃+S, где S — полупростая алгебра и R — максимальный разрешимый идеал (радикал):[R, R] ⊂ R,[R, S] ⊂ R,[S, S] ⊂ S.В приведенном выше примере евклидовой трехмерной группы, для соответствующих алгебр Ли имеемструктуру t(3) ⊃+ so(3) с генераторами Pi , Li , подчиняющимися перестановочным соотношениям[Pi , Pj ] = 0,[Li , Pj ] = iǫijk Pk ,[Li , Lj ] = iǫijk Lk .Полной классификации разрешимых и неполупростых алгебр Ли не существует.
Полупростые алгебры представимы в виде прямой суммы простых алгебр. Для последних имеется полная классификацияоснованная на теореме Картана:Теорема 11.9. Для каждой простой алгебры Ли G над C существует максимальная абелева подалгебраH ∋ Hi , i = 1, . .
. , r; [Hi , Hj ] = 0, такая, что для всех остальных элементов E ∈ G, E ∈/ H имеем[Hi , Eα ] = αi Eα ,где α — ненулевые корневые векторы в пространстве Rr , ассоциированном с подалгеброй Картана.103В матричном представлении элементам подалгебры Картана соответствуют диагональные матрицы.Размерность r подалгебры Картана называется рангом алгебры и соответствующей ей группы Ли. Число корневых векторов, равное d − r, как правило превышает размерность корневого пространства Rr ,так что корни являются линейно зависимыми.
Можно выбрать систему простых корней — векторов,через которые могут быть выражены все остальные, а также ввести скалярное произведение корней вметрике, индуцируемой метрикой Киллинга. Доказывается, что простые корни либо ортогональны, либо располагаются друг относительно друга под углами 1200 , 1350 , 1500 . Допустимые системы простыхкорней изображаются схемами Дынкина, на основании которых дается полная классификация всех простых конечномерных алгебр Ли над C. Она сводится к следующему: имеются четыре бесконечных серии"классических"алгебр (индекс соответствует рангу алгебры):1.
An или su(n + 1) — алгебра Ли группы унитарных матриц (n + 1) × (n + 1) с определителем единица,d = n(n + 2),2. Bn или so(2n + 1) — алгебра Ли группы ортогональных (2n + 1) × (2n + 1) матриц с определителемединица, d = n(2n + 1),3. Cn или sp(2n) — алгебра Ли группы симплектических (2n) × (2n) матриц с определителем единица,d = n(2n + 1),4. Dn , n ≥ 3 или so(2n) — алгебра Ли группы ортогональных (2n) × (2n) матриц с определителемединица, d = n(2n − 1) ( для n = 2 имеется алгебра so(4), которая полупроста, именно, so(4) =so(3) ⊕ so(3)),а также пять "исключительных"алгебр: G2 , F4 , E6 , E7 , E8 рангов 2, 4, 6, 7, 8 и размерности 14, 52, 78,133 и 248 соответственно.
Все эти алгебры являются подалгебрами алгебры Ли gl(n, C) группы Gl(n, C)обратимых комплексных матриц n × n.Каждая полупростая алгебра Ли может быть представлена в виде прямой суммы простых. Произвольная алгебра Ли представляется в виде полупрямой суммы разрешимой и полупростой алгебр.Классификация простых алгебр Ли над R несколько более сложна (см.
[4], гл. 1): различают 12 классических серий и 23 исключительных алгебры.11.4ПредставленияПусть L — алгебра Ли над R (C) и H — некоторое линейное пространство, на котором определено множество линейных операторов T .Определение 11.8. Представлением L в H называется гомоморфизм X → T (X) такой, что для любыхX, Y ∈ L и α, β ∈ R (C) выполняются соотношенияαX + βY → αT (X) + βT (Y ),[X, Y ] → [T (X), T (Y )] = T (X)T (Y ) − T (Y )T (X).(11.2)(11.3)Тождество Якоби автоматически следует из (11.3).Пример. Рассмотрим алгебру Ли, состоящую из трех элементов Q, P, W , удовлетворяющим соотношениям[P, Q] = −iW, [Q, W ] = 0, [P, W ] = 0,и пусть H = L2 (R).
Тогда отображениеQ → x,P → −i∂x ,W →Iзадает представление этой алгебры в плотной области D = C0∞ (R) в H.Структурные константы образуют представление алгебры Ли, называемое присоединенным. Действительно, пусть [Xα , Xβ ] = Cαβγ Xγ , где структурные константы выбраны вещественными. Тогда, в силу(11.1), отображение Xα → T (Xα ), где T (Xα ) — вещественная матрица d × d c элементамиT (Xα )γβ = −Cαβγ ,является представлением.При построении представлений алгебр Ли особое значение имеют полиномы от операторов алгебры,которые коммутируют со всеми ее элементами (операторы Казимира). Простейший вид имеет квадратичный оператор Казимира, он строится с помощью обратной метрики КиллингаC2 = g αβ Xα Xβ ,104[C2 , Xα ] = 0.(11.4)Полное число операторов Казимира равно рангу группы (теорема о ранге). В силу леммы Шура (см.ниже), операторы Казимира, коммутирующие со всеми генераторами группы, кратны единичному оператору в любом неприводимом представлении группы, поэтому значения операторов Казимира полностьюопределяет представление.Пример.
Для группы SO(3) ранга 1 имеется единственный оператор Казимира C2 = L21 + L22 + L23 , онкоммутирует с тремя генераторами Li , образующими алгебру so(3): [Li , Lj ] = iǫijk Lk . В неприводимыхпредставлениях C2 = l(l + 1)I, где l целое число (разд. 7.3 основного текста).Операторы Казимира принадлежат так называемой универсальной обертывающей алгебре, котораяпорождается всеми возможными произведениями элементов исходной алгебры Ли, взятыми во всевозможном порядке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
