А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Последовательность операторов An сходится к оператору A равномерно, если kAn − Ak → 0при n → ∞.Пусть X, Y — банаховы пространства, X0 ⊂ X, Y0 ⊂ Y — всюду плотные подпространства, A0 : X0 →Y0 — линейный ограниченный оператор. Тогда существует единственное его продолжение по непрерывности до оператора A : X → Y ; при этом kAk = kA0 k.Линейный оператор называется компактным, если пополнение множества A(BX ) в метрике пространства Y компактно (если Y банахово, то пополнение — это замыкание в пространстве Y ).
Любой компактный оператор ограничен. Обратное, вообще говоря, неверно, так как в бесконечномерном пространствепополнение единичного шара не является компактным.97Пусть H — гильбертово пространство, A : H → H — ограниченный линейный оператор. ОператорA∗ : H → H называется сопряженным к оператору A, если для любых x, y ∈ H выполнено hA∗ x, yi =hx, Ayi. Утверждается, что сопряженный оператор существует и единствен и что kA∗ k = kAk.
Линейныйограниченный оператор называется самосопряженным, если A∗ = A.Для компактных самосопряженных операторов выполнена теорема Гильберта–Шмидта:Теорема 10.4. Пусть A : H → H — компактный самосопряженный оператор. Тогда в H существуетортонормированный базис (en ), состоящий из собственных векторов оператора A: Aen = λn en . Всечисла λn вещественны и для любого δ > 0 множество R\(−δ, δ) содержит конечное число точек λn .Пусть H1 , H2 — гильбертовы пространства. Оператор U : H1 → H2 называется унитарным, еслион является взаимно-однозначным отображением H1 на H2 и hU x, U yiH2 = hx, yiH1 .
Если H1 = H2 , тоэто эквивалентно тому, что U ∗ = U −1 . Гильбертовы пространства H1 и H2 называются изометрическиизоморфными, если существует унитарный оператор U : H1 → H2 . Оказывается, что все бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства изометрически изоморфны друг другу и, в частности,∞Pпространству l2 .
В самом деле, пусть (en ) — ортонормированный базис в H. Каждому x ∈ H, x =xn enn=1сопоставим последовательность (xn ). Это и есть искомый унитарный оператор из H на l2 .Пусть H0 ⊂ H — замкнутое подпространство. Каждому вектору x ∈ H сопоставим его ортогональнуюпроекцию на H0 . Это отображение P является линейным ограниченным самосопряженным оператором иP 2 = P . Если x ∈ H0 , то P x = x, если x ∈ H0⊥ (то есть x ортогонален любому вектору из H0 ), то P x = 0.10.4Обобщенные функцииСначала введем понятие топологического векторного пространства.
Пусть поле K — это R или C.Определение 10.5. Топологическим векторным пространством называется пара (X, τ ), где X — линейное пространство над полем K, τ — топология на X, удовлетворяющая следующему условию: операции сложения векторов и умножения вектора на число являются непрерывными отображениямиX × X → X и K × X → X соответственно.Пусть X — линейное пространство, {pα }α∈A — система полунорм на X.
Введем на X топологию, базойкоторой является система множеств вида{x ∈ X : pαk (x − x0 ) < εk , k = 1, . . . , n},где x0 ∈ X, n ∈ N, εk > 0. Тогда X называется полинормированным пространством. В полинормированномпространстве сложение векторов и умножение вектора на число является непрерывной операцией, так чтоэто частный случай топологического векторного пространства.Утверждение 10.1.
Пусть на линейном пространстве X заданы две системы полунорм P = {pα }и Q = {qβ }. Тогда для того, чтобы топология, порожденная системой P , была сильнее топологии,порожденной системой Q, необходимо достаточно, чтобы для любого β нашлись C > 0 и {αi }ni=1 такие,nPчто qβ (x) 6 Cpαi (x) для любого x ∈ X.i=1Пусть Ω ⊂ Rm — область, Kn ⊂ Ω — компактные подмножества, Kn ⊂ Kn+1 , ∪∞n=1 Kn = Ω. Рассмотримпространство C0∞ (Ω) бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем и зададим в немтопологию с помощью системы допустимых полунорм. Полунорма p называется допустимой, если длялюбого n ∈ N найдутся числа C(n) > 0 и j(n) ∈ Z+ такие, что для любой функции ϕ ∈ C0∞ (Ω) сносителем в Kn выполнено p(ϕ) 6 C(n) max|α|<j(n) maxx∈Kn |Dα ϕ(x)|.
Здесь α = (α1 , . . . , αm ), αj ∈ Z+ , —мультииндекс, |α| = α1 + · · · + αm , Dα ϕ(x) =∂ |α| ϕαm (x).∂x1 1 ...∂xαmDОбозначим построенное пространство черезD. Можно показать, что ϕn → ϕ при n → ∞ тогда и только тогда, когда существует компакт K ⊂ Ωтакой, что supp ϕn ⊂ K для любого n и Dα ϕn → Dα ϕ равномерно в Ω для любого α.Пространство S(Rm ) состоит из бесконечно дифференцируемых функций, таких чтоsupx∈Rm kxkk |Dα ϕ(x)| < ∞ для любого k ∈ Z+ и для любого мультииндекса α. Топология задается спомощью системы полунорм pk, α (ϕ) = supx∈Rm kxkk |Dα ϕ(x)|.Ясно, что D(Rm ) ⊂ S(Rm ); кроме того, топология в D(Rm ) сильнее, чем в S(Rm ).Пространства обобщенных функций D′ и S ′ — это пространства линейных непрерывных функционаловна D и S соответственно.
Топология задается системой полунорм pϕ (F ) = |hF, ϕi|, ϕ ∈ D (соответственноϕ ∈ S). Так как топология в D сильнее, чем в S, то S ′ ⊂ D′ и вложение S ′ в D′ непрерывно. При этомвключение S ′ ⊂ D′ строгое:любая локально интегрируемая функция задает обобщенную функцию изRD′ по формуле hF, ϕi = F (x)ϕ(x) dx, но она не обязательно принадлежит S ′ . Например, если |F (x)| >γCekxk при достаточно больших x, где C > 0, γ > 0, то F ∈/ S ′.98Умножение на гладкую функцию и дифференцирование задаются соответственно по формуламhη(x)F (x), ϕ(x)iP= hF (x), η(x)ϕ(x)i и hFx′ k , ϕi = −hF, ϕ′xk i.Пусть L =aα (x)Dα + f (x) — линейный дифференциальный оператор с гладкими коэффициен|α|6nтами. Скажем, что F удовлетворяет дифференциальному уравнению LF = 0 в обобщенном смысле, еслиnPdkдля любого ϕ ∈ D выполнено hLF, ϕi = 0.
Если L =ck (x) dxk + f (x) в D(a, b), где ck и f бесконечноk=0дифференцируемы и cn (x) 6= 0 для любого x ∈ (a, b), то обобщенное решение уравнения LF = 0 являетсягладкой функцией и удовлетворяет этому уравнению в классическом смысле [20].
В многомерном случае это, вообщеговоря, не выполняется: например, функция f (x, y) = δ(x − y), задаваемая равенствомRhf, ϕi = ϕ(t, t) dt, является обобщенным решением уравнения fx′ + fy′ = 0. Для того, чтобы решениебыло регулярным, достаточно потребовать, чтобы дифференциальный оператор был эллиптическим.
Вчастности, обобщенное решение уравнения (−∆ + V )u = Eu, где E ∈ C, V ∈ C ∞ (Ω), является бесконечнодифференцируемой функцией [3, §IX.6].Теперь дадим определение пространства Соболева. Пусть Ω ⊂ Rm — область. Пространством СоболеваrW2 (Ω) называется множество функций f ∈ L2 (Ω) таких, что их обобщенные производные Dα f , |α| 6 r,принадлежат L2 (Ω). В этом пространстве вводится нормаX Z2kf kW2r (Ω) =|Dα f (x)|2 dx,|α|6r Ωи W2r (Ω) является гильбертовым пространством относительно этой нормы.Рассмотрим случай m = 1 и r = 1. Тогда пространство W21 (a, b) совпадает с множеством абсолютнонепрерывных функций f , таких что f ′ ∈ L2 (a, b) (где f ′ — производная функции f почти всюду). При этомf ′ совпадает с обобщенной производной функции f . Если (a, b) — конечный интервал, то норма функцииf в пространстве C[a, b] оценивается следующим образом: для любого ε > 0 существует константа C =C(ε, b − a) такая, чтоkf kC[a, b] 6 εkf ′ kL2 [a, b] + Ckf kL2 [a, b]для любого f ∈ W21 [a, b] (неравенство Соболева).
Из неравенства Коши–Буняковского следует, что длялюбых x1 , x2 ∈ [a, b] выполнено|f (x2 ) − f (x1 )| 6 |x2 − x1 |1/2 kf ′ kL2 [a, b] .Через W̊21 [a, b] обозначим замыкание C0∞ (a, b) в W21 [a, b]. Это подпространство совпадает с множествомфункций f ∈ W21 [a, b], таких что f (a) = f (b) = 0.Подробнее про обобщенные функции написано, например, в [24].10.5Задачи выпуклого программирования.Пусть X — линейное пространство над R. Множество A ⊂ X называется выпуклым, если для любыхx, y ∈ A и любого α ∈ [0, 1] выполнено αx + (1 − α)y ∈ A. Функция f : A → R называется выпуклой,если для любых x, y ∈ A и для любого α ∈ [0, 1] выполнено неравенство Йенсена f (αx + (1 − α)y) 6αf (x) + (1 − α)f (y).Пусть A ⊂ X — выпуклое множество, fi : A → R, i = 0, .
. . , n + m, при этом функции fi выпуклыдля любого i = 0, . . . , n + m, а при i = n + 1, . . . , n + m выпуклыми являются также −fi . Рассмотримэкстремальную задачу f0 (x) → inf,fi (x) 6 0, 1 6 i 6 n,(10.1)fi (x) = 0, n + 1 6 i 6 n + m,x ∈ A.Запись (10.1) означает, что ищется минимум функции f0 на множестве Ã точек x ∈ A, удовлетворяющихусловиям fi (x) 6 0 для i = 1, . . . , n и fi (x) = 0 для i = n+1, . . . , n+m. Следующая теорема4 [19] являетсяаналогом правила множителей Лагранжа для задач на условный экстремум.Теорема 10.5.
(Кун–Таккер) Пусть x̂ ∈ A — решение задачи (10.1). Тогда найдутся λ0 , . . . , λn+m , неравные одновременно нулю, такие, что4 Здесь применяется модификация теоремы Куна–Таккера для случая, когда имеются ограничения типа равенств дляаффинных функционалов. Это утверждение отличается тем, что множители Лагранжа перед функционалами, задающимиограничения типа равенств, не обязательно неотрицательные. Доказательство такое же, как у теоремы Куна–Таккера в [19],с небольшими изменениями.991.n+mPλi fi (x̂) = minx∈Ai=02. λi > 0, 0 6 i 6 n;n+mPλi fi (x);i=03. λi fi (x̂) = 0, 1 6 i 6 n.Если точка x̂ ∈ Ã удовлетворяет условиям 1)–3) с λ0 > 0, то x̂ является точкой минимума в (10.1).11Дополнение 2: Группы и алгебры ЛиПодробное изложение теории групп Ли, ориентированное на приложения к квантовой механике и теорииполя имеется в книге [4].
Построение представлений некоторых групп, встречающихся в задачах математической физики, можно найти в [21].11.1Непрерывные группыОпределение 11.1. Множество G элементов g называется группой, если на нем определена ассоциативная операция умножения, сопоставляющая каждой упорядоченной паре g1 , g2 элемент g3 = g1 g2 ,называемый произведением, такая, что существуют единица e, (eg = ge для всех g ∈ G) и обратныйэлемент g −1 : gg −1 = g −1 g = e.Вообще говоря, g1 g2 6= g2 g1 . Группа, для всех элементов которой g1 g2 = g2 g1 , называется коммутативной или абелевой. Если хотя бы для одной пары элементов операция умножения некоммутативна, группаназывается неабелевой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
