И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 57
Текст из файла (страница 57)
1СШ хц1йшсй к этгшу узлу точке Г или и одной из них, если таких то*1ск несколько. (.о1юстаанм уравнению (1,38) еле:гу1шцсс разнос ггюе урьаиениси); — — — — — — — ' — 1+ — '' — — ) . (1,42) й' = Б)дом искать фУикцшо ГГЛ, опРьдслсннУш и Узлоаых точках О„, УЛГГЗ11стаоРЯГО1111'ю Уг!Зансии1О (1,42) а Узлах (г, х) нз сга и соппадакицу1о с Гг„и узловых точках Гл, Покажем, что сущсстаУе! едпнстаспнзк фУпкшш иы Улшзле1ЗОРшо1цаа этим УСЛОИПЯМ. 2. Лемма. Г11унмт1ил аа, определеннал в узлах Оа и удовлелгвг111лл111гггл урввненилГ (1,42) в узловых твенах (1, х) ггз ггл, лринилгаеш наиоалыиее и наилгеньшее.знавенил вузлавых шочмах Гл.
,Г! ох з з а т ел ь с т во. Предположим, что функция и, принимает и кекоторь1х узлах 61. значения, большие, чем наибольшее зна шпие ил и Узлолаых точках Га. В этом слУчае нар1дется такая узгклгзя то ша (1„х ) я сг, что а этом то1ке и. принимает наибольшее значение, и хотя бы е о1гно1Й пз Л соседних точек значение и меш,ше ил(1„х,). Соссдпивцг да с!'и '.1 Гслп фуиьскя л ГГ, х) кысст проаззолкые -- и — —, а точке (Г, г), то ирк с1ргмлскип Л к пужо урзьке!ше (1,421 переходит и урааиспке (1,З8). э 42) гвщг|шг нггвой кглавой за ычц 355 к (|,,х,) мы называем узловыс.гочвн (.', - )ь х,), (чм х,-ца), равенства (1.42) |ю.|ож ||саян,|, а нрзззя — о|- рнцз|елыю н|ш рзв|з нул|о, п мы нрнхогв|м ь врщ|ьчорсюво с гсм, '|то в |очке ()„х,) должно удовлетворяться урзгц|с|я|с (1,42).
Тг| |но тзк |кс црндсм к г:рс п|ворсчюо, сслн нредположнм, что ал(г„х, ',.г|) . и, ()„х,) илн ил((„х,— А) <" ~ пл()„.т,). Алалогнчнг доказывается, |то ил ис может нрнннмать в 0г з|щ |е||нй, меньщнх, чем нанменьщсе а| а'|с|же ьд на )г,. Пол| зуягь только го до|юззвной леммой, покажем„ |го врн любой функция Уы зал;щн|.й в узлах Га, сугцествуст едннствсннзя функц|и пл, удовлсгнсряющзя у рзю|енюо (1,42) в узловых то |кзх 0„н со||||злзю|цзя с,", нз Ггг онячсння и, в узгювых точках П„удовлетворя|от лннсйной зл|ебракческсй системе урзввсннЫ, катер|ю мы ноле щм, нгцщсзв уравлснце (1,42) лля кзжлой узловой т||члн ((', х) на 0л. '1нсло )(злзнсьнй таы.й снс гомы г|удст рвано иолу нецзвсстиых гм зчеигй ил.
Опрс;|гантель этой системы отл|о|он от нуля, гзк кзк соотвстств)ющзя од|юроднзя сисземз, когору|о мы гклу щм, воло|к|ю /, — -О но всех узловых точках 1а, нмеег только триеналыюе реис|н|с вследс гвнс доказанной леммы. |.лсдовзтельно фуч|кггня и оцредсляс',тся едянс|зюц|ым Образом.
3. 1)||едем следу|он|ив обозна щщ|я: л (г, х) - з (г гь х) л (ц х+ д) — и (Г, х) л ||т В этих обозначевнях уравпсщ|е (1.42) прюимзет вцд и; —.=- и —,. (2,42) Пусть Ь„=-аь и гга,— — и (г|=1,2,...). Показательство существованщ| решеляя нарвой краевой зщичн мы булсм нроводить след||ощнм образом. Мы покажщ| сг|з |зла, чзо каждую || Н нз функцян семейств (л ), (|г;), (в -), ва'щн|гых нз сетя||к, гзг я.но доонрслслнть во всех то |кзх облзсз в 0 тзк, |то в любой облавам 0", 'одер|квцсйся в 0 емсст| со своей граня|Гсй, семейства фунющй |л'), (л;.) и (д .,' буд)"| доволок»ив морис отрави,еюя и рзвиостсисюю испрсргяа» и.
Патом, испо ~ь- А)»геля '), покажем, ~го пз ~я» ~саовзтечьь»» ~и (и",' можю выб1ю гь и, ппослсловатсльиос~ ь (и'), схо;ющ) юся в 6 к ~ скогороп фую.ппи и И, г) раз»омер»о во ясгп ой области 6'"', совсрлгзигсйся в 6 вместе со своей ~ р ииигей. При э;ом поспелова,слепость (и-) скопится к --. „ (л ) скопи~си ду " о'и и -' ', Псрехоля в узаг»киюв (2,42) к пределу ирп л,- О, ивл) гим, цо ирелслюгак фуикцяя и(,', х) )лоалегворюг в 6 уров»сияю (1,38). Накоисц, с поькпцью барьеров, аизлогв ~ ю тому, как эго было сдслаио в гЗ 21, чы покюксм, гго ирсдельг.ая фупкюж ь 6 .:) иаира рывка и 6 ц- 1* и прим»ма т ча 1' зиачеипя ззлюи.ой исирерывиой фюкцпи у. Используя сатютисп»гю ~ ь рсгисиия исрж.й краси ~й залечи, показася, ~ го ие гг.ль,о поз»осле пав~ель»ость (и"), ио я вся пос»еловагельюжг.
(а" 1 схолгмск к а(Г, х) и, слсдовзтсл~ ио„рсчисиия ил„урз»»с»ич (1,42) прслс юи ипо~ равеле ссюгаегсгвук гцсй первой кр,югюй ззта ги с любой зацааюй тонкостью, если олько )г» лосгззочпо мало. 4. )Лз леммы и. 2 слетует, что )а" '.,: юах(Д ирз лкх» и и. Покюксм, чзо гы рзнюмсриой огрзюгченгюсги семейства (и") в 0 след)ст рав»омер»за ограиглсииосгь семеиствз (а,') во всякой области 6", солср'кагцейси вместе со своей грв юией в 6. При э~им изм поста~о»по показать справедливость этого утвср;каспия а»я прямо)зол»вика 6 со второ»ам», параллель»мчи коорлииа~ вам осям, тзк как и~об)чо облзсж 6' ьютюю искры.ь коле ~иым числом таких прямоугольипков, прива.глсжзгцчх 6. Для опенки и,' в 6 мы воспользуемся приемом, который С.
Н. 1)сриытейи примою л лля оцеикв ироязиолиых ремис»»я парзболичег кого уравиеиии аь). Нс огрзпи незя обгциости, можио смит атьч что иряьюуголью;к 6 опрелеляегся исрзвенсгвами ( х( - а, О .= г .-.-: д и его егоровы прииаллежат сетке, па сивая с лостаточио П 11. Г. 11е г р о в с, к и», Лекции по гсср»я обыкиовсипьц саффсрс»и»альпы х урзвиеип)), Гостехи гает, 1»бз, сгр.
40 и") С. Н,)) е р и ю ге ив, ДАНСССР,(И,Я 7(1ИВ),стр. 3()б — Зь8. 42) Рвп!гнив пеРВОЙ кгзгвой зздзчп Дб "7 болю!юго л. К !юсллдуюнгнх выкладках втого пуш!та лля упршьснкв записи кндскс л у г(луни!гви и' мы гш. скак Р,!сел!отри!! в узловых точках прямоугол!.ника Е! фушагшо г =- и,л Г+ Со, где Г = т (а' — х)', э.—..=п' (г, х+Ь)+и' (Е х — Ь) +и' (~ — гл, х ), Е 0 — некоторзя постоянная. Покажем, что есш! С лог!а- точно вслико, то з(Е х) принимает наиболыпее знз генке либо прн г-.=- О, либо иа сторонах х =-~- а првмоуггльн!п.а О!следа легко полу шть опенку лля ик(Е х) Е(вйсгвкгс!н,ню, еллн )!гг(Е х) !.==.И з П, то па стор!пах г —..
О н х. - ( ы прямоугольника Ц з .=, ЗС!И' в, следовгкгельно, всю.! в г( ЗСМ', откудз л ЯС4! 2 г!р — хг)г ' т. е. и, равномерно ограшошны в нрямоуго,и,нике Я", лезгзщсм внутри '(тобы показать, что х(Е х) прю!нмасг нрл!;!ос гл!ло шо большом С шшбольшсс знз км!ис прп У= — 0 илн х = — — —; а, вычислим вели иглу Е (з):"= х —, — ",- Мы покажем, что при достаточно большом С Е(д) .==. 0 в СА Отсюлз с помо!пью тех же рзссужденнй, которыми мь! доказали лелглу п. 2, получим, чло з(л, х) привил!зет нанбо.'льн!ее знв.!свис !ю грани!ге !=О или х=- -4-и прямоу!ольншга 2(ля вы !веления Е(з) воспользуемся формулой Е (Д) —.— !у Е (ф) +фЕ (су) + ллр! ф; + лл„'ф„+ !у-.
ф„— „(4,42) справедливость которой легко установить для люслых функций гу - 5з, гк!л,шшях на сетках. Имссл . и, Е (Г) -', ЕЕ (и,) )- М-', (и); + Е. (и.), -(- -(- Е'„-(и,)„+СЕ (р). лооолггеггггк )лсоольлуя (4,.42), гголучгггг Ь (и,') -==-2и,Е (и,.) + Ь (и,,)'+ и„+ и',— = — и,'., + и',-+ Ьи';, так как Ь (и ) =-- О. ЛСГко Бидетг, что А (и' (1, х + Ь)) —., = 2и (1, х + Ь) Е (и (1, х + Ь)) + и',. (1, х + Ь) + + и' (1„х+ Ь) + Ьи' (1, х+ Ь) = ==- и,; (1, х+ Ь) + и" (1, х + Ь) + Ьи (1, х -( .
Ь) =- к = и, (1, «+ Ь) + и, (1, х) + Ьггг (1, х + ЬЬ (и,'),= — (и,+ и,(1, х+ Ь)) и,к, (иа) .= ~их+и„(1„х — Ь)) и 'Х * " ла 1г (и,',) =.- и„— и,', (1 — Ь, х). Слегговательно, Ь (я) =-- С (гг". (1, х + >г)+и„. (1, х)+Ьи (1, х+Ь)+и„'.(1, х — Ь) )- + и (1, х — Ь) + Ьи . (1, х — Ь) + и '. (1 — Ь, х)+и (1 — Ь, х) -(- + Ьй (1 — Ь, х) ) ~- ) - гга Е (Г) + Е- (и„' — и, '(1 — Ь, х)) + 1 -+ г" (и',. + и" )- Ьи" ) + Е, (и, + и„(1, х + Ь)) и, + + Е (ик + ик (1, х — Ь) ! и :х Оиелггк глели ~их, +1'„(гг.+и,(1, х+Ь)) и, '!ак как Г =- — 21(2х+1г) (а" — х') +И(2х+гг)' то Ри,',.
+ Гх (и„. -г- и„(1, х 4- Ь)) ика =- =1((и' — х") и,„— (2~+Ь) (и„+и. (1, +ЬВ'— — г (2х+ Ь)' ',и + и (1, х+ Ь) )'+ -)- И (2х + Ь)' [и, + гг, (1, х + )г)~ и 1 В( ) (1 +1) 2+ -)-1(2х+Ь)'(гг,'(1, х-(-Ь) — гг,".) = .— - — — 1 (2х + Ь) ' (2и,. + 2и„. и, ',г, х -) - Ь) ) -= -- — 1 (2х -',-Ь)')Зи, -)о-гг,'(1, х -(-Ьф й 42) гвпшпяе пеевой каленой ззллчн Аналогично полу шм Ен -[-Е [и, -[-пх(у, х — Ь)[и .м лх хх ,:.:.= — у(2х — Ь)' [Зи„'+их(у, х — Ь)[. Пользуясь послелппми нсравснсзвамн и тем, что Е 'лО, Е! ) О, гюлучаем Ь (г) ям С [пз (», х '[!г)+гт,' (», х) -)-и-,' (у, х — Ь)4 и„" (! Ь х), +» (Е) и„— !' и„(! — Ь, х) — ! (2х + )О)' [Оггл 'цггл (! — г(2х — уг)" (дп„+ и„((, х- — Ь)~ =- — [С вЂ” Ь (Е) — 3! (2х+ Ь)' — - й! (2 — )г)'1 Р . -!- ь [С »(2х-[ )г)'1и,'(у,х+Ь)+[С вЂ” »(2х -Ь)'1и,(»,х — Ь)+ .
[- [»: — 1и',(! — Ь, х). (5,42) Пчсвплпо, ~го если С лостзточно велико, то все слагаемые в правой ~зстп нсрзвш~с газ (5,42) булут пеотрнца тельны. (Постояинучо С можно выбрать незаиисимо гп Ь.) Такпл1 образом мы показали, мо сслп решешгя а (', х) урзвпшпгя (2,42, х равномерно огршшчены в О, то и,' такие равномерно ограничены во всякой области 0", лсзкащей вмссгс со своей1раняцсй вн)'три 6. Так как и", ил, и", являюзси также хл рсшенпямп уравнения (2,'!2), то из локззвшяо получаем рзвнгшерную о, рзнп ~сипость а =- и., и .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
