А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654), страница 23
Текст из файла (страница 23)
[3, теорема XII.5] Пусть A — замкнутый оператор, и пусть{µ : |µ − λ| < ε} ∩ σ(A) = {λ}.Тогда для любого r ∈ (0, ε) определен операторPλ = −12πiZ(A − µ)−1 dµ,|µ−λ|=rкоторый не зависит от r и является проектором (то есть Pλ2 = Pλ ).79Определение 8.1. Точка λ ∈ σ(A) называется дискретной, если она изолирована и оператор Pλ конечномерен; если Pλ одномерен, то λ называется невырожденным собственным значением.Утверждается, что если A самосопряжен, то точка λ ∈ σ(A) является дискретной в смысле этогоопределения тогда и только тогда, когда она изолирована и является собственным значением конечнойкратности (или, что то же самое, спектральный проектор P(λ−ε, λ+ε) конечномерен для некоторого ε > 0).Теорема 8.2.
[3, теоремы XII.8 и XII.9] Пусть Ĥ0 — самосопряженный оператор, D(V̂ ) ⊃ D(Ĥ0 ) исуществуют такие a, b > 0, что kV̂ ψk 6 akĤ0 ψk + bkψk для любого ψ ∈ D(Ĥ0 ). Пусть E0 — невырожденное собственное значение оператора Ĥ0 . Тогда при β, близком к 0, существует единственнаяточка Eβ ∈ σ(Ĥβ ) вблизи E0 и эта точка изолирована и невырождена. Функция Eβ аналитична приβ, близких к 0, и существует аналитический по β собственный вектор ψβ , такой что kψβ k = 1 привещественных β.Замечание.
В [3] эта теорема доказывается для более общих семейств операторов T (β) (аналитических семейств в смысле Като). То, что kψβ k можно взять равным 1 при вещественных β, выполненопри условии самосопряженности T (β) при вещественных β. Утверждается, что если выполнены условиятеоремы 8.2, то Ĥβ является аналитическим семейством в смысле Като.
Самосопряженность Ĥβ следуетиз теоремы 1.3.Пусть Eβ и ψβ аналитически зависят от β. ТогдаEβ = E 0 + βE 1 + β 2 E 2 + . . . ,ψβ = ψ 0 + βψ 1 + β 2 ψ 2 + . . . .Коэффициенты ряда Тейлора для энергии называются коэффициентами Релея–Шредингера, а сам рядназывается рядом Релея–Шредингера. Положив β = 0, получаем E 0 = E0 , ψ 0 = ψ0 . Найдем первуюпоправку к собственному значению. Из уравнения Шредингера Ĥβ ψβ = Eβ ψβ получаем(Ĥ0 + β V̂ )(ψ0 + βψ 1 + o(β)) = (E0 + βE 1 + o(β))(ψ0 + βψ 1 + o(β)),откудаV̂ ψ0 + Ĥ0 ψ 1 = E 1 ψ0 + E0 ψ 1 .(8.1)Умножив скалярно на ψ0 и воспользовавшись самосопряженностью Ĥ0 , получаемhψ0 , V̂ ψ0 i + hĤ0 ψ0 , ψ 1 i = E 1 + E0 hψ0 , ψ 1 i.Так как Ĥ0 ψ0 = E0 ψ0 , то отсюдаE 1 = hψ0 , V̂ ψ0 i.Предположим, что Ĥ0 имеет чисто дискретный спектр, то есть существует полная ортонормированная0система {ψm} собственных векторов.
Пусть ψ0 = ψn0 ,ψβ =∞Xψnk β k ,Eβ =k=0ψn10{ψm}.hψn0 ,∞XEnk β k .k=0ψn0 iРазложимпо базисуТак как= hψβ , ψβ i = 1, то hψn1 , ψn0 i = o(1) при β → 0 и поэтомуравно 0, так как не зависит от β. Найдем проекции на остальные базисные векторы. Умножим скалярно0(8.1) на ψm:0000hψm, Ĥ0 ψn1 i + hψm, V̂ ψn0 i = En0 hψm, ψn1 i + En1 hψm, ψn0 i,откудато есть0000Emhψm, ψn1 i + hψm, V̂ ψn0 i = En0 hψm, ψn1 i,0hψm, ψn1 i =0Положив Vmn = hψm, V̂ ψn0 i, получаемψn1 =Xm6=n0hψm, V̂ ψn0 i.00En − EmVmn0ψm.0En0 − Em(8.2)Найдем вторую поправку к энергии. Выписав в уравнении Шредингера коэффициенты при β 2 , получаемĤ0 ψn2 + V̂ ψn1 = En0 ψn2 + En1 ψn1 + En2 ψn0 .80Умножим скалярно на ψn0 :hψn0 , Ĥ0 ψn2 i + hψn0 , V̂ ψn1 i = En0 hψn0 , ψn2 i + En1 hψn0 , ψn1 i + En2 .Из равенств Ĥ0 ψn0 = En0 ψn0 , hψn0 , ψn1 i = 0 и (8.2) получаемEn2 =Xm6=n|Vmn |2.0En0 − EmЗаметим, что вторая поправка к энергии основного состояния всегда отрицательна.Теперь рассмотрим случай вырожденных собственных значений.Теорема 8.3.
[3, теорема XII.13 и задача 17 к гл. XII] Пусть семейство операторов Ĥβ удовлетворяетусловиям теоремы 8.2 и пусть E0 — дискретное собственное значение кратности m. Тогда существуетm (не обязательно различных) однозначных функций, аналитических вблизи β = 0: E (1) (β), . .
. , E (m) (β)с E (k) (0) = E0 таких, что эти функции являются собственными значениями Ĥβ при β вблизи нуля.Более того, это единственные собственные значения вблизи E0 . Существуют аналитические векторнозначные функции ψ1 (β), . . . , ψm (β) в окрестности нуля такие, что ψi (β) — собственные векторы иhψi (β), ψj (β)i = δij для всех вещественных β.Пусть {ψi0 }mi=1 — ортонормированная система собственных векторов оператора Ĥ0 , соответствующихсобственному значению E0 . Тогда векторы ψi (β)|β=0 представляются в видеmXψi (0) =Cij ψj0 .j=1Умножим (8.1) с ψ0 = ψi (0) скалярно на ψj0 и получимXk(Vjk − E 1 δjk )Cik = 0,(8.3)где Vjk = hψj0 |V̂ |ψk0 i.
Система (8.3) имеет нетривиальное решение, если E 1 — собственное значение матрицы Vjk . Так как эта матрица эрмитова, то собственные значения вещественны и их число равно m, асобственные векторы можно выбрать ортонормированными.8.2Асимптотическая теория возмущенийАппарат регулярной теории возмущений не всегда применим, и ряд Релея–Шредингера может расходитьсяпри всех β 6= 0. Формальный ряд можно интерпретировать как асимптотический.Определение 8.2.
Пусть f — функция, определенная на положительной вещественной полуоси. Будем∞Pговорить, что формальный рядan z n асимптотический для f при z → 0+, если для каждого N ∈ Z+n=0limz→0+f (z) −NPan z nn=0zN= 0.Функция по асимптотическому ряду восстанавливается неоднозначно. Однозначность имеет место приналожении более сильных условий на функцию и на ряд.Определение 8.3. Будем говорить, что функция f (z), аналитическая в сектореπ+ ε},2Pудовлетворяет сильному асимптотическому условию и имеетan z n в качестве сильного асимптотического ряда, если существуют такие C и σ, что для всех N ∈ Z+ и всех z в данном сектореNXan z n 6 Cσ N +1 (N + 1)!|z|N +1 .f (z) −{z : 0 < |z| < B, | arg z| <n=0Теорема 8.4. [3, теорема XII.19] Еслифункций f и g, то f = g.Pan z n — сильный асимптотический ряд для двух аналитических81В [3, §XII.4] приведены достаточные условия того, что ряд Релея– Шредингера является асимптотическим для Eβ (которое является единственным собственным значением оператора Ĥβ вблизи E0 ) и того,что он является сильным асимптотическим рядом (у этих теорем довольно длинные формулировки).
Примером оператора, для которого Eβ задается сильным асимптотическим рядом, является ангармоническийmω 2 x2~2 d 2осциллятор − 2m+ βx4 .dx2 +2Сильные асимптотические ряды суммируются методом Бореля: рассматривается функцияg(z) =и полагается E(β) =R∞∞Xan nzn!n=0g(xβ)e−x dx. Точнее, имеет место следующее утверждение.0PТеорема 8.5.
[3, теорема XII.21] Пусть an β n есть сильный асимптотический ряд для E(β) в секторе{β : 0 < |β| < B, | arg β| 6 π2 +ε}. Тогда g(z) аналитична в некотором круге с центром в 0 и аналитическиR∞продолжается в область {z : | arg z| < ε}. Если |β| < B и | arg β| < ε, то |g(xβ)|e−x dx < ∞ и E(β) =R∞0g(xβ)e−xdx.08.3Концентрация спектраМы рассматривали возмущенные системы с изолированным собственным значением, расположеннымвблизи от изолированного собственного значения невозмущенной системы. Здесь мы рассматриваем ситуацию, когда есть изолированное невозмущенное собственное значение и почленно конечный ряд теориивозмущений, но нет возмущенного собственного значения.~2В качестве примера рассмотрим эффект Штарка. Пусть Ĥ0 = − 2µ∆ − αr , V̂ = Eez.
Можно доказать,что при вещественных β оператор Ĥ0 +β V̂ существенно самосопряжен на C0∞ (R3 ) и что σ(Ĥ0 +β V̂ ) = R, тоесть спектр является непрерывным. Тем не менее ряд теории возмущений для энергии основного состоянияпочленно конечен.Рассмотрим последовательность Eez, |z| < n,Een, z > n,Vn (r) =−Een, z 6 −n.P (n) mТогда для оператора Ĥ0 + β V̂n выполнены условия теоремы 8.2, и при некоторыхB (n) рядam β дляPэнергии основного состояния E (n) (β) сходится к E (n) (β) при |β| 6 B (n) . Пустьam β m — формальный(n)ряд теории возмущений для энергии основного состояния Ĥ0 + β V̂ .
Тогда am → am . Таким образом,n→∞PP (n) mam β m — это формальный пределam β .В реальном физическом эксперименте поле однородно только в конечной области, и потенциал лучшеприближается функцией Vn , а не V . Поэтому наблюдаемый спектр выглядит как дискретный.С другой стороны, можно придать смысл ряду теории возмущений в случае непрерывного спектра какасимптотическому ряду для “центров сгущения” спектра. Введем формальные определения.Определение 8.4. Пусть Ĥn — семейство самосопряженных операторов и пусть {Pn (Ω)} — семействоспектральных проекторов Ĥn .
Будем говорить, что часть спектра Ĥn , лежащая в T ⊂ R, асимптотически попадает в Sn ⊂ R, еслиs- lim Pn (T \Sn ) = 0.n→∞Когда Ĥn → Ĥ в смысле сильной резольвентной сходимости, будем говорить, что часть спектра Ĥn вSn есть асимптотическая часть спектра Ĥ в T , еслиs- lim Pn (Sn ) = P (T ),n→∞где {P (Ω)} — проекторнозначная мера оператора Ĥ.Можно показать, что если T = (a, b), a, b не принадлежат точечному спектру Ĥ и Sn ⊂ T , то частьспектра Ĥn в T асимптотически попадает в Sn тогда и только тогда, когда часть спектра Ĥn , лежащая вSn , асимптотически является частью спектра Ĥ в T .Рассмотрим некоторое состояние ψ и спектральные меры hψ, Pn (Ω)ψi. Тогда определение 8.4 означает, что вероятность попадания на множество T \Sn стремится к 0, а вероятность попадания на Sn — кhψ, P (T )ψi, то есть спектр “концентрируется” на Sn .82Определение 8.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
