А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики (1120654), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Если выполнено условиеV1 (x) > −C − C1 x2 , x ∈ R, C, C1 > 0,(5.17)то оператор Tm существенно самосопряжен на D(Tm ). Пусть T — замыкание Tm .Теорема 5.6. [15] Пусть L — замыкание Lm . Если выполнены условия (5.16) и (5.17), то оператор Lсамосопряжен и непрерывные спектры T и L совпадают.Пусть теперь Wε , 0 6 ε 6 1, — семейство функций из L2 с носителем в (−N, N ), при ε > 0 функцииWε гладкие и(5.18)kWε − W kL2 → 0 .ε→0Пусть Lε,m — операторы, порожденные дифференциальным выражением lε (ψ) = −ψ ′′ + (V1 + Wε′ )ψ, Lε —замыкание Lε,m . По предыдущей теореме, для любого ε ∈ [0, 1] оператор Lε самосопряжен.Через Oγ (M ) обозначим γ-окрестность множества M .RТеорема 5.7.
[15] Из условия (5.18) следует, что Lε ⇒ L и σ(Lε ) → σ(L) при ε → 0, то есть длялюбого R > 0 и для любого γ > 0 найдется такое εγ > 0, что при 0 < ε < εγ выполнены включения[−R, R] ∩ σ(Lε ) ⊂ Oγ ([−R, R] ∩ σ(L)) и [−R, R] ∩ σ(L) ⊂ Oγ ([−R, R] ∩ σ(Lε )).Если функция V1 ограничена снизу, то можно также применять метод квадратичных форм. Для этогодостаточно показать, что для любого a > 0 существует b > 0 такое, чтоZW (x)(ψ ′∗ ψ + ψ ′ ψ ∗ ) dx 6 ahT ψ, ψi + bhψ, ψi(5.19)Rи воспользоваться теоремой 1.8. В самом деле,ZW (x)(ψ ′∗ ψ + ψ ′ ψ ∗ ) dx 6 2kψkC[−N, N ] kψ ′ kL2 [−N, N ] kW kL2 [−N, N ] =: A.RПо лемме Соболева, для любого ε > 0 найдется такое Cε , что kψkC[−N, N ] 6 εkψ ′ kL2 [−N, N ] +Cε kψkL2 [−N, N ] .Значит,A 6 2kW kL2 εkψ ′ k2L2 + 2kW kL2 Cε kψkL2 kψ ′ kL2 66 2kW kL2 εkψ ′ k2L2 + 2kW kL2 εkψ ′ k2L2 + 2kW kL2Cε2kψk2L2 .εТаким образом, для любого a > 0 существует b̃ > 0 такое, чтоZW (x)(ψ ′∗ ψ + ψ ′ ψ ∗ ) dx 6 akψ ′ k2L2 (R) + b̃kψk2L2 (R) .RТак как функция V1 ограничена снизу, то отсюда следует (5.19).36(5.20)5.8Регулярность обобщенных собственных функцийоператора Штурма–ЛиувилляДля доказательства существования регулярных решений уравнения Штурма–Лиувилля используется следующий результат.Утверждение 5.5.
Пусть A(x) — матрица n×n, элементами которой являются функции из L1 [x0 , y0 ],f ∈ L1 ([x0 , y0 ], Rn ). Тогда для любого ξ ∈ Rn уравнениеψ ′ (x) = A(x)ψ(x) + f (x), ψ(x0 ) = ξимеет единственное решение в классе абсолютно непрерывных функций. Если kAε − AkL1 → 0 и ξε → ξпри ε → 0, то решения уравненийψε′ (x) = Aε (x)ψε (x) + f (x), ψε (x0 ) = ξεсходятся к ψ равномерно на [x0 , y0 ].
Точнее, выполнена оценкаkψ − ψε kC[x0 , y0 ] 6 Ckf kL1 kA − Aε kL1 + C|ξ − ξε |,где C не зависит от f и ε.Для случая, когда ξε = ξ, это утверждение было доказано в [15]. В общем случае доказательствоаналогично.locloc[1]Пусть V ∈ Lloc= ϕ′ − W (x)ϕ.
Рассмотрим дифференциальное уравнение1 , W ∈ L2 , η ∈ L1 , k ∈ C, ϕ−(ϕ[1] )′ − W (x)ϕ[1] − W 2 (x)ϕ + V (x)ϕ = k 2 ϕ + η.(5.21)Из предыдущего утверждения получаемСледствие 5.2. На любом отрезке [x0 , y0 ] и для любых начальных условий ϕ(x0 ), ϕ[1] (x0 ) существуетединственное решение ϕ уравнения (5.21) такое, что ϕ и ϕ[1] абсолютно непрерывны на [x0 , y0 ]. Приэтом ϕ и ϕ[1] непрерывно (в метрике C[x0 , y0 ]) зависят от (ϕ(x0 ), ϕ[1] (x0 ), k, W ) ∈ C×C×C×L2 [x0 , y0 ].Доказательство.
Положим ψ = ϕ[1] . Тогда уравнение (5.21) эквивалентно системеϕ′ = W (x)ϕ + ψ,ψ ′ = (V (x) − W 2 (x) − k 2 )ϕ − W (x)ψ − η.Дальше применяем утверждение 5.5.Замечание. Если f и g — абсолютно непрерывные функции, то для почти всех x определен их вронскиан W (f (x), g(x)) = f (x)g ′ (x) − g(x)f ′ (x) = f (x)g [1] (x) − g(x)f [1] (x). Дифференцируя последнее выражениепо x, получаем, что если f и g являются решениями однородного уравнения (5.21) (то есть с η ≡ 0), товронскиан не зависит от x.′Лемма 5.1.
Пусть V = V1 + V2 , где функция V1 ∈ Lloc1 (R) ограничена снизу, V2 = W , W ∈ L2 [−R0 , R0 ].2d2−1Тогда для достаточно больших c оператор K = − dx2 + V (x) + c(1 + x ) положительно определен и Kявляется оператором Гильберта–Шмидта.22d1 d2Доказательство. Положим K̃ = − 21 dx2 + cx , где c выбирается так, чтобы оператор K − K̃ = − 2 dx2 +V (x) + c был положительно определен (это возможно, так как V1 ограничен снизу и выполнено (5.20)).Операторы K и K̃ задают квадратичные формыZqK (ψ) =|ψ ′ |2 + W (x)(ψ ′∗ ψ + ψ ′ ψ ∗ ) + (V1 (x) + c + cx2 )|ψ|2 dx,RqK̃ (ψ) =Z 1 ′2|ψ | + cx2 |ψ|22Rdxс областью определенияZnQ(K) = ψ : ∀R > 0 ψ ∈ AC[−R, R],|ψ ′ |2 + W (x)(ψ ′∗ ψ + ψ ′ ψ ∗ )+Ro+(V1 (x) + c + cx2 )|ψ|2 dx < ∞ ,37Q(K̃) =Z ψ : ∀R > 0 ψ ∈ AC[−R, R],1 ′2|ψ | + cx2 |ψ|22Rdx < ∞ .Значит, Q(K) ⊂ Q(K̃) и для любого ψ ∈ Q(K) выполнено qK̃ (ψ) 6 qK (ψ).
Положимµn =µ̃n =supϕ1 ,...,ϕn−1supϕ1 ,...,ϕn−1inf{qK (ψ) : ψ ∈ [ϕ1 , . . . , ϕn−1 ]⊥ , kψk = 1, ψ ∈ Q(K)},inf{qK̃ (ψ) : ψ ∈ [ϕ1 , . . . , ϕn−1 ]⊥ , kψk = 1, ψ ∈ Q(K̃)}.Тогда µ̃n 6 µn при всех n ∈ N. В силу принципа минимакса, µ̃n является n-м собственным значениемоператора K̃, поэтому последовательность {µ̃n } образует возрастающую арифметическую прогрессию.Значит, µn → +∞ при n → ∞ и образует множество всех собственных значений K с учетом кратности,а спектр K совпадает с {µn } (это также следует из принципа минимакса).
Следовательно, K −1 являетсяоператором Гильберта–Шмидта.2dloc2′Утверждение 5.6. Пусть Ĥ = − dx2 + V (x), где V = V1 + V2 , V1 ∈ L1 (R), V1 (x) > −c1 − c2 x , V2 = W ,W ∈ L2 [−R0 , R0 ]. Тогда Ĥ имеет полную систему обобщенных собственных векторов ψE таких, что[1][1]ψE и ψE абсолютно непрерывны и −(ψE )′ − W (x)ψE − W 2 (x)ψE + V1 (x)ψE = EψE . Кратность спектравсегда не превосходит 2.2d2Доказательство.
Построим оснащение с помощью оператора K = − dx2 + c(1 + x ) + V − Ṽ , где Ṽ —гладкая функция, V1 − Ṽ ограничена снизу и принадлежит L1 + L∞ , а c выбирается так, чтобы K былположительным и K −1 был оператором Гильберта–Шмидта (функция Ṽ вычитается для того, чтобы былоограничение на рост обобщенных собственных функций; например, если функция V гладкая при большихx, то невозможен экспоненциальный рост). Тогда H+ плотно в пространстве L2 (так как оператор K −1невырожден).Пусть η ∈ H+ имеет компактный носитель, ϕ, ϕ[1] абсолютно непрерывны, (Ĥ − E)ϕ = η и ϕ имееткомпактный носитель.
Тогда Kϕ = Ĥϕ + c(1 + x2 )ϕ − Ṽ ϕ = Eϕ + η + c(1 + x2 )ϕ − Ṽ ϕ ∈ L2 , поэтомуϕ ∈ H+ . Отсюда следует, что Ĥϕ = Eϕ + η ∈ H+ . Значит, если F ∈ H− — обобщенный собственныйвектор, соответствующий точке спектра E, то F (η) = 0.Из следствия 5.2 получаем, что уравнение Ĥf = Ef имеет два линейно независимых решения f1 и[1]f2 таких, что fj и fj абсолютно непрерывны. Докажем, что уравнение (Ĥ − E)ϕ = η имеет решениеR∞с компактным носителем тогда и только тогда, когда −∞ fj η dx = 0, j = 1, 2. В самом деле, пустьsupp η ⊂ (a, b). Рассмотрим решение ϕ уравнения (Ĥ − E)ϕ = η с начальными условиями ϕ(a) = 0,ϕ[1] (a) = 0. Интегрируя по частям, получаемZ∞η(x)fj (x) dx =−∞[1]= −ϕ (b)fj (b) +Z∞−∞[1]ϕ(b)fj (b)+Z∞−∞(Ĥ − E)ϕ(x)fj (x) dx =[1](Ĥ − E)fj (x)ϕ(x) dx = −ϕ[1] (b)fj (b) + ϕ(b)fj (b).[1]Если ϕ(b) = ϕ (b) = 0, то правая часть равна 0.
Обратно, система уравнений[1]−ϕ[1] (b)fj (b) + ϕ(b)fj (b) = 0, j = 1, 2,имеет только нулевое решение, так как определитель этой системы не равен 0 в силу линейной независимости f1 и f2 .Пусть η — произвольная функция из H+ с компактнымR ∞ носителем. Предположим, что существуетфункция η1 ∈ H+ с компактным носителем такая, что −∞ f1 (x)η1 (x) dx = 1.
Пусть η2 ∈ H+ имееткомпактный носитель,ZZ∞Положимf1 (x)η2 (x) dx = 0,−∞∞f2 (x)η2 (x) dx = 1.−∞η0 (x) = η(x) − η1 (x)Z∞−∞+η2 (x)Z∞f1 (t)η(t) dt − η2 (x)f2 (t)η1 (t) dt−∞Z∞−∞38Z∞f2 (t)η(t) dt+−∞f1 (t)η(t) dt.Тогда η0 ∈ H+ имеет компактный носитель иF (η) = F (η1 ) − F (η2 )Z∞−∞R∞−∞η0 (x)fj (x) dx = 0, j = 1, 2. Значит, F (η0 ) = 0 и отсюдаf2 (x)η1 (x) dxZ∞f1 (x)η(x) dx + F (η2 )−∞Z∞f2 (x)η(x) dx,−∞то есть F = c1 f1 + c2 f2 .Докажем, что множество функций из H+ с компактным носителем плотно в L2 .
Пусть η ∈ H+ , α ∈C0∞ (R). Тогда αη и (αη)[1] = α′ η + αη [1] абсолютно непрерывны, а K(αη) = αKη − 2α′ η ′ − α′′ η ∈ L2 ,так как Kη ∈ L2 и η ′ = η [1] + W (x)η ∈ Lloc2 . Значит, αη ∈ H+ . Множество таких функций плотно в H+относительно метрики L2 , а значит, и во всем L2 . Поэтому преобразование Фурье достаточно задать намножестве функций из H+ с компактным носителем, а затем продолжить по непрерывности.Теперь докажем, что кратность спектра не больше 2. В самом деле, преобразование Фурье от функN (λ)ции ϕ ∈ H+ с компактным носителем при почти всех λ ∈ σ(Ĥ) имеет вид (ϕ̂k (λ))k=1 , где ϕ̂k (λ) =RFk (x, λ)ϕ(x) dx, Fk (x, λ) — решение уравнения ĤF = λF , при этом множествоnoN (λ)(ϕ̂k (λ))k=1 : ϕ ∈ H+ имеет компактный носительобразует пространство размерности N (λ). Последнее означает, что для любой ненулевой последовательноNP(λ)NP(λ)N (λ)сти (ck )k=1 найдется функция ϕ такая, чтоck ϕ̂k (λ) 6= 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
