А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Значит, в силу следствия 2.2, обобщенные собственные векторы F оператора Ĥможно искать в виде общих обобщенных собственных векторов операторов Tx0 и Ĥ, то есть F (x − x0 ) =49λF (x). Докажем, что |λ| = 1. В самом деле, пусть ϕ ∈ H+ . Тогда Tx0 ϕ ∈ H+ и U (Tx0 ϕ)(m) = λ(m)(U ϕ)(m),где U — оператор перехода к представлению, в котором Tx0 и Ĥ являются операторами умноженияRна функцию. Так как Tx0 унитарный, то |λ(m)| = 1. Оператор U определяется по формуле U ϕ(m) =F (m, x)ϕ(x) dx, где F (m, x) — обобщенный собственный вектор, ϕ ∈ H+ иZZZF (m, x + x0 )ϕ(x) dx = F (m, y)ϕ(y − x0 ) dy = U (Tx0 ϕ)(m) = λ(m) F (m, x)ϕ(x) dx,так что F (m, x + x0 ) = λ(m)F (x).Итак, если E принадлежит спектру, то существует решение уравнения ĤF (x)P (x) такое, что F (x −x0 ) = λ(E)F (x), |λ(E)| = 1.
Пусть F1,E , F2,E — два линейно независимых решения уравнения ĤF P и на[0, x0 ] выполнено F = c1 F1,E + c2 F2,E . Тогда из непрерывности F и F [1] получаем(c1 F1,E (0) + c2 F2,E (0) = λ(E)(c1 F1,E (x0 ) + c2 F2,E (x0 )),[1][1][1][1]c1 F1,E (0) + c2 F2,E (0) = λ(E)(c1 F1,E (x0 ) + c2 F2,E (x0 )).Нетривиальное решение этой системы существует тогда и только тогда, когдаF (0) − λ(E)F (x ) F (0) − λ(E)F (x )1,E02,E2,E0 1,E [1] = 0.[1][1][1]F1,E (0) − λ(E)F1,E (x0 ) F2,E (0) − λ(E)F2,E (x0 )(5.38)Отсюда получаем уравнение на E.
Если E принадлежит спектру, то |λ(E)| = 1. Обратно, если |λ(E)| = 1,то E принадлежит спектру в силу следствия 1.2. Множество{E : |λ(E)| = 1}образует энергетические зоны.В случае, если λ(E) 6= ±1, F (x) и F ∗ (x) являются двумя линейно независимыми обобщенными собственными функциями, так что эта область спектра двукратна. Если {E : λ(E) = ±1} является дискретным множеством, то спектр и его кратность найдены.Пример. Пусть∞~2 d2~2 κ XĤ = −+δ(x + na).2m dx2m n=−∞Тогда Fj,E можно выбрать в виде F1,E (x) = eikx , F2,E (x) = e−ikx , где ~2 k 2 = 2mE. Условие (5.38) в этомслучае записывается в видеλ − eikaλ − e−ika2iκ ,−ikaλ − eika 1 − 2iκ−λ+e1+kkоткуда получаем, что | cos ka + κk sin ka| 6 1, то есть разрешенные значения k образуют бесконечнуюпоследовательность интервалов, расширяющуюся с ростом k.5.14Когерентные состояния для гармонического осциллятораПусть a+ и a — операторы рождения и уничтожения, построенные по оператору Шредингера для гармонического осциллятора.Определение 5.3.
Когерентными состояниями называются собственные векторы оператора a.В координатном представлении они удовлетворяют уравнению1d√q+ψα (q) = αψα (q).dq2√Сделав сдвиг q̃ = q − 2α, получаем уравнение для ψ0 (q̃). Следовательно,ψα (q) = Nα e−(q−√2α)2 /2,где Nα — нормировочная постоянная. Решение, как видно, существует при всех α ∈ C.Замечание. Собственных векторов оператора a+ не существует (решением уравнения будет экспонента с положительным показателем).Пусть |ni — собственные векторы гармонического осциллятора, |αi — когерентные состояния.
Разложим |αi по базису |ni:∞X|αi =Cn |ni.n=050Подставим это разложение в уравнение(5.39)a|αi = α|αiи получимa∞Xn=0!Cn |ni=α∞Xn=0!(5.40)Cn |ni .Если формально внести оператор a под знак суммирования, то получается√ соотношение на коэффициенты:nαCn+1 = √n+1Cn , откуда Cn = √αn! C0 (это следует из того, что a|ni = n|n − 1i). Так как решение (5.39)единственно, то коэффициенты Cn находятся однозначно,поэтому достаточно проверить, что при Cn =∞∞PPnα√ C0 будет выполнено (5.40). Покажем, что aCn |ni =Cn a|ni. Ряд в правой части сходитсяn!n=0n=0∞nkPPв гильбертовом пространстве, поэтому достаточно проверить, что aCn |ni = limCn a|ni, гдеn=0k→∞ n=0{nk } — некоторая последовательность в N.Перейдем к координатному представлению. Докажем, что при почти всех q выполнено равенство! X∞∞1d1 Xd√Cn ψn (q) = √ψn (q),(5.41)q+Cn q +dqdq22 n=0n=0где под суммой в правой части подразумевается предел некоторой последовательности частичных сумм.Для этого достаточно проверить локальную равномерную сходимость этих частичных сумм.
Так как ряд∞PCn a|ni сходится в гильбертовом пространстве, то ряд в правой части (5.41) сходится в L2 (R), откудаn=0следует, что существует последовательность его частичных сумм, которая сходится почти всюду. Пустьесть сходимость в точке q. Тогдаk2k2XX|α|n |C0 ||α|n |C0 |√p|a(ψn (q + ∆q) − ψn (q))| =|ψn−1 (q + ∆q) − ψn−1 (q)| =n!(n − 1)!n=k1n=k1 q+∆q Zk2k2XXp|α|n |C0 | |α|n |C0 |′ 6 constpp=ψ(s)ds( max |s|kψn−1 kL2 |∆q|+n−1(n − 1)! (n − 1)! s∈[q, q+∆q]n=k1n=k1qk2Xpp√|α|n |C0 |p|∆q| n − 1kψn−2 kL2 ) 6 C(q) |∆q|(n − 2)!n=k1√d(предпоследнее неравенство следует из того, что ds= a 2 − s и из неравенства Коши–Буняковского).
Так∞nP√|α|как рядсходится, то из критерия Коши следует локальная равномерная сходимость последо-+n=0вательности(n−2)!nkPn=0Cn aψn (q) при k → ∞.Итак, мы получили, что|αi = C0∞∞XX+αn(αa+ )n√ |ni = C0|0i = C0 eαa |0i.n!n!n=0n=0+Оператор eαa определен на всюду плотном множестве. В самом деле, для любого k ∈ Z+p∞∞XXαn (n + k)!(αa+ )n√|ki =|n + ki.n!n! k!n=0n=0+Так как коэффициенты этого ряда принадлежат l2 , то он сходится в H, поэтому eαa определен на базисных векторах H и их конечных линейных комбинациях.Осталось определить постоянную C0 .
Из равенства1 = hα|αi = C02∞X2|α|2n= C02 e|α|n!n=051получаем C0 = e−|α|2/2. Таким образом,∗|αi = e−αα/2 αa+e|0i.Скалярное произведение пары векторов |αi и |α′ i равноhα′ |αi = e−(|α|2+|α′ |2 )/2∞Xα′∗m αn1√hm|ni = exp(α′∗ α − (|α|2 + |α′ |2 )),2m!n!m, n=0′ 21откуда |hα′ |αi| = e− 2 |α−α | 6= 0, то есть никакая подсистема векторов |αi не является ортогональной.Теорема 5.15. Для любого вектора |ψi ∈ H существует аналитическая функция B|ψi такая, что длялюбого |ϕi выполнено равенствоZ2hϕ|ψi = e−|α| B|ψi (α∗ )(B|ϕi (α∗ ))∗ d2 α.(5.42)CОтображение |ψi 7→ B|ψi задает взаимно-однозначное соответствие между элементами H и анали2тическими функциями, квадратично-интегрируемыми по мере e−|α| d2 α.R ∗m αn −|α|2 2Доказательство.
Сначала докажем, что α√m!n!ed α = πδmn . В самом деле,CZC1= πδmn √m!n!Пусть |ψi =выполнено∞Pn=0Z∞α∗m αn −|α|2 2√ed α=m!n!Z∞r0Cn |ni. Положим B|ψi (α∗ ) =Z0(m+n)/2 −rer drZ2π0rm e−imϕ rn einϕ −r2√edϕ =m!n!1dr = πδmn √Γm!n!∞P∗nn=0Cn √απn! , |ψN i =m+n+12NPn=0= πδmn .Cn |ni. Тогда для любых N, p ∈ N∗2B|ψN +p−ψN i (α∗ ) B|ψN +p −ψN i (α∗ )e−|α| d2 α =C= hψN +p − ψN |ψN +p − ψN i =N+pXn=N +1|Cn |2 6∞Xn=N +1|Cn |2 ,2поэтому последовательность {B|ψn i } фундаментальна в L2 (C, e−|α| d2 α). Значит, она сходится к некоторой функции B в этой метрике, а так как B|ψn i (α∗ ) → B|ψi (α∗ )(n → ∞) для любого α, то B = B|ψi .Следовательно, отображение |ψi 7→ B|ψi является изометрией, и поэтому выполнено (5.42).−|α|2 2Докажем, что система {αn }∞d α).n=0 полна в пространстве целых функций, принадлежащих L2 (C, e∞P2Пусть f (α) =Cn αn , f ∈ L2 (C, e−|α| d2 α) и hf, αn i = 0 для любого n ∈ Z+ .
Так как функция f целая,n=0то ее ряд Тейлора всюду абсолютно сходится, в частности,∞Pn=00=Z∗nα f (α)e−|α|22d α=Zdr rn+1 −r 2r>0C= 2πCneZ2π|Cn | < ∞. Поэтомуe−inϕdr r2n+1 e−rCk eikϕ rk dϕ =k=00Z∞X2r>0(последнее равенство следует из теоремы Фубини), откуда Cn = 0.Заметим, чтоB|ψi (α∗ )e−|α|2/2=∞X∞α∗n −|α|2 /21 X1hn|ψi √e=√hα|nihn|ψi = √ hα|ψi,πππn!n=0n=052и поэтомуhϕ|ψi =1πZChϕ|αihα|ψi d2 α.Построенное представление называется представлением Баргмана–Фока. Операторы a+ и a в этом представлении действуют следующим образом:a+ |ψi 7→ αB|ψi (α), a|ψi 7→Теорема 5.16.
Последовательность |αlm i с αlm =гильбертовом пространстве.dB|ψi (α).dα√π(l + im), l, m ∈ Z, образует полную систему вДоказательство. Докажем, что hψ|βi = 0 тогда и только тогда, когда B|ψi (β ∗ ) = 0.Найдем функцию B|βi . ИмеемB|βi (α∗ ) =∞X∞X22∗α∗n(α∗ β)n1hn|βi √=e−|β| /2 √= √ e−|β| /2+βα .πn!ππn!n=0n=0Значит,hψ|βi =Z21B|βi (α∗ )(B|ψi (α∗ ))∗ e−|α| d2 α = √πZe−|β|2/2+βα∗2(B|ψi (α∗ ))∗ e−|α| d2 α =CC1= √πZe−|β|2/2+β(α∗ +β ∗ )2(B|ψi (α∗ + β ∗ ))∗ e−|α+β| d2 α =C1= √πZe−|β|2/2−β ∗ α2(B|ψi (α∗ + β ∗ ))∗ e−|α| d2 α =CZ2(f (α∗ ))∗ e−|α| d2 α,Cгде f — аналитическая функция.
Кроме того,ZZ22∗∗2|f (α)|2 e−|α| d2 α = const e−|β| −αβ −βα |B|ψi (α∗ + β ∗ )|2 e−|α| d2 α =CC= constZ2|B|ψi (α∗ + β ∗ )|2 e−|α+β| d2 α < ∞.CЗначит, по предыдущей теореме, существует вектор |ϕi ∈ H такой, что f = B|ϕi и f (α) =∞Phn|ϕiαn .n=0Поэтому hψ|βi = hϕ|0i = 0 тогда и только тогда, когда B|ϕi (0) = 0, то есть B|ψi (β ∗ ) = 0.Таким образом,√ если система |αlm i не полна, то существует такой вектор |ψi, что для любых l, m ∈Z выполнено Bψ ( π(l + im)) = 0. Воспользуемся следующим фактом из комплексного анализа ([10],2§1.4 и Приложение А): для того, чтобы существовала аналитическая функция B(α) ∈ L2 (C, e−|α| d2 α)такая, что ее нули образуют правильную решетку и их число в круге {|z| < r} равно N (r), необходимо иSкругаπr 2< 1. В нашем случае при r → ∞ Nr(r)∼ Sклеткидостаточно, чтобы lim Nr(r)22r 2 = πr 2 = 1, поэтому B|ψi неr→∞является квадратично-интегрируемой, что противоречит предыдущей теореме.Этой теореме можно придать следующий смысл.
Каждая клетка√√√√{α = x + iy : πl 6 x 6 π(l + 1), πm 6 y 6 π(m + 1)}соответствуетэлементарной планковской ячейке, задаваемой соотношением неопределенности. Если вме√сто π поставить меньшее число (ячейка меньше планковской), то система переполнена. Если ячейкабольше планковской, то система является неполной.Рассмотрим изменение во времени средних значений координаты и импульса, если в начальный моментt = 0 система находится в состоянии |αi. Получаемdada+= −iωa,= iωa+ .dtdtОтсюда a(t) = ae−iωt , a+ (t) = a+ eiωt . Значит,x0x0x(t) = √ (a(t) + a+ (t)) = √ (ae−iωt + a+ eiωt ),2253p0p0p(t) = √ (a(t) − a+ (t)) = √ (ae−iωt − a+ eiωt ).2i2iПри усреднении по когерентным состояниям имеем hα|a|αi = α, hα|a+ |αi = α∗ , поэтому, положив α = ρeiϕ ,получим√√hxit = 2x0 ρ cos(ωt − ϕ), hpit = − 2p0 ρ sin(ωt − ϕ).√Эти величины являются классическими решениями уравнений для осциллятора, причем 2x0 ρ играетроль амплитуды, а ϕ — начальной фазы колебаний.
Так как mωx0 = p0 , то выполнено уравнениеhpit = mdhxit .dtАналогично можно проверить, что дисперсии координат и импульсов не зависят от времени и, следоp0x0вательно, минимизируют соотношения неопределенности в любой момент времени: δt x = √, δt p = √,22δt xδt p =6x0 p02= ~2 .Трехмерные задачиВ этой главе исследуется оператор Шредингера в L2 (R3 ). Приводятся достаточные условия самосопряженности оператора Шредингера, соответствующего движению в потенциальном и электромагнитном3поле.
Затем исследуется оператор Шредингера в центрально-симметричном поле. Если V ∈ Lloc∞ (R ), тосуществует инвариантное подпространство Hlm , на котором задача сводится к исследованию оператораШтурма–Лиувилля на полупрямой. Если потенциал сингулярный, то оператор Шредингера определяется на Hlm с помощью некоторого оператора Штурма–Лиувилля на полупрямой и затем замыкается.Доказывается регулярность обобщенных собственных функций, в том числе в окрестности нуля.Для кулонова поля приводятся два способа нахождения собственных значений гамильтониана: сведение к уравнению Куммера и метод факторизации.Далее излагается теория рассеяния.
Обобщенные собственные векторы для абсолютно непрерывногоспектра можно построить как решения уравнения Липпмана–Швингера. Их асимптотика на бесконечности дается формулой (6.17), а оператор T (~k ′ , ~k) связан с оператором рассеяния формулой (6.19), откудаполучается выражение (6.20) для матрицы рассеяния в L2 (S 2 ). Это же выражение получается другимспособом: в (6.23) выделяется главная часть при r → ∞ и получается (6.24), где Ŝ совпадает с матрицейрассеяния.
Затем находится амплитуда рассеяния для центрально-симметричного потенциала и ее связьс дифференциальным сечением рассеяния.6.1Достаточные условия самосопряженности оператора ШредингераОператор Лапласа существенно самосопряжен на S(Rn ) (и, следовательно, на C0∞ (Rn )). В самом деле,преобразование Фурье взаимно-однозначно отображает S(Rn ) на себя и переводит оператор Лапласа воператор умножения на −|p|2 , а этот оператор существенно самосопряжен.В [12, гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
