А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Пусть Ĥβ — семейство самосопряженных операторов, определенных при малых вещественных β, Ĥβ → Ĥ0 в сильном резольвентном смысле. Пусть E0 — изолированное невырожденноеβ→0собственное значение и ψ0 — соответствующий нормированный собственный вектор. Семейства векторов ψ(β), β ∈ R, и чисел E0 + βE1 называются соответственно псевдособственным вектором первогопорядка и псевдособственным значением первого порядка, если1. lim kψ(β) − ψ0 k = 0,β→02.
lim β −1 k(Ĥβ − E0 − βE1 )ψ(β)k = 0.β→0Теорема 8.6. [3, теорема XII.22] Пусть Ĥβ → Ĥ0 в сильном резольвентном смысле и что Ĥβ самосоβ→0пряжен для любого β. Пусть E0 — изолированное невырожденное собственное значение Ĥ0 и I — такойинтервал, что I ∩ σ(Ĥ0 ) = {E0 }. Тогда для того, чтобы существовала функция f (β) ∈ o(β) такая, чтоβ→0часть спектра Ĥβ , лежащая в I, асимптотически попадает вdefIβ = (E0 + βE1 − f (β), E0 + βE1 + f (β)),необходимо и достаточно, чтобы E0 + βE1 было псевдособственным значением первого порядка для Ĥβ .Следующая теорема дает достаточное условие для концентрации спектра на Iβ .Теорема 8.7.
[3, теорема XII.23] Пусть самосопряженные операторы Ĥβ заданы для каждого β изнекоторой окрестности N нуля в R. Пусть существует такой симметрический оператор V̂ , что1. Ĥ0 существенно самосопряжен на D(Ĥ0 ) ∩ D(V̂ );2. если ψ ∈ D(Ĥ0 ) ∩ D(V̂ ), то при любом β ∈ N имеем ψ ∈ D(Ĥβ ) и Ĥβ ψ = Ĥ0 ψ + β V̂ ψ;3. E0 — изолированное собственное значение Ĥ0 с кратностью 1, и соответствующий собственныйвектор принадлежит D(V̂ ).Пусть I — такой открытый интервал, что σ(Ĥ0 ) ∩ I = {E0 }, и пусть E1 = hψ0 , V̂ ψ0 i — коэффициент Релея–Шредингера первого порядка для возмущения собственного значения E0 . Тогда существуетфункция f (β) ∈ o(β) при β → 0 такая, что часть спектра Ĥ0 + β V̂ , лежащая в I, асимптотическипопадает в (E0 + βE1 − f (β), E0 + βE1 + f (β)).2~∆ − αr , V̂ = Eez.
Можно доказать,В качестве примера рассмотрим эффект Штарка. Пусть Ĥ0 = − 2µчто выполнены условия предыдущей теоремы. Пусть |ψ0 i — основное состояние для Ĥ0 . Так как E 1 =hψ0 |V̂ |ψ0 i = 0, то часть спектра Ĥ0 + β V̂ , находящаяся вблизи от E0 , концентрируется в (E0 − λβ, E0 + λβ)при β → 0 для любого λ > 0.
Можно также доказать, что все коэффициенты Релея–Шредингера конечны.Более того, для любого n можно найти функцию fn (β) такую, что |β|−n fn (β) → 0 и часть спектраβ→0Ĥ0 + β V̂ , лежащая вблизи E0 , концентрировалась в (nPm=0Em β m − fn (β),nPm=0Em β m + fn (β)) при β → 0.Кроме обобщения на порядок n, теорема может применяться к уровням конечной кратности вырождения. Например, в рассмотренном примере второе собственное значение четырехкратно вырождено (l = 0,m = 0 и l = 1, m = ±1, 0) и расщепляется в первом порядке на одно двукратное псевдособственное значение и два однократных псевдособственных значения.
В самом деле, Ĥ0 + β V̂ симметричен относительноповоротов вокруг оси z, и он оставляет инвариантными подпространства {f (r, θ)eimϕ : f ∈ L2 }. Вычисливматричные элементы Vjk , получаем, что поправка к энергии состояний с m = ±1 равна нулю. Рассмотримсостояния с l = 0, m = 0 и l = 1, m = 0. Нормированные волновые функции этих состояний равны11rψ200 = √2−e−r/2rB ,rB2π 4r3/2B11 −r/2rB rψ210 = √ecos θ.3/2rB2π 4rBМатрица Vjk имеет видVjk = −3eErB830 1,1 0а ее собственные значения равны ±3eErB . Вычислив коэффициенты Cα для каждого из собственныхзначений, находим, что суперпозициям1ψ± = √ (ψ200 ± ψ210 )2соответствуют поправки к энергии1E±= ±3eErB .8.4Квантовые переходыПрименим метод возмущений к нестационарному уравнению Шредингера. Будем считать, что Ĥ0 не зависит от времени, а возмущение β V̂ зависит.
Сначала предположим, что спектр оператора Ĥ0 чистодискретный, а решение уравненияi~∂ψ= (Ĥ0 + β V̂ )ψ∂t(8.4)принадлежит H. Значит, ψ(t) можно представить в видеψ=XCn (t)ψn0 e−0iEn~t(8.5),nгде {ψn0 } — полная ортонормированная система собственных векторов оператора Ĥ0 , En0 — собственныезначения. Подставляя (8.5) в (8.4), учитывая соотношения Ĥ0 ψn0 = En0 ψn0 и проектируя на ψk0 , получаемдля коэффициентов разложения уравнение1 XCn (t)βVkn (t)e−iωnk t ,i~ nĊk =(8.6)где Vkn (t) = hψk0 , V̂ (t)ψn0 i, аωnk =En0 − Ek0~(8.7)— частоты переходов.
Будем решать систему (8.6), разлагая Ck в формальный ряд по степеням β:Ck = Ck0 + βCk1 + . . . .Подставляем в (8.6):Ċk0 + β Ċk1 + · · · =1 X 0(Cn + βCn1 + . . . )βVkn (t)e−iωnk t .i~ nВыделяем слагаемые первого порядка малости по β и получаемĊk1 =откудаCk1 (t)1 X 0C Vkn (t)e−iωnk t ,i~ n n1=i~Zt X0′Cn0 Vkn (t′ )e−iωnk t dt′n(предполагается, что при t = 0 система находится в невозмущенном состоянии Ck (0) = Ck0 (0)). Пустьначальное состояние является одним из стационарных состояний, то есть Ck0 = δkn .
ТогдаCk1 (t)1=i~Zt′Vkn (t′ )e−iωnk t dt′ .(8.8)0Теперь рассмотрим общий случай. Пусть H+ ⊂ H ⊂ H− — оснащение гильбертова пространства, {ψE (·)} ⊂H− — полная система обобщенных собственных векторов для оператора Ĥ0 . Предположим, что для любогоt выполнено ψ(t) ∈ H− и выполнено равенствоi~dhψ, ϕi = hψ, (Ĥ0 + β V̂ (t))ϕi,dt84где ϕ, (Ĥ0 + β V̂ )ϕ ∈ H+ для малых β. Обозначим через F оператор преобразования Фурье, построенныйiEtпо спектральному разложению Ĥ0 , а через dλ(E) — спектральную меру.
Пусть F (ψ(t))(E) = CE (t)e− ~ .Тогда из равенствdi~ hF ψ, F ϕi = hF (ψ), F ((Ĥ0 + β V̂ )ϕ)idtиF (Ĥ0 ϕ)(E) = EF (ϕ)(E)следует, чтоhĊE (t)e−iEt~Определим обобщенные функции VE ′ E иβhF (ψ), F (V̂ ϕ)i.i~VEE ′ F (ψ)(E ′ ) dλ(E ′ ) по формулам, F (ϕ)i =Rσ(Ĥ0 )ZVE ′ E F (ϕ1 )∗ (E ′ )F (ϕ2 )(E) dλ(E ′ ) dλ(E) = hϕ1 , V̂ ϕ2 i,(8.9)σ(Ĥ0 )×σ(Ĥ0 )* Z′+′= hF (ψ)(E ′ ), hVE ′ E , F (ϕ)(E)ii = hF (ψ), F (V̂ ϕ)i,VEE ′ F (ψ)(E ) dλ(E ), F (ϕ)(E)σ(Ĥ0 )где ϕ1 , ϕ2 ∈ H+ таковы, что hϕ1 , V̂ ϕ2 i < ∞, ϕ ∈ H+ , V̂ ϕ ∈ H+ и ψ ∈ H− . ТогдаZi(E ′ −E)tβdλ(E ′ ).ĊE =VEE ′ CE ′ (t)e− ~i~(8.10)σ(Ĥ0 )Частоты переходов равны ωE ′ E =векторов в H− ). ТогдаE ′ −E~ .Пусть ψ = ψ 0 + βψ 1 + β 2 ψ 2 + . .
. (это асимптотический ряд из012CE = CE+ βCE+ β 2 CE+ ...(асимптотический ряд в F (H− )). Подставляем этот ряд в (8.10), выделяем коэффициенты при β и получаемZt Z110−iωE ′ E t′CE (t) =CEdλ(E ′ ) dt′ .′ VEE ′ ei~0 σ(Ĥ0 )0Если начальным состоянием является стационарное состояние ψE′ , то1CE(t)1=i~ZtVEE ′ (t′ )e−iωE′ E t dt′ .(8.11)0Соотношения (8.8) и (8.11) показывают, что к моменту t система может находиться в состоянии ψk0 (соот0ветственно ψE). Таким образом, нестационарная теория возмущений приводит к представлению о квантовых переходах между состояниями невозмущенного спектра под действием возмущения.Рассмотрим предел выражения (8.8) при больших t в случае V̂ (t) = Ŵ cos ωt, где Ŵ — некоторыйоператор, не зависящий от времени. Тогда в результате интегрирования по времени в (8.8) получаемWkn ei(ω−ωnk )t − 1 e−i(ω+ωnk )t − 11Ck =+(8.12)2~ωnk − ωωnk + ωгде Vkn (t) = Wkn cos ωt.
Из (8.7) видно, что наиболее существенные переходы будут происходить в состояниях с энергиями Ek0 = En0 ± ~ω (если эти состояния присутствуют в спектре Ĥ0 ). Если ω = ωnk , то прибольших t первое слагаемое в (8.12) доминирует, иCk1 (t) ∼ −iWkn t.2~Замечание.
Поправка Ck1 (t) будет малой, только если коэффициенты Wkn малы.Вероятность того, что в момент t система будет находиться в состоянии |ψk0 i, можно интерпретироватькак вероятность перехода из |ψn0 i в |ψk0 i. Эта величина равна |Ck1 |2 . Скорость перехода определяетсяформулойdef dwn→k =|C 1 |2 .dt k852В точном резонансе wn→k = |W2~nk2 | t, то есть скорость перехода линейно растет со временем.Теперь рассмотрим случай непрерывного спектра. Тогда, если коэффициенты CE (t) являются регулярными функциями, можно определить обобщенную функциюZd1|CE(t)|2 ϕ(E) dλ(E).hwE ′ →E , ϕ(E)i = limt→∞ dtσ(Ĥ0 )Если в окрестности точки E мера dλ(E) равна dE, то это можно записать в виде дифференциальнойвероятностиd 1dwE ′ →E = lim|CE (t)|2 dE.t→∞ dtПусть снова V̂ (t) = Ŵ cos ωt, VEE ′ = WEE ′ cos ωt, E ′ = E + ~ω, ω 6= 0.
В окрестности этой точки1 2|CE| =поэтому|WEE ′ |2(ω − ωE ′ E )tsin2,22E ′ E − ω)~2 (ω|WEE ′ |2 sin(ω − ωE ′ E )td 1 2|CE | =.dt2~2ω − ωE ′ EТак как в пространстве обобщенных функцийdwE ′ →Eπ= 2 |WEE ′ |2 δ2~1 sin tx→π xt→∞E′ − E−ω~δ(x), тоdE =π|WEE ′ |2 δ(E ′ − E − ~ω) dE.2~1Если ω = 0, то надо учитывать оба слагаемых в выражении для CE, поэтому получаем значение, в 4 разабольшее:dwE ′ →E =8.52π|WEE ′ |2 δ(E ′ − E) dE.~(8.13)Рассеяние в борновском приближенииПусть ψ~k — решение уравнения Липпмана–Швингера (6.15).
С помощью итераций построим формальныеряды для ψ~k и подставим их в (6.18). Получаем разложение T -матрицы в формальный ряд:T (~k ′ , ~k) =∞XTn (~k ′ , ~k),n=0гдеT0 (~k ′ , ~k) =(−1)n 2µn+1=(2π)n+3 ~2n+2Z~′e−ik ~x0 V (~x0 )2µ(2π)3 ~2Z~ ~′Tn (~k ′ , ~k) =ei(k−k )~r V (~r) d3 r,~eik|~x0 −~x1 |eik|~xn−1 −~xn |V (~x1 ) . .
. V (~xn−1 )V (~xn )eikxn d3 ~x0 . . . d3 ~xn .|~x0 − ~x1 ||~xn−1 − ~xn |Этот ряд называется рядом Борна. Выразив дифференциальное сечение рассеяния через амплитуду рассеяния и вместо T подставив T0 , получаем сечение рассеяния в борновском приближении2 µ 2 Z′ 2i(~k−~k′ )~r3 ~~dσ = |f (k, k )| dΩ ≈eV(~r)d~r dΩ.2π~2Пусть начальное состояние имеет вид плоской волны, отвечающей импульсу ~p падающей частицыψp~ =1ei~p~r/~ ,(2π~)3/2а конечное — такой же вид, но для импульса p~′ψp~′ =′1ei~p ~r/~ .3/2(2π~)Потенциал считаем не зависящем от t, то есть в формулах предыдущего раздела полагаем ω = 0. Согласно(8.9),ZZψ1∗ (~r)V (~r)ψ2 (~r) d3~r =Vp~′ p~ ψ̂1∗ (~p′ )ψ̂2 (~p) d3 p~′ d3 p~,86где1(2π~)3/2ψj (~r) =Zei~p~r ψ̂j (~p) d3 ~p.Если функция V достаточно быстро убывает на бесконечности, то можно воспользоваться теоремой Фубини и получить, чтоZ′1Vp~′ p~ =ei(~p−~p )~r/~ V (~r) d3~r.3(2π~)Согласно (8.13),dwp~→~p′ =2π|Vp~′ p~ |2 δ~p2p′2−2µ 2µd3 ~p′ .(8.14)Утверждение 8.1.
Дифференциальное сечение рассеяния равно отношению скорости перехода(проинтегрированной по p′ ) к |~j|, где~j = ~ (ψp~∗ ▽ ψp~ − ψp~ ▽ ψp~∗ ) = p~ 1 .2µiµ (2π~)3Доказательство. Положим ~q=p~−~p′~ ,Vq~ = (2π~)3 Vp~′ p~ =Zei~q~r V (~r) d3~r.Перейдем к сферическим координатам в импульсном пространстве и заменим d3 p~′ наp′2 dp′ dΩ′ =1 ′p d(p′ )2 dΩ′ .2Проинтегрируем (8.14) по d(p′ )2 :Z∞0откуда2π|Vp~′ p~ |2 δ~p2p′2−2µ 2µ2π2~′ p~ | µp~ |Vppµ(2π~)3= µ21 ′2π12πp d(p′ )2 =|Vp~′ p~ |2 2µ p =|Vp~′ p~ |2 µp,2~2~dΩ′ = |Vp~′ p~ |2 µ2 (2π~)32πdΩ′ =~ µ 21 2π2′|V|dΩ=|Vq~ |2 dΩ′ = dσ.q~(2π~)3 ~2π~2Если потенциал сферически симметричен, то можно разложить ei~q~r по шаровым функциям, выполнитьинтегрирование по углам и получить для фаз рассеяния выражение в борновском приближенииπµδl = − 2~Z∞V (r)Jl+1/2 (kr)r dr,0где k = p/~, δl ≪ 1.9Квантовая статистика9.1Операторы со следомДадим два эквивалентных определения оператора со следом:1.
Оператор A называется оператором со следом, если A =NPBj Cj , где Bj и Cj — операторы Гильберта–j=1Шмидта [12, Добавление 1, §4].2. Оператор PA называетсяоператором со следом, если для любого ортонормированного базиса (en )√величина hen , A∗ Aen i конечна [3, §VI.6].n87Следом оператора A называется величинаXhen , Aen i,Tr A =nгде (en ) — ортонормированный базис.
Эта величина не зависит от выбора (en ).Утверждение 9.1. [12] Пусть A — оператор со следом, B — ограниченный оператор. Тогда AB и BAявляются операторами со следом и Tr (AB) = Tr (BA).ПустьK̂ϕ(x) =ZK(x, y)ϕ(y) dy.RnСледующая теорема [12] дает необходимое условие того, что K̂ является оператором со следом и формулудля следа.Теорема 9.1. Пусть K̂ — оператор со следом в L2 (Rn ) с ядром K(x, y). Тогда1. K(x, x + ξ) ∈ L1 (Rnx ) для почти всех ξ ∈ Rn ;2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
