И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 60
Текст из файла (страница 60)
г!и Раз!юстныс з!юр:жсю!зцип —.- строя!си лизинги шо. При с!) ззмснс рззиостюями зппроксиизпияии произволы!ых высюнх поряаков можно рзссмззривзть производит!о еь!сюгчо иорялка кзк рсзультзт мюпокрз !испо апфферсююронзню! и(г, с) !ы ( и по х и при!!сж!ить нос!!еловзтегп ио соотв!. гству!са ис ревностные оперна!и, ззиспяю!цнс лпффсрс!ип!риюнпе. тзк, изпричср: зххн члпня о ыстонг отток симацни и остзточные члены, получим слеп)1о~цее раве~ ежи: К,(и) =-~'+аа. (6,4й) Злесь ~,,(и) -- некоторос коне шо ргюносгное гырзжсппе, т.
с. линейная комбинация значений и в узлах сетки; т„— нгжосиы ность аппроксимации лля лиффсренциа и цого урзвнсния (5,43), опредсляемая рзвенством а„=74 (и) — l (и). (7,43) Отбросив в правой часги (6,43) погрешность аппроксияз~гии аы получим приближенное конечно-разносгное уравнение (ь',43) (3 ~ось и в лальпсйшем через и обознзчзется ршпсг пс конечно-разпосгного уравнения.) Для построения прнблия<енных конечно-разностных уршненпй чзсто пользучотси такхке петелом неопределенных коэффигсиен гон.
По этому методу аппроксимируюгся нс,таежные прогюггол~пче, вхолящне в лиффсренциалшюе )рш нс ьс (5,43), з зся сто левая часть Е (и). Для этой неля сосгявляк~т лннейпучо кочбинацио с неопрслеаениьщи коэффициентами значений и в какой-цибуль совокупности узлов. Затем всс э|и значения и по формуле Тэйлора выражают через зпа шняя функпни и и сс произнолных в олной и той хгс точке (Г, хй которая может и не прииаллежзть сетке. Полу:зсгся выражение, линейное относительно функции и(г', к) н ее цроизяодшях, После этого неопределенные коэффпцщпты выбираются гак1пг образом, чтобы полученное вырзженис огни ~внось от Х.
(и) а точгке (г, х) лнц!ь слагаемыми, стремяпгичисг! к нулю прн Ь О. Рассмотриы пример. Аппроксимируем уравнение с помощью значений и в узлах (лт, жй), (лт, (т + () г)), ((л + () т, глй), ((и + 1) т, (ля + П 6). Точку (г х) поместим В центр нрямоугольнн~ а, вер!пядями которого являются эти узлы. Для упрощения вычислений 372 лополнгнив псрснсссм нзчзлю кос рдинз~ н точи) (, х).
Полон~им л', (ч л~ гдс а, д, с, м' — нсопрслслснныс ксвффиписнтьь Пд форс улв Твд,р. „..„... (ч (и)= з дв 2 ' л) = ( +( -Ы -т-гПи(0, О)-г- —,' ( — . — (~ Сс+сУ) — (О, й(- А + - ( — а+и+с — л) — (О, 0)+ —. (а+О+с.х ~~); (О, О)+ 2 лм ' в ' — ~ дг~ + . - (п -- б .'; с — ь() —,-- (О, О) + 4 ' Осах л' д'л + — '. (и+ l~+с4-г() —,(О, 0) )-...
(многото пзсм огтознзчсны члсны гк:лсе высокого порядка отпосктслсно т и Ь). Срзгнювзя Уз(и) с У. (а) и приравнивзя ковффнниснты прп соотвсзствучои~пх производных, пол) чзсм слслуговннс трп урзвнсчая: а-',,— / +с+ д== О; — а — ( +с+ а'=== —; 2 — а+о .~- с — ~У= — — -"-. (10,43) Дополним урзвнс~п~я (10 43) сги. одним; а — и + с — с( =.=- О, (11,43) и опрсдслнм а, (Л с, ~( кзк рлнсннс системы злгспрзвчсских урзнпвпий (10,43), (11,43). Тсчля вырз;кеннс Ел(и) брист совнздгззь с 7. (д) с ~взнос ыно до стонов, ооознзчслпь~х мчоготсчнсм и стрсмянгнхся к нучно при А — «О, 1)озврзнгзясь к нсрвонзчзльной системс коорлинзт, пол)- чаем слсдукнасс рззпгмтнос урзннсннс, првблиьчснно предсз з зля высо 1 ран нон но (9,43): р(~ Ел (л) = — ''" рь ч ~+ля ) ('~а-', ~ ~ м) 43) злмгчлиив о методг. сеток 373 .'амшпи, что ь урашгсясю (12,43) мспксю было Пы ирш! сп и лру.пм путем. Е(с))с!!!с!!с пшо, иерей !с!с!!,г левой ыс*,и эгшо ургипапш яш! ио прслстави!в с юдуюигим обгюиш: 1 ~ !ив! и!! а ' л) и' Р! и* гги4 и" 2 с Р агом вьграх,сипи псрвос слагаемое с иогрешносгыо 0( ) сги 1! Е аппроксимируст значение — в точке 1 ( гг -1- с-) с, (т -'- 1) й); второе слагаемое с по! реп!постыл этого гке поричка оо - лп- проксимирует уг(гг+-,;) с, гггЕг).
Легко ироисрпггч чго все дг ~(, выРагксгше аопРоксимиРУ'ет —. в точке ( ! л ( — с 1-., г лг ( —,) Ег 1 с лог ршииос гыо О (т ) + О (Егс). Асгаггоггг пю сшив!о показа ггч что вгорай члси в левки! дгг части (12,43) с той гке ио! рсшиосгшо аппрокспмнрусг в !ой хсе точке ( ( и '- —, г "., ( ггг -' — —,) Ег '. Слсдог!а сельпо, лгиша шсгь (12,43) ашгроксимирусг левую час гь ((сг,43) с ио- грсшиостью 0(.') + О (Ег'). 11ршшлсч примеры разин шых коне ию-рашюгспых асшрок- сисггссгий лли левых гастШ1 веко!орсах диффсрсвггиа гысых урав- исвий с час гиыии производными (а сгссгсугссгх указан псср;!дои по! реш,юсти аппроксимаппи яа огиоситслшго с и Ег).
дл ди 1) Е. (и) з-. —,—. --=(); (1,3, Р3) Ел(и) ==. — ' - (иа =--0(с) + 0(Ег)); (14,43! гги ггт иг ! и ! П и Е, (и) "= — ' (Яг = 0 (т) ) О (Ег)); (1543) Е-г,(и) — — "' г "- — -"-'ае!" (я„.— с О(тс) +- О(Ег!)); Е-л (гг) — — — — — (ил =! О(тс) + О(гг )). (11,4,1) 'л дополнение (рб 43) л' (за 0 (т) + 0(й~)1, (е„=- 0( ') + 0(й-)); 1,,1а)— (.а (и) (а, = — 0(г"') + 0(Ь')); у (ха = 0(т ) -(; 0(3 О 3 ": — 1 а ~, (л)- им гли е(а) === —, — —.—,=-0; ох' (24,43) (ил = 0(г') + 0(1г'))1 2+ л* + лг "' ' ~ (па= 0(* ) + 0(3 )) (2(1 43) Все згн выражения могут быть получены из левых частей соотнсгсгзующггх дифференциальных уравнений лабо путем замены производных по формулам вида (1,43) — (4,43) (н по апалоти иным формулам для производных по 1)> либо методом нсоирсделашых коэффициентов.
:ы ии (1нлз) — — рх =-= 0(т) 'г 0()г'))' (19,43) т'., (мГ:: ЗУб зхмг гхшш о методе сеток й рассиглр ш.ых выше примерах вкрсг1шосгь аппроксимации оцеиивачзсь ~ю збсолюгьой вслпчпяе. Пря этом мы предполагали, ыо рсшспш. лиффереицязльиого урзияеиия является пзсто|ько глазкам, ~го допускзсг предстаичеияе ио формуле Тепло)и1 до шопов яужно. о порядка, причг м производиые, входягцие в осгзго ~иый член, огршш шиы.
При меныией гладкое~и решенгш гогршпиосгь аппроксимации мохсет иметь мс пи~ля по)ждок. Длв ~ ого гтобы получить рзаиостиую краевую зада ~у, яеоб:одимо креме диффсрсяциальпого урзвнешш, залепить рззиостиыми»ргшиоиииии ив шльиыс и грани ~иыс условия. Коли в яа. чальиые и граяичиыс условия не входят ироизводиые реши пш, го врп указавяом в мпе выборе прямоугольной сетки заданпыс крагяые условия игиосрсдсшеиьо определяют зизчеиия иски.юй г»руик ом в соотг встстауюших ~ рая1шиых узлах сетки. )!слп жс краевые условия содержат ирокзводнью искомой ф» икцпи, то втп и)хн~зводль~е ио;кио заменить разпостиыми аш1рокс мацяяхпи как зго было показано выше. Пря этом пол»"шются рззиосгяые краевые условшц зппроксимпрующпе с ши,огорой потри,шюсычо краевые условия дл1 лиффсрсициалыюго урзвнешш.
Имеюшя я др»ггяе сгюсобы аппрокси шгюи краевых условии. Приведем пример. Пусз ь треб» ется зацепить разиоствыя уравиеипсм грзивчиос условие 1»и) == А (т) и г,г, О) + Ь'(у) — »т, О) =..= гр»г). дв Простейший способ сос~оит в замене — (Г, О) вырахгеьшеч дх им, л) — иц, гй — — — — При з гоя получим разностнос ~ рзиичиое л »:слоеис Л и — — и, /„(гэ) ..— Л»ат) и„'+ В)гж) —. — = — С»лт).
Погршшюсть шшроксимашш, т. с. разиосгь Пц) — 7„(д), есть О(л). Если заме и» вЂ”,0, О) вырахссиием — ' — -', го их л иол»чирея оо ше гошая ашгроксимзция: ттц) — та»л) = 0)л') лополнги!гз 3ги!шисм рззнос! ш с ур.!в!ение,,ш!О>окспмиру!огцсс днффеец!!из!и нос удлинение, 3 тз!гжс рзз!юстиыс )'рзяисн!!я, знп)зок" с!«!ируьогггие нзшчьнью и грз;ишиь!с условш, и укл кеч, какую с«покупное!ь зиячеш!и нр.быз!ог пидскс!! т и и в згих урзинсн!шх. Получен!цц! системз злг!.брзических урзииеиий нззыязс гся рп;нос!зной' схе.иог) сог~тнсгстг!у!он!ей зздзчи для днффсргц!Шыльшцо урзш!е!вя с чзгдш,!мп г!ропзяодиымя.
Рзз;остиыс схемы д!а з,!дзч рзссматрпвземого ! змн типа р;плпчшот по 'шолу слоев, уч;ютяу!о!цих я рззиост!юм урзвисюш, к!морос гиюр«ксю!пруст диффере!цшалы!ое урзвиение; соотзстственно ! опор!!т и схе!шх двуслойи!хх, гирехсл ейных и г. д. Двуслойиые схемы !юлу шются, изирпмср, с помогцью рззнослш!т и, рюк !н!и (14,43), (15,43), !17,43), (19,43), (20 43) (21 43). Ф рмулы (16,43), (22,43), (23,43), (25,43), (26,43) прин«пят к ! рехслойиым схемам.
При решении задачи с из цшьиыии услошшми с цочоив о звуслорлюй схемы достз.цш!е излить знзчсаш а и )злах оюю!о пзчзльного слоя (и .— г!). В счучзс грехслошк!й схемы необходимо зздавзгь зиз инюя а и узлзх двух соседних пзчзлш!ых слося (и= — О и л: —.=1). Если знзчеиия ишыяссг!юб фунютип из слое с номером и -!!-1 ион«среде!иеин!! нз рзз!юстпых урззненяй схемы яырзжзются через зиз !е!иш ец!й фушцгня нз продыху!цпх слоях, то рлзиос гния схема гшзыистся лзипл. Есз!н же дм! определешш и„',' ' приходится реветь гюко!орую систзп!у уравнений, то рзз!юстиая схс!!з нззь!нз гся ю ллнг!д!.
К неявным схемам праюлят формулы (17,43), (20,43), (21.43), (22,43), (26,43) и). 1)нолем некоторые «бозпз ц !шя. 11в шльиые и грзшшнь!е услошш лля ур!гв!юшш с (и) =-=-7 мы будем ззш!сынзгь я ьчгле 7,(и) —.,7п !'== 1, 2,..., Р (!гзчзльныс УсловиЯ); (27,43), 7,(и) = о«! ..— р -4- 1, р+2, ..., з (грани шые услояня).
(27,43), 3ае ь гу, —. извссжнц функции, зздзниыс нз некоторых честях грзв!цы «бизе!и Й, я г,(и) — - лпиейвче комбнизц!и искомого решсв;ч и и его чзстших прцизиоз!!ых. 11з шлш!ые и гранич- :) У.кбпый ме!оз решсюы гн !см урасиаиш, вознивзюпих ирн !и п«ьк:изпии игпи!)!ич~ рзиькц!ых схсь!, изложен н к !и!е: 1! !:. Ьс рг и !! и 1! !1. >Е ил кои, Из!од!х ьычяслеиий, чц!знз ! н !, 1!Д!!, !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
