И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Перепл краевая задача для уравнения пгсплогг! оаодности гггг д'гг дг дх' разре лита в обласгли О, если гранила Г удоелетаорягьт следшоигит услоеиялй 1) ггля гсгглгг)ог) точки (Г„х,), леакитеа на крггеой х =--. =гс,(1), сугг!естауст полозкительное число Й, тикое, что Збгйг лопознеюез ага г <. 1, и дггсггггггггогг*о гяалмх ~Ч (г) — р гг,) > ~, (г --1,). 2) Длл гсггмгиггг) лги гг,а (1», ха), лезхоггсег) иа кривоа х= =- о, (С), суигссглггуеггг полоза исчс иное 'лиле гг, гггггхос, гаго ари С «С, и дсгсагааггг гни лгалмх, ме (г) — ссе(1,) < -- ггз (г' — г,,).
(Условия 1 в 2, в части<жги, вгигголггнютсгн сели с, (г) я о,(г) удовлетворявот условию Лгггггггггцгг.) До ка за те л ь с т во. 1(остггточно покггзагь, что прп этих услоюзвх фугггыггги, равная г'(Л) из Г к (/(;, х) в О, непрерывна в сг+ Г 1"огласгго лсимзм 1 и 2 уггазагиьзя г)г)нкзгиег б)д рывной в се+ Г, если для ггагггзггй .го гки А кр1гиых х-=-с, (г) и х==..(г,(т) суигествуст фуикюж ьл (барьер) Есгггг тоска А с координатзии (1,, х,) лежит г а кривой х-==з, (г), го барьером пожег служить функиня ((Х, — Х')з + (С, -- Г')БАРР 11Х вЂ” Х гя+ 11 — С 1 З) ' где х'.—.— х, --" — =- гг,й ) 1+в; достаточно мало, а И е 0 достаточно велюсо. 11 точке ((и х,) кривой х ==-г(г,(() бггрьеггом ьиикет сггужпть фуикюгя 1 1 ~л((~ х)" — — .«е и, в я ((х,--х")'+А — С )')ж ((х — ")т+(с — гя) )ж' где х = — х,-)-, г =г,+ 1' 1+": Вьггголггсгггге условий 1 п 2 леммы 2 для фг,ункиий оз очевнлгго.
Чтобы проверить выполнение условия 3, нужно воспользои гтьсн формулой Тзйлора в точке (г', х) н тси, чго дог дх' '1" л — О в достаточно малой окрестности точки Л если гзг с(с выогзано достаточно бгоггьигггзг. 7. Мы покззагю, гго из любого бсскоисююго миогкестиа фуикиий и'" иозкио вьгггязгь гюсггсд~гватсггьиггегь, СХОДггнгугсгеи 3 43) злмтшлюи о методе сеток 367 п области «7 к рсгнсняю первой краевой задачи, еслн грагнцз обнзстп О удовлетворяет условиям, сформулпрован нтн в предыдущей теор«ме. Легко показать теперь, ~то н нся последонзтсльносзь (и") также сходится в области «) к рсыснгпо 6/(у,х) первой краевой задзчн. Лействигельно, в противном случае нзй.дутсн бесконечное множг.ство функцнй и", точка (7, х) нз 67 н а ) 0 таяне, что для каягдой функцпн и" нз эт«но множес1вз )и" (7, х) — «7(г, х)) е.
Это противоречит гому, что нз нсиюго бесконечного множества функцнй и" можно выбрал, послсловзтсльностгн сюшящуюся в б к решению первой краевой зада ш, которос, как бьио показано, сдпнственно. Заме ча ноя. 1. Бес построения настоящего параграфа применимы также н в слу ие урзвпення тсплопровогыюстн с любым ~ясном незавнснмь.х переменных. ук Методом сеток, аналогично тому, как это пзложено в настоюцем параграфе, ьюжно доказать сугцсствованнс решення з;шзчн Дирнхле длн уравнсння Лапласа Я).
3 43. Замечания о методе сеток Метод сеток нли, как его истО называют> м«тод кон«чпых разностей, является напболее распространенным методом приблпженного решения днффсрспцнальпых уравненпй с чзстнымп пронзводнымн. Особенно большое развптне этот метод получил в послсднне годы в связи с примененном для численных расчетов быстродействующпх элсктроншах счетных машин Некоторые прпмеры применения метода сеток мы уже прнводили.
В 3 10 было дано краткое опнсапне коне н~о-ревностного метода прнблпженного решения задачи Кгнпн для гиперболи ческих систем, В Ч 16 было уч<азюю на нрнмснснне метода сеток к численному рс~ыегн1ю задачи Кон1г1 для волковы о уравненгнк В 3 36 мы применили метгьт ссзок для прпблпжс нного реше пня задача )(г1рпхле для уравнсн|ш Лапласа. ") И. Г. Пе гровс ки й, Успеха ьытем.
наук РЛБ (1941), 161 — 170. 368 дополнение Метод сеток имеет не только прикладное, но и теоретическое зна ~ение. С помощью мстолз сез и можно докззьнюы, сущееивованис решения разли пнях красных задач, а так ке исслелоязгь снойстнз решений. Такич путем в предыдущем парзграфс было доказано сущее гновапие решения перной краевой ззлачн лля уравнения теплопроводности. В этом параграфе мы из.южнм некоторые основные пошь тия, связанные с методом сеток. Ради прес ~оты иапо~кения мы рассмотрим только случай леух неззнпсимых перемс.нных (у,х) и ограничимся простыми краенычи задачамн для линейных уравнений с частпымп производными.
Мы будем рассматривать либо задачу 1(оши, либо задачу с начальными и тра личными условиями. 1. Основная идея метода сеток закл~очается н том, что дифференциальное уравнение„ начальныс" и граничные условия ззмснюотся системой конечно-разпостных (алгебраических) уравнений, приб;шженно предстанл~понцзх данную крася) ю задачу. Лля этого в области ст' на плоскости (~, х), н которой мы ищсч решение, строится сетка, т.
е. конечное или сне~нее мно кесарии точек, ззписищее от одного плп нескольких нара метров. Точки, принадлежащие сетке, называются ес узлами. Наиболее часто пользуются прямо)телье й елкой. Узлы такой сетки имеют координаты (1,+лай х, +тЬх), где (ум х,) — некоторая точка на плоскости (у, х), а Ы п,хх' — положнзельныс парамегрьн назынаемые шарами ссюси по 1 н по х сооззс~сгнснно; л н лд принимакп цело шслепвые знз ~спин. (Г1ример сетки, которая не является прямоугольной, был приведен в э 1О для слу ~ая, когда рассматрнзается гиперболическая система, состоящая из лнух урзвнений. Сетка и этом случае образуется из точек пересечения касателюпях к характеристикам.) Будем считать, по область О, и которой требуешься найти решение и(у,х), янзястся лпоо полосой 0 - 1 ~ 7, либо прямоугольником О < 1 < 7; О ( х ( 1. В обоих случаях мы будем пользовзтьсн прямоугольной сеткой.
В псрном случае положим 1, = — О. Во втором слу ~аз булем считать, что 1, = = х„ = О, а Ьх= †, гле ~т) — целое положительное число„ ,Ч ' ,1(ля сокрзшеюгя зашюи введем следующие обозначению т=.зг, Й=Ьху и",,= — и(лс, тл). зля!с!яхиня о мгтоле сеток Совс7куп1 ость всех точек сет!.и с одним и тгт! Гке л бутон называть слоем с номер!Гх1 и. ДГГВ простоты !Грези«77!жив, что т зависит от Ь (прн атом )7гп 1 —.- О), твк что нос!рос«изя л нами 11ряиоу'Гольная сетка ог!рсделистся одн!1и и!1!ч!метров 6. СугцесГву!ог различные способы построен!Гн кГЫ7ечио-рззностиых урав71еиий, при!Ганя!евно представв77!ГГ!7!Г!х лиг!фсренциальное уравнс1гне с астнымн иропз71олныки1.
Самый простой способов тонг в гои, лчо !и!во!«77! из частных 71(777извод!7ых, входигцих в дифферсициальзое уравнение, заменяется такгй линейной комбинацией значений п(Г, х) в узлах сетки, «сыграя ири Ь О стремится к соответсгву!огней пооизв!!днов. Эту линсйиуГо кочбииаппго мы будем ив!71*ни!та разнзетн77й аппроксимацией соогветству!он(ей прГГнзво.и!ой. да П(тивелхм Г1римеры.
П('опзводн!10 — — мо кно закынв1ь дх в то!ко 1=лт, х.—.— ГчЬ лкбыи из следу!оип1х выраягсний! и дп п (Г, х+ lй — и ий х1 Ь (),4,3) дп и (Г, х) — !1 (Г, х! — - Ь) !Га 1!п — ! (2и(3) дх л 77 дп и (Г, х+ 77) -- 7! (7, х — Ь) 7+1 1!7с- ! (З,чй) дх 3 Гзцеичх1 п01'рви!7!ости В Гик прнб71ихгвнных рвв!'Вств. Пол! зуясь формулой й зйлора, находим и (Г, х + Ь! — и (Г х) дп И, х1 „Л д"и !Г, х + 7)/1) Ь дх ' и 73х! * П(Г, Х) — ПГГ,Х вЂ” 7!) дв (Г, Х) Ь П«П (Г, Х вЂ” В.77) и дх 2 дх' п)г,х+Л) — и (7, х — 71) ди (Г, х) 1 ЛГ д77177дх р В7Ь) ВЬ ' ох + ГС,!.!1! здесь О < (), <. ), О < !), < ), ) 1)! ) < ) . )ГазпГГсть мсыду какой либо !Гроизводной и ее разнос г!Гой апирокспма1гней нззывас1ся иогрсигносзь!о апнроксимГив7«, «7и остаточны;1 ч7!Г!777!К! С!ели н«грсгги777«т1* 777и1рокс77и77цГн1 ллв:е!й) !ив!гни есть О(Ь ), то 177ВГ7риг, чГо порядок .!ипрокснм7вц7ин лля -акой фу!и!цни равен Ь.
йа и 1 Йс.и «Гк«а зтО лопг>знвнпг. дип, . (-Л) д;гп,ж трлн,х) д угтп(т,х)'! (х д. дх' дх(, дх,( ' Л (л (г, х+ г!) — и (б х) и !г, х! — и (г, х — лу) /! п(г,х+л) — з~'„г,х! (-ии, т л) Ы Мы получили прпблп!ксппую формулу деп и (Г. х. (- 7!) — ии (Г, х! + г! (б х — Л) длп (4, ((3!) Погре!иность зппргжсимзиин ыя вго4 формулы имссг !и!, Л' д'п(б х,г- У!) --- — ',—: — — —.= 0(Ь'), тле (()(сж 1.
12 дх' дзсюием люгебнос лифферснцнзльное урнвцююс, которое мь! хотим ззг!снят! коне и!о-рзз!юсины!! урзвпсю!см, в визе ~ (и) =Л (5,; 3) л- ~'=,г(Е, -) — звсс; фу ',, з с(и) — -лнг!с((!ии; «.»- би!ация неизвестной фуюапю и(г, х) и сс асгю!х прю!зжа ных Вь!резне в узловой точке (Г, х) прюияолныс, яхоля,иие в т (и), через соотве!'сгеу!о!цие консч!ю. (и!зное! игле зпирок дг!я фуюлюй, которые нчюгп ггрз!ючсниыс прои!в!явные, вхо !яви!с и с!с!зточнь!с !лень!, поряло«зпп(.окспм;пги!! и(ио ближснных формул (1,43), (ой,43) рзвсп слшюце.
з юря и!и ЗПИРОКСИМЗЦ!Ю ПРИбпп КСННОИ фОРМ)ЛЫ (3,43) РЗ.И.! Нб:. лл Можно нос! роить п(лгблигксн!гые форм!'з!,! зля, со с!о!з! ~!Х угодно высоким порязкоч зппроксююцю!; зг.! фо(лузы нмюог более сложный вил, тзк кзк онн солержзг зиз ц! ия функ!юь п(г, х) во многих соселннх узлах сетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
