А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Такие произведения образуют бесконечномерную ассоциативную алгебру. Нетруднопроверить, что для нее также выполняется тождество Якоби.В квантовой механике возникает задача отыскания подпространств H гильбертова пространства состояний на которых задано действие некоторой группы Ли — представление группы. Например, при решениистационарного уравнения Шредингера для частицы в центральном поле полезно выбрать базис, реализующий неприводимые представления группы вращений SO(3). В общем случае, необходимо построитьтакую функцию T (g) принимающую значения на множестве линейных операторов, действующих в H, чтодля любой пары элементов g1 , g2 ∈ G имеет место соотношениеT (g1 g2 ) = T (g1 )T (g2 ).(11.5)Подпространство H называется пространством представления, а операторы T (g) образуют представлениегруппы G.
Пространство представления может быть конечномерным или бесконечномерным, непрерывность функций T (g) может задаваться в различных топологиях (слабой, сильной), при этом каждыйоператор T (g) должен иметь непрерывный обратный оператор. Из (11.5) следует, что T (g −1 ) = T −1 (g) иоператор, соответствующий единице группы, является единичным оператором в H.
Представление называется точным, если единичный оператор является образом лишь единичного элемента группы, и тривиальным, если все элементы группы отображаются в единичный оператор.Рассмотрим случай конечномерного пространства H. Тогда, выбирая в H базис φn и разлагая T (g)φnпо базису, будем иметь матричное представление Tmn (g), так что действие операторов представленияесть Tmn (g)φn = φm (по n суммирование).
Умножение на группе порождает матричное умножение впространстве представления, при этом все матрицы представления должны быть невырождены. Припреобразовании базиса матрицы представления претерпевают преобразование подобия. В более общемслучае, если задано линейное отображение A : H → H′ , имеющее непрерывное обратное A−1 , то, как легкопроверить, операторы T ′ (g) = AT (g)A−1 образуют эквивалентное представление. При соответствующемвыборе базиса эквивалентные представления задаются одинаковыми матрицами. Замена базиса приводитк изменению матриц представления.
Инвариантной характеристикой, не зависящей от выбора базиса,является характер представления χT (g), представляющий собой след матрицы представления.В гильбертовом пространстве естественным образом определяется эрмитово-сопряженное представление: нетрудно проверить что если T (g) -представление, то T + (g −1 ) также представление.Определение 11.9. Представление называется унитарным, если реализующие его операторы сохраняют скалярное произведение в гильбертовом пространстве hT (g)φ, T (g)ψi = hφ, ψi.Представление унитарно, если оно совпадает с эрмитово-сопряженным представлением.
В ортонормированном базисе матрица унитарного представления унитарна. Два унитарных представления T (g) в H иT ′ (g) в H′ унитарно эквивалентны, если существует унитарный изоморфизм U : H → H′ , такой чтоU T (g) = T ′ (g)U .Важной характеристикой представления является приводимость. Подпространство H∞ ⊂ H называется инвариантным, если из φ ∈ H∞ следует T (g)φ ∈ H∞ для всех g ∈ G. Для бесконечномерныхпредставлений будем рассматривать лишь замкнутые подпространства. Тривиальными подпространствами являются само пространство представления, и нулевое подпространство.Определение 11.10.
Представление назвается неприводимым , если оно содержит лишь тривиальныеинвариантные подпространства. В противном случае представление приводимо.С каждым приводимым представлением можно связать два новых представления: одно является просто сужением на H∞ , второе строится в фактор-пространстве H∞ /H. Если приводимое представлениеможно представить в виде прямой суммы неприводимых представлений, то оно называется вполне приводимым. Не всякое приводимое представление вполне приводимо.
В случае вполне приводимого представления можно выбрать базис так, что матрица представления будет блочно-диагональна (в бесконечномерном случае на диагонали может быть бесконечно много матриц). Доказывается, что все конечномерныеунитарные представления вполне приводимы ([21], стр. 32).Критерий неприводимости конечномерного представления дает следующее утверждение, известное как(первая) лемма Шура:105Теорема 11.10.
Если T — неприводимое представление в конечномерном пространстве H, то единственными операторами, коммутирующими со всеми T (g), являются операторы, кратные единичному.Прямым следствием леммы Шура является то, что неприводимые конечномерные представления абелевых(коммутативных) групп одномерны.
Действительно, для таких групп T (g) T (h) = T (h) T (g), так что прификсированном h оператор T (h) перестановочен со всеми операторами T (g), и в силу неприводимостиT (g) будем иметь T (h) = λ(h)I, где I единичный оператор. Но такое представление одномерно. Нетруднотакже показать, что любое приводимое представление абелевых групп является вполне приводимым иразлагается в прямую сумму одномерных представлений. Соответствующие матрицы диагональны.Другое важное следствие леммы Шура состоит в том, что операторы Казимира в любом неприводимомпредставлении группы кратны единичному оператору.Пример. Оператор Казимира C2 группы SO(3) во всех конечномерных представлениях на L2 (S 2 )кратен единичному: C2 = L21 + L22 + L23 = (l + 1)lI, где l - целое число.
Это последнее полностью задаетнеприводимое представление, базисными векторами которого являются шаровые функции Ylm (θ, φ), |m| ≤l. Оператор C2 является инвариантным оператором на однородном пространстве S 2 , на котором группаSO(3) действует транзитивно.Можно сформулировать и обратное утверждение: если любой оператор A, коммутирующий со всемиоператорами некоторого унитарного представления группы, кратен единичному, то представление неприводимо.Для сильно непрерывных представлений компактных групп имеют место утверждения ([4], гл.7):Теорема 11.11. Любое представление компактной группы ограниченными операторами в гильбертовомпространстве унитарно относительно некоторого скалярного произведения в пространстве представления.Теорема 11.12.
Каждое неприводимое унитарное представление компактной группы конечномерно.С учетом полной приводимости конечномерных унитарных представлений это означает, что все конечномерные представления компактных групп вполне приводимы. Аналогичное утверждение верно и длябесконечномерных унитарных представлений компактных групп: пространство такого представления разлагается в прямую сумму конечномерных инвариантных подпространств, в которых индуцируются неприводимые представления группы.Для групп более общего типа справедливы следующие утверждения:Теорема 11.13. Всякое конечномерное неприводимое представление связной топологической разрешимой группы одномерно.Теорема 11.14.
Связная простая некомпактная группа Ли не допускает нетривиальных конечномерных унитарных представлений.Для полупростых групп последнее утверждение не имеет места (например некомпактная компонентапрямого произведения может иметь тривиальное представление, а компактная — конечномерное унитарное представление).
Однако справедливаТеорема 11.15. Связная полупростая некомпактная группа Ли не имеет точного унитарного конечномерного представления.По этой причине в релятивистской квантовой теории приходится рассматривать бесконечномерныеунитарные представления простой группы SO(1, 3) (группы Лоренца).В квантовой механике приходится иметь дело с неограниченными операторами (см. разд. 3 осн.
текста),в этом случае данные выше простые определения нуждаются в уточнении.Определение 11.11. Представление алгебры Ли L в гильбертовом пространстве H — это любой гомоморфизм из L в множество линейных операторов, действующих в H, имеющих общую плотнуюинвариантную область определения.Любое такое представление может быть расширено до представления обертывающей алгебры.
Стандартное построение общей инвариантной плотной области определения для представления алгебры Ли,называемой подпространством Гординга, описано в [4], гл. 11. В некоторых случаях общая плотная область определения может быть построена иначе.Другое важное требование, вытекающее из общих принципов квантовой механики, состоит в том,что операторы, реализующие унитарное представление, должны быть самосопряженными.
Имеет местоутверждение:Теорема 11.16. Пусть T — унитарное представление произвольной группы Ли, X — произвольный элемент соответствующей алгебры Ли, и p(X) — любой вещественный полином. Тогда оператор T (p(iX))существенно самосопряжен на подпространстве Гординга, в частности, T (iX) существенно самосопряжен.106Представление алгебры интегрируется до представления группы при некоторых дополнительных предположениях ([4], гл. 11, теор. 5). В случае конечномерных представлений это всегда возможно и приводитк однозначному результату.12Список литературы.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
