И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 56
Текст из файла (страница 56)
11о такай выкал с неизбежностью следует„ если допусти|ь, что распространение теплоты в стерзкне гочно описывается уравнением (1,38). О ~евилко, гипотезы, пркнятые ками нри выводе этого уравкешш, исто шо онравдыва1отся на опы~е. Практика показывает, однако, что уравнение (1,38) се же данг достзто шо хоршпее приближенное описание рс.шьного чл1зичсско~о нро.шсса раснрос1рзнсния тснло~ы. э 411 огзог ню<отогых длчыпсйннх псслзэовзннй 349 Зада ч а !.
Пусть и(й х) — ограниченное рсшщше задачи Коши для урапнснпя теплопроводностн (1,38) в по1ун юскости 1 .» О. Докажите, ч го для любого х справедливо равенство а + з йш и(г, х):== 1 ~сг; 11гп и(0, х) — — а и Кш и(0, х) =--Ь. — м Х -~+.С если 3 а д э ч з 2. Докажите„что зшгзча Коша для уравнения тенлопроводности (1,38) с начальным условием, заданным прн 1=0, посгавлена некорректно в лкюой полосе ( — Т «1: О, — со <" х «. оо). й 41. Обзор некоторых дальнейших исследований уравнений параболического типа 1. Доказаны суп!естпованпе и ед1шственность решений первой краевой задачи для уравнении дл д'-'и д-'~г дх'. дх,' 1 Ю (1,41) при л1обом п. Эта задача в простейшем случае формулируется следующим образом. Ищется непрерывная функшш и(г', х„..., х„), определенная нэ замыкании области О, ограниченной кускэмн гпперплоскостей 1==..-.0 и 1= Т !«снизу» и «сверху »), а по бок1м одной или нссколькимя поверхностями с непрерывно вршншпщейся касательной гиперплоскостыо, которая нигде нс нсппендикулярна оси Од Функция и должна удзвлетворя1ь уравнениию (1,41) эп)три О н совпадать с некоторой функцией у, заданной нз боковой поверхности Ь и на нижнем основании 1=0.
Эта фушгция предполагается ненрерышюй на всем том ззикнутом множестве, где она определена. Единсгвепяость решении задача и непрерывная зависимость решешш от функции Т доказываются в точности тзк же, как это делалось в () 38. Первую красную задачу мщкно ставигь и для областей более общего вида.
Найдены условии, которым должна 35О <<а<'лье.н<чг<скп<. г<'хвпГипя (<'л <в ул«влегвг<рпт<, гранин.< о<;ы«п,<лн т<л, <то<бы пер< ая кр,<свая за.<зча была р,«ренн«<а "). 2. Лннс«)н«с пернболи <с<кос ) равнение нт«ро<о первака с ля< чя н<'за<<понянчи иго<'ч 'ииычн <е< д<п, «ч — Л(С .х),,-+У)(С ." - +С(С .
) )-О(/, ), (2,41) глс Л, г<', С. С< — о: р,<пи <с<и<ыс функнин и Л)<, х) ..: к .- О, з,«<еиоИ и = тчх'< преп«раз*, с гся к вп,<у д< — -:.=.Л(), х) — —, (-«(С х) (-С,(С х)п + й,(<, х).13,41) Злссь С, — . С вЂ” <С <), =-0г х'. Прслиолояо<н, иго т<' . М,.— =:ьор(С(С х)!; .го<на «., г, х) ="'31, — К ' (). Пуст< функния трй х) улонл<пворяет ура и<с< юо (3,41) внутрн кроче<.ни<ей<но«<етырсх«о<ниии<з О, огрзлнче< иою о< резка<п< пряи як г = О, < .- Т <, крнвыви х =. в, (О, р< (у) (<г« <) ( '~<< (<)), и <ол'<алле с неистово<< <" <'ирер<,и<- нор< ф<'икннс)« < из ипынса< основа<'пн н О<оков<як стор<и<ах Се 1о<на нск«зу в б< пчссг нести неравенство ,'т<(С х)1-: —: гпзх < 31, ---' '.- ~, тле 31 =в<ах (у(, М<:-==вор(В(С х)1<.
.(е)«<внгсл« о, если т (С х) пр<ин<к<вот пап<болев<ос попонки<сльнос зпа <ение в <ьек< юрой ю <ке, лс<кзи<ер< на вервием де «<. огиовзинп нлн виу три Сл го в втой н и<с — '== О, — '= — О, дг ' дх д'<' — -., =-.. О, С<в 'О. Из <равнения (3,41) получаса<, что в зтоы дх' сл> <зе п<ак в(<, х) .=-.;-. ' " —, 13с и< я<с п ир<п имеет нанболь- <У)< гнгс зпп <ение на нн,<о<с<< ос«ованин нли волово)< стороне С, го о.=. М всголу и Се Такое образов, <:=-к ьззк 31, — — <л-'<. Лнз31< .гогнчпо ус<.ни<вливается, ыо о.-'и — <пах <(М, —,— ". ") 11.
1'. <! < р о в с <, и й, Гх и<ров<«о )<<а<«еп<,н<са 1:3 (1%5), 333 — "1!< 41) огзог некого~ ых ллльнейпюк исследований 331 Вля функции и=-оскг, удовлетворггогцсй внупрп 6 уравиепгио (3,41), кз (4,41) получаем неравенство к Л4 ~и (г, х) 1: — пчзх ~7!бе ", " К.-Л(,г которое явлкегся обойцсннекг теоремы о максимуме к минимуме (ср. ч 38), Аггзлогичное неравенство справедливо для рсгвснпй г! (г х ...
х ) пзраболпчссскОгг~ уравнении ау=а '=-1 + С(С х,, ..., х„) и -г В(г, х„..., х„), (5,4!) где форма ~~' .4г (Г, х„..., х„) я,сг является ~юложггтельно О; =ч определенной во воск топкая !тассмзтрнваемои) области. 3. Первая ьраева~ задача длн озрзболи ~еского уравнения (5,4!) п области б, ограниченной кусками гинсрплоскосгсй У= — О, 1 — Т и поверх ~остьк~ 5, нмсст едюктвенное рсчиеннс прн любой непрерывной функции тг, задаюн,й на 5 и прп 1= — О, если: 1) коэффиппенты Л,, В, С п (О улг нлетворяюг условик~ Гальдера в) в облзсти 6; 2) кагкдой точки Р понсрк- ности 5 мгпкьо коснуться пнчроч с це и ром (л, нсс то пси когорого, гсгаг~мг Р, лсткпт вгы С, причем прямая ЯР не па- раллельна оси 07 '""'), 4. Для кввзплинейпого нараболн юского уравнения вгоргм а порядка с двумя нсзавпснмымп нсремсннымн вила О'и —.=.
Л (1, х, а) — —,+В(7, х, п) ' -+С(7, е„а), где к!. В, С вмск т непрсрывныс производпгяе досгзто ~но высокик порчдкга, Л(С х, и) —:и а) 0 и С„(С х, и) ~с (я и с — некоторые нос ~ояппыс), доказаны сугисствовзнке н едннстнынюсгь рсцпгч пя первой краевой задачи в лгобои прятюугол~ никс (О:-.-',' ==.' У, 0 =:.. х ть,' 7), а з акьте супгсствовапие и едккстнечеость ограни ~епного регнспия зздачи (блпи ) См.
сноску па сгр. 327. Г г ! е ! гп а н. 1опгпа! о! й!агпсгпаЬсз апа й!ес!ынгса, 7, 74. 5 (!!!зз), 77! - 701. (гл. гя плг'АполнческнГ углннвння в любой полосе (О = г =-' Т, †-оо:. х ( оо). Эти задачи рзссматрнвалпсь также для квазилннсйпыа нараоолических уравнений с бблгнвнм в~слом ясаависпмык нерсмсяиых Я). 5. Система линейных уравгп вий л Ф дл, 'Кч ~ а ': а +. ьт„-- 2л дх ...дхл' +Е,(1, х„..., х„) (Е= 1, ..., I'т') (6,41) называется параболической в вояке (р ', х,, ..., х~,'~), если мр М1 о) врн любит ггегкгвнтсльпых и,,, ягв сумма квадратов кото.
рук равна 1, все корин ),, ..., Ал определители а, .-,.—...+М, —..: зм ияскп. отриввтельные дейс~ впгсльнью ~асти. Для нзраболнчсскпт сне~ем корректно посгавлспа задача К~мин вля полоакнтельнык 1 в классе ограниченнык функций с достаточно ~падкими начальными данными нри 1 = О. Корректност сокрагв ется также в классе функций, г гячзрастаювспк прн х", +-... + х„— оо не быстрее, чем г (:. -' ч-... -~- л -' ) 2 е ~ ' ''' ", гле 2лг — порядок сис~емьь рч ты Если все коэффяввснгы Л; ''' " и Гг параболической системы (6л)1) аналит~гном по аргументам х„..., хгн то все досча ~очно глальчге регвения этой системы также аналитичны .") См.
яь1атема гика в СССР аа сорок асгь, гом 1, '1чыма~гиз, 1О:,ь,;р Г>ба — бявэ -ч См нрсдыдугдую си~сну. ДО ПОЛ)(Р11И Е ф 42, Региеняе первой краевой задачи для уравнения теплоироводьчюти методом сеток 1. Мы докажем с)чцествоьаиис рсиюпиа первой1 красной зада ьи для ураы сипя (1,38) методом сеппг Иго доказательство будет заключать в гсбс также и способ построения приближенного рсюс.игв задачи. ()удсм обози. ~ать через Г) пблаегь, о~раня ~ели)по отрезюэьч прямых г — — г п 1 = Т(у ~ Г,) и крнвымн х=..~, (г) и х= — ~.,(у). Фуикипи ч,(у) п ы,(1) ирсдполагаклсн нспр рывиыми и лп (г) ч ь,(!) прп )„==,г' =.= Т Через Г будем обозначать нижнее основание (1.=-1„) и бпковыс стороьы (х:.--ъ, (г), х=.=:,(1), 1а»1 Т) кркаолапсй1иого чегырекугольинка О.
Мы индем в (У рсюсиис уравнения (1,38), непрерывное в облас~и 0 и па ес ~раянце н иринина~ангес нп Г аиачсиив заданной испреры:июй функпии /', Для разреиипизстн первой ьраснпй зада и фзнкцпи ъ, ()) и у,(г) должны удовлспюрять некоторым доиолнптельгиям условиям, которое мь, укажем и дальиегиисм.
11а плоскости ((,х), ~де располоя сиа область О, проведем два семейства (осы у) прямыа, иараллслгнпчх координатным осям: где й — некоторое положи~санное число, а т н (т пробегают ~яки~ послсдова~ельныс палые значения., ~тобы нсн облает» 0 покрььчась квадратами со стороиоя й, Ьершины згих квалратгю мы б)лем называя ь узлами или уз.ювьмгн точкакн построенной сетки. Обозначим через ыл совокупи~ость тех квадратик, которые исаю ом прюидлсжат О+ Г.
'1срса Г, обозначим дополнения кшцграт11, принаалежаигнс (Г1е у которьж хотя бы одна першина поиизллся 1м 1 ранние гт, искл!О'1зи ш11 Грш1ниг кнадрзГы 1 а' самого иерхнсго рада, т, е, искл1очая кнздраты, хотя бы одна из псршин которых иысет мзкш!малы!у!О лля то1ск (Гл кооргцшату уп бокозь1с стороны которых ис иршшдлежзт границ! бгг Узловые точки, припадлсжшцие ΄— Ггн обозна шм через е 0„(р1!с. 19). Определим и кзждсжг узле Г фуикшио угл равную значсншо функции у' и блиРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
