И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 62
Текст из файла (страница 62)
1,, р), го раз»!»»е!дня»х»ма н»»зь»нас!с»» т»сп»о!»»чиа»!г(! попо »плги! .!! (»глоапиз!. т»нг»г!о! н»! !»з нпрс »с ее гся устой сивость по ира!»с»й:!»»сти рази»! т»,о'о урн»вися»ня, нии(!»ктсдчпру»ог! его пиффсрс»спкзаьн! е урадисдие, а та!оке устгйчккос'! ь ио граничным уст!»»аияхь (1'»сдипио, »то линейная разкостдан схе»ии устой икая по падаль иы»! усзо»мии», по правой »ас»н д ко »р!»и» чны»! усч»»кито», яезмс ! ся ь»!»(тек ! г!»с(ь Б !»аст»»»!»исс !»р»!»!»! с!И» !»» найден»,! поста!с»ч»!»т»»сл»и с мсгг»»ы исс!»ег!»т»»а»и»»!»с!»,и »нное»н рдз!т»»ст!»их гхсм сйй»! и»г» лс! »и нссгс! псслепустгя уст! и('и»к»»сгь по иа »альным уел»»гзт!»»и. !»й»о!»ио д» казать, мо уст!И!»»ино»'ть »и: »»рна» 1! ч»!» »и пля дсстаточ!и! ии»рги<» го !»Лг!сса схем кытеьдс! пз 'стой »дягсти по начальным усг!огням.
1)опрос о: устойчпк»»сти ив »рг»нп»ных! усаониям »ь!)'"»е»»иье о »ек! мзао. !" 1»! р;»с! мигр!»»! на примерах »»еко гор»яс прп! мы нсслеиова пы устой п»ности ио качем»ьныя! усп»»!»иял!. 11усге 3гт.-».- (3п,'„') — изменение рстеипя и,", г!»»ье»й»с»»! ра:»- г!»»ст! ой схемы (Ки43), (26,4»3), кьыкаьно» изменение»! О»(ч (.'. =- 1,..., Л) иг! »с!ль »ых уст» аин (2ь',43)о Легко»»г»легь, »»о 3»! я»ои»ется ргмисипем слепу»он!ай разиостпой схемы: ь„(г',г!) = — »й (гг(гп)=-=рта, ! — — 1,..., р !на »ад! иыс усг»ок»я); (3(м43) /, (3и!» —.=Г!, 1 — р+ 1, ..., з (»раи»н»к»че усг!ови»!). 11»»зто»»у »,;,к деспот!ода!»пп устой и»дос'г!» до на и! »и»:ыч ус!канин»! мо:кпс!»»»ра»и»ч!»ться из! !анись! схс»! дида (йк24;.1).
Дта со!»ра.пе»п!»»:»зг»иси мы будем я падь»»сии»ех! и!»с!с!к и' »! дмссто 1!агсх!»птрк»! сиг»кз схему (33,4ср Нсо,»конст ко (37,43) опии и»сг, »го зта схема прп с=н-' =-. 1 ус!ой:тк»! ив дракой 3в3 % 43) злчгча!шч о ю:гоп~:. сгтзк час!п.,пока!как!, чм! чга схсмз прк с.=. 1 устоя и!вз к ко па'к~:*!ьпым ', сг!овппч, сслп п! ! о'!ьзовать корм! ! )) пл',( . апр) п)1„)) и1! --змр! в(г!!1!)(г ГЬ:!с!гкпа! У,, =-. ьпр) и,'1. Из (33,43) !всем ~!! "' ' =-(' — г) и ° р 'и:+ О!скшз при с ===' 1 пзхоюп! Гл,, -..=".
б!и и слсловзтсзгчо, !Т1! )в,,!).-:::, е. Устой швос!ь по качзлышш условию! при г:-.=: 1 показана. Л!!,лксм тс!'ерь, и о сслп с = — 1 + р, глс р ) И, го схема (33,13) геусток !пвз гю начальным усг!ови!гм. 11усть и,'„= =( — - 1) .. Легко проверитгч что решение в в!ом случзе игпает вип и'" =- ( — — 1)!тп'(1 + 29)из. д!и! всякого фиксировзю!ого Г.-:=- г!т прп Ь Г) решекпс кеогрю!ичепио возрастзет и пригох! быстрее любий сгепепп 1 ! '.!к ьзк ю ) и',„)::=.е(1-г! 2р)"===. г", где К=. В !пшсстве слелующс!'о пр!иере рассмогри!! заза !у 1(оип! ллк уравпепш! тешюпровоппос!и (18,43). Разпостпу!о схему костров ! соглас!ю (19,43). Полок!па! —.— -- с.
Рззрешак сш!гт!! петству!опеке рззпостное уравнепис т.а(па)=-б озкоюыелш!о а",„', полу !ич г!',„'~' = си', !., +(1 — 2с)и'„',+са",,, (39,43) 1 Если с== —,—, го всс коэффигтпекты в правой части (39,43) псотрюш!с !ы!ы !! сумм ! их раппа сди шцс. Огсюаа, ! зк и в прелы,!ущсм пример, следует, что псрх!шя грань збголюиой вслп и! !ы )ге!иск!о! ке вогрзстзет при !!арекове от и дополнения к л -ы 1. Таким обр оом, разиостная схема, построенная со. 1 гласно (19,43), устойчива по па ~альнгчм условияи при с 2 1 Пргг с == -,; (-)г, где р ъ О, рассматриваемая разностная схемз неустойчива ио начальным условиям, Дгчя доказательства вгого утверждения снова положим и„...
= ( =. 1)"'е; после проса ых вы гнслснггй полу иг и гг )а,',,, '= е(4с — 1)" =ее"', 2 )и (1 + 4и) + вя (4О,4З) Дгигззатсльсгво устойчивости разностиых схем по начальным услгжпяч в рассмотренных примерах основывалось только иа том, что сумма модулей кггвффггпиентов в формулах, яигго вырыкагоитгзх и,„через значения репгепия в узлах слоя с номером л, не превосходит елпнпггьг. Ззз сумма модулей коэффниис Ямов называется индексом (зазггостной схемы. Для устой низости схемы го иа гальпыч условиям доста.точно, чтобы индекс схемы не превосходил 1 -1 Г.т, где С вЂ” некоторая постоянная. Деч)счвительно, в ятом случае дчя лгобо~о 1=— .—,.-лт ~ у' /' вор ) и,"„) .-(1+ггт)' апр)и',„! =-:= е" вир ши'„,(, л яч — ) Лв и,' —.— ид~ = О, гг,к.=-о(тй) (гг=.О, 1, ..., ~ ~ — 1; т=--.1, 2, ..., Л4 — 1), аипрокспмир)ченгун иеря)в краегук.
зааачу для ураяиснгм тепло~ роводносги в прямо)*.ольиике (О "1( У', О(х «1) отку;гз вытекает устойчивость по начальным у ловпям. 11 некоторых случаях длп исследования устойчивости ио иа алиным условиям можно нсиользова~ь свойстьа, аналгггичиыс пргииГииу макспмумз для региеиий уравнения теилоироиодпости. рассмотрим и ка ~естве оргтара раыюстиую схему 335 вхмтчхния о мгтолт гитик с „'словпкми и (О, х) =- "р (х); и (г. О) =- гг(1, 1) = 0 (4 1 13) По лемме и.
2 Ч' 42 имеем тар 1'а,'„' -.:. вор 1и,'„~ при лю1)ом т диачсиин —, (доеаззгези.с ы и Втои леммы ие зван'ит от впал" чеюи. -,—., ) . О сюда след)с;, пг,р. ссгззтриваемак схема усогйчива ~ю ~ачазг.гиви усгк ягям прк ьроьыиольном зиа '~еияиз-. ур ' 5. Кремс частных ирпегюн с)нгссгчюию вспользукз~ юх сизина зьньи сы Рстяа ~ой ию, гюор разигкззян1 схемы, .~л» исследовзивя устои: пы:сги по изчвлгзякм услоттм применяют дяа об опх мсгодз: истов рва геле»им псрсиеияь;х 1длк краевых зздз ~ с яа ~егозивши и ~ раппчиымн уиккгикми1 и метод няычрвлз Фурье (лля за в ~и 1(огг~~). Приведем примеры прихич~гзиги метода раздслепкв иеремеюаых.
(звссмогрпм ра.,ккы укг схему ~'г 1 (''г ~ л» 1 л) — ~ — зи' 1 и" — — (42,43), и '„' =.— О, ихг — - О, и,"„-. гс (ггй) (лг=О, 1,, ~- ~- — 1; т--1, 2,..., Л4--1~1, Г аии(игкснмяручгяц)чо перв)ь. крзсвую задачу длв урзвисиив гсилгюроьсчгиости (18,43) с условююи (41,43). 11о акалсчни метод~ м раздслсюю исремегюых длв диффеосииналююго уравиюию дудел спзчвлз поють рсюсяив урввнсч ия (42,43)„ удоятстворюоипю нулевым грани иным условиям и вмсчо~цгге спеяйальяыи вид и', =- 7 (л) Х(т). Псгдстзвляв зто выржение в (12,43)о получим после разделения псременньп рвг Т~п+11-- Т(л) 31т 1 11.
2Х1т)-1-Л(г~ — 1) 71ч+11-1 Т(л) Х(т) 25 и г и ггьх-к в 336 лополнгнив г лс ) не зависит от гг и гл. Лля опрслслсния Х и Х(гл) ~ ч.ч.м слелугснцучо (ызносгн,к~ краевуго палачу, екало~ ичную зал, ~с (1(турка — 2(н)лилля (гм. Ь 26): Л(ггг (-11 --2Л'(гл -'г-Х(гл — 1) .=)Х(т) (44,43) (гл -.-1, 2, ..., Л --1), Л' (6) -:.— Л' (31) .=.—. О. (45,43) Тс,качения х, прк которгях супгсстпусз нетривиальное реп~с,ны за гани (44,436 г45,43), естествсннс казыпа~в собственными значениями втой залечи, а сами нетрггвггальньп. регпсния Х (лг) — собс „веннымн функциями. Кайлом оснцсс рсюспис уравненю, (44,43). Т(ля а~ого, но аналогии с извссзч ым методом решения обыьновююых линейных лиг(ферсюпгальных уравнений с постоянными кочффиггвснтамп, булем гыкать сначала частные рспп ьия уравнения (44,43) вкла Х (лг) =..
гх' =:=. г "" = г(~, гав д = г '. пля опрслсл.юы 4 из (44, 13) пол) чпм тзк называемое характсристи ескс" ураннснгге ггл (2 + ) ) гг .( - 1 -:.= О. (4 6,43) 11усгь до гтг — ыюнн )равнения (%'„43); 43 у.д,. Тгпза ль,,')ге регпенис урна»снгб, '144.43) гнпкно прслставнгь в вн".с Х(лг) == 6 р,'"'-'-6 гг',,', лс 6 . 6 — постг явные Дсггстпптсльно лыко проверить, чго всякая фу~ кция такыо вала уловльхгкг пнет уравненсло (44,43) палее, пз (44,431 нс.юсредствснно слал) ет, по лгобое рс:нмггк. Л (гл) в гого уравпснкя олнозпк ню онрслслястся, если завалы значения Х(лгг в двух сосеюспх ггыьах: Х(гггх — 1) — и, Х(т,) -- Гь 11г~ послеаю.м условв~м молино уляьлегвг,риза, если опрслслгыь С, н 6, как рьнгспис системы которак, очевилно, говмссгна лрн любых а н Ь, гак как гг', Аналогичным образом чохгпо пока ать.
сто прк а, = — гг, - д любое решение уравнения (44„43) представляется в виде 2 43) злмгмхння о метоггг сеток 337 Х(т) = (С, +Сгл)д '. Нетрудно проггеризь, ято сслн фзнкиня такг,го нила утгояле~вогзяе~ грани ивам )сзовннм 145,43'„ то она тоягдсственно равна н)лкь Понтону оснгснне зала: н (44,43), (45,43) мы будем искать и виде Х',л) ==.Со, -~-С,г...", где лы =-.4 и Положим гз, ==-гГ1 тогда д,==4 ', так как с,гГ„.==:1. Слсловатсльно, Лс (гл) = — С,г)м+ С,г) ~, Используя грани нк.е условие Х(0)=-0, находим, по С,= —. — С, и Л' (лг) ==- С, (г) -- гу (~У 43) Второе грани гное условие Х(М)=-0 приводит к уравнснюо , лг откуда ((=е м, Ф=О, 1, ..., 23) — 1. (4343) Полагая С, = — —, полу афпг на (47,43) и ',48,43) М -- 1 собственных функмнй Л'.(лг) — — -яп -'-', (а=--1, 2, ..., М вЂ” 1.
(4гХ43) М (Осталыняе знансьия гм указан изе в (43,43), пРивогзят ~ тс ~ я<с собственным функииям с то пкямгзо ло мю я ягеля —. 1.) Соогвстствукицие собственныс зна нз пя находим с оомонгыо соотнюпгсння 'х =..-гг+4 ' — 2, вытскаентгя о нз )равнения (46,43) в силу формулы Виста; полу исм ), = — 4 во' -;;-'-, ге=1, 2, ..., М--1. (50,43) (3обсз всинис функпнс (4(),43), рзссматриявсзгыс в ) злах газки (х=. лгуг, гл=-: 1, 2,, М-- 1,', и свл) сясземм (44.,4 Г), (45,43) явлгг огся собствсннымн векторами ггойстннтсльЫ) симметривсской магрнпьн составленной пз ковйх)внгнснт~ ь ураянсннй (44,43). Так как всс сгбствснныс зиаяення (50,43) различны, то собственные фугнпгии (49,43) линейно независнмгя, Они гхбрззукт базис в (М вЂ” 1)-мерном линейном ппостранствс, сжтоиннм нз фуньипй (у(з)), которые рассгытряваготся только в узлах се~ив (х-.=-лй, лг = 1, '2,..., 3! — 1), ''"''О' ДОПОЛИЕИИВ ЬССДЕМ В ЗтггМ ИРОСГРа1ктис СКаЛЯРНОЕ ЛРОиааеаеине аг 3 (у, й)„==.
Ь ~~',,г(гий) (гг111). (51,43) 11 сллу известной тесремь1 алгебры собс1иен1иые фуикпии (12 431 взяихи11 О1Л1О1Олальны В смысле скаляриогО пр10извс дсияя (51,13Ь 1. е. (Л',„Лг)Л=.О прн А: —.I "). У(егко прове- 1" рить мо (Л, Ли)а== — —, . Понтону сггстсма фр1кций лаги Л'а(пг),:.. )х 2 ми — —, й=-л1, 2, ..., 1И вЂ” 1, (52,43) образует ор гони рмирелгалпый базис и пространстве фуикиий 11а ги гке. Найдем гелер. фу1иопеи lа(п) (й= — 1, 2, ..., Л4 — 1). ИЗ урзи11с1игя (43,431 полу;им Тг (11 -(- 1'1 =' — —:. — — Т„(11). адг Отсгода в (ед) (53,43) 1 —;1, 1 —.-'-, ':из з дд -- лРоизаольиаи постоаннан. Замс1им, чт1о (:л,1 » 1, так (:,лсдуя; с1ьиь1ой пасс метода разде,1еиля лсремспгияк, йгдсм искать рсеиеиис рггзиости15 краевой зада еи (-12,43) е Влас ,и и,'„=л а„(зд) 'Ль1лй, 1 (55,431 где л — — 11ос1хггигиые, которые 1го11яоия быть выбраны гак, '1,;и,, иалр11а1с(ь И, й(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
