И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 58
Текст из файла (страница 58)
= — и . и и .. хх, и л. ! лхй !х лхлл гг в лгобой оолзстя 0', солсржагценся в 0 вместе со своей границей. 5. Покажем теперь, ло а" можгю так лоопрслслить во всей области 0, что полу ~епное семейство (и"[ булет рзвномеряо о~ рзп1гчеяо и равносгсяенно непрерывно я любой оолзсгп 6, солержацшйся я 6 ил|ветс со своей границей, Для етого рззобгелг кажный квалрзт се~ни нз лвз треугольника лпш опалькч параллельной прямой ! — - х. В кажа лм таком зрсугольникс положим л" рзшюй лгшсйной фушояш, которая я всршнязк трсуголгникз прннпг1аст рзяс, гшре:шлснные знз шшш и".
Легко яиц гь, по тш, шю|роешыя фу~нс1ны и ' и чйх',я ян~з в 0л„, и внуз (эн Грс) гол! ~я~из и из его сторо шх ~ с гкьксг прнгшзгзть значений, болшипь плн мсньншх, Збб дополнение чем ее значения в вергиинах треу<ольию<з. В то <кзх О, не прнналлев<а<цих Ожн <рункцню ин доопрсделии нр<лыьолю ым обрззом, лянь бы онз была псг<рерывной н о< рани.<виной ь О. Из равномерной ограниче<ичости и" «и н Оа слсл<уег, а то для узловых точек (г, л:), принадлежа<них 6", '(ин(6 х-! Ь„) — ин(<, х)!:-. Куг„ и" (К л ) — и" (! — Р«н х) ( .-с-. К<<„, где К не зависит от л. Достато ию показать р«вностспсииую неир<рывность функ- ций ин внутри прямо)толь»яка <<, принадлежа<цсго 6, со сго- ронвьн<, параллсльныип коорли;<етним осик<, т: к кан л обую об«асть Он, не<кап<у ю в 6 и<месте со сво«з < рзнюый, аннкно покрыть коне <иым числом прнмоуголю<иков такого вид«.
для двух узловых го'<ск (<,. х,) и ()„, х,,) нз <2 писем ',и (!, х )--и (г, л,) ~ == 2К ! (1< — (,) -(. (х — л,< . Пусть (го х ) и (г„, л ) лизбые го'<кн пз с«, з «<, х ) и (г„х,) — узлозню точки, ближзй<иис со<иве<с<венин к ()ы л,) и (у„х,,).
В силу огределсюы фуинии<и и'" ири л достагочно болыыих ! и" (г;, х,) — ин((„х<) ) ~ 2Уб<<н (<'= — (, 2). ! )оэ<омУ, если л досгзто ино велико, (и ()<, х) и (у. х,)(-<-(и (у„х.,) — ин(Г, х)! .) -<-(ин(Г,, х,) — -ин((ы х„.')( ==4К2<н+2Ктl ()',-- „)< . <х. х',, (б )2) Из неравенства (6,42) и разно«ериой непрерывности ка.кд<тй из функцг<й ин в 6» следует равносгспгли<ая нспрерыююсть функ- ций и" в 6 н, следовательно, в 6».
Применяя теорему Ариеля, получим, что из семейства функций и"' можно выорать под<юследовзтельносгь, равно- мерно схогипцук<ся н 6». Точ<ю так же показываем, пользуя<в доказанной раисе раьнюмер<юй огргоиюсююстыо и.'., и, и.. в и', и', и' Р <2 « что кюкдую из функций и. ил' можно доонределигь во всей х 2 42] гсштниг пеевой к!лавой зачлчи 361 Т! Т! ил й, й '...,,и (7,42) такую, что г!Олиослслпнательнс!Сти (и ) и (й, ) равномерно !!с я!! 7 схОлвтсв н 6м и т. л.. Рассмотрим послецовагельность функций Фл Легко ниле!ь, что втз послепоязтельность и послсловзгсль- М ' И! ности (й ) и !и' ) скопятся в каждой точке области 6 и притом равномерно во всякой облас!и 6з, ко!орзя вместе со он:сй грзюгцей принадлежит 6. Обозна гим прслслы в 6 псТ- лз ы ы СЛСЛОВЗТ!.ЛЬНОСГСЙ (и ), (й ) И (й' ) СООТН! ТСТВСННО ЧСРСЗ 6(6х), Г((,х) н (7(т', х).
Пока!кем, но д(7 — - сТ(7 = д!(1 — — (.! — — (l ! — — (7 с)! ' дх ' дх' (2,42) Пусть Точка ((„х) п ((„х) явля!отсн узловыми и!ч! ами сет ьп нрп цос ! ато и!о малых (ггн (, — - гт =-:- (,(гйх и гн рс ок области 6 так, что ссмсйсзна функций (и') и (й") оулут рагнюмер!ю ограююены и рзнностепеино непрерывны в 6". ((онтому, пользуясь теоремой Лр!!сия, ьюжно из л!Обого бесконс юого множсс!На функций й' выбрать равнот!ерно схоляпгуюся в 6" иоциоследовазслюц!сть (и" ) таку!о, что соотнсзстпуюгцие ей последовательности (и') и (и') также схолвтся равномерно в 6гз. Пусть послслопзтель!юсгь оолзстей 6„, Такова, что 6„,г: 6„, + „ 6 = 6 и 6 вместе со своей границей г!рппнл сажи.! 6. Вг,!берст! из (и") равномерно скола!цу!ося в 6, послсловзтел1,ность й'', й,..., й',...
так)!О, !то Нос!!е!сом М нз!Сльност! (й ) н (й, ) та!Оке равномерно схолятсн в 6,. ! Из псследовзтелгн!ости !и ') выберем равномерно сходягцуюся !й н б. поди!!Слсдовательность дополнгнив прямой, их соединяющий, прннвдлежит О. Тогда и — ! и'г(1 х) — и"'(г -) =- Ч~Р гл(/ — гй х)/г г=* = Х (/(/, — г/ггы х) й +вы (10,42) где вь стремится к пул10 при /г — > оо, тзк кзк последовв" тсльность и. рвяномерпо сходится к (/.
Переходя в равенстве (10,42) к пределу прн /г — со, получим (/(1„ х) — (/(гы х) =- ~ (/ Й. (11,42) Тзк как узловыс точки образуют всюду плотное множество в й н фугпсцнп С/(!, х) к (/(/, х) непрерывны в С/, то равенство (11,42) саряведлаво для любых точек (/„х) и (/м х), сели отрезок, их соедиюпОнгий, принвдлежит (). Поэтому д// дг —. —.
(/ всюду в С/. Точно гвк же поквзывасм, что д(/ — — ОИ(. х, 'д(/!/,х,) 7-2 -' =О ' — ' — —,' — '=~Одх, дх дк дх дзЦ если точки (1, х,) и (/„х,) арипвдлежзг С/, т. е. —. =(/ в О. с1~' таким образом, мы аоквзалп, мо предельная функция (/(г, х) д(/ дЧ/' д(/ д-0 имеет производные . — и , п — = †. во всех точках абдт дх' си дх' ласти 6. 6. Изучим теперь вгведюгис предельных знвчений функции 1/(г, х) нв границе Г области О. Лемма 1.
Пусть точка Л с координатати (г„, х,) лгзкилг на нитгнгт основании (г = г,) криволинейного гстмрехугольники О. Тогда 1пп 0(г, х) =/(А). к,п -,л о,а са До к а з а т е л ь с т в о. Рвссмотрим $ункц~ио то = (х — х,)'+ 3 (г — г,). 42) Ггпгенпа ПК1ПО11 Гл ЛГПОй ЗЛЛЛЧИ 333 ()о всех то1ках б+ Г, отли И1ых от А, тк(С х) >О. ЛВ1ко 1фоесгл1ть, что Пусть е > 0 — ~ ропзпол1нюг. малое число. Обозначим через 11 ~толь мал)ко 11крсстпость то1ки А, 1го,',гл — у (А)1="' а для з11ачснпй /„по Всех узлоаых гочках Гл, п1члиналлсгкз111их Ы., 1йн1 ЛОС1 атО П1О МИЛЬ1Х 11. Пуе ГЬ ООСТОКИИИК С ТККГ'Ва, :1го С-.и >2 и',ах)у ~ но Всех точках б+Т, |с прнналлсгка- Г кйих 1) .
1)уггем рассматрппать функпиго и' только В узлоаых точках бгг . У)сГко 1кгказзт ь. Кз О В у'злах бгм у(,1) — е — Сто(г, х) =.: и" (г, х) х-.:у (Л)+а +Стн(1, х). (12 42) .1(сгйстгигтсльис, функгьпи и — -у'1Л) — е — Сгн — и" и ф.= — — у (Л) —  — — Саг-1-и" ! 11еиолоткптсл Ь~1ы Во Вс 'х ) злоьых т О'и ах 1 а В Оглу Определе ния 1) и иыбг ра нос1Т1ьниой С. ТВ1.
как Х. (1а) >б и Е(ф) ~ го, го фгньниг л и 1 прнннльоо1 иаим«с1ьн1ее зна кние иа )л Слслоаательно, во ас х узлоньгх точках бл„функции и к (г иссолохгпг11лы1ь1 и нсрансистна (12,42) итгеют место во Всех 1'ри1 лл111 кгап111х 1'.сли то п.а ~",, х) ггалг1счси узловой точкой бл„, начиная 1' нско1О1юго и, 1о, 11срехоля к пределу и Втой то1ке В ие)м1нс1сзаах (12,42), полу им ,у(Л) — е.— ело гк «/(С х).=.=у(А)+а-11-Сгл. 113,42) Так как миогкество то1ек, которые явлгпотся узлоаызи1 танк,1м1 бл..
Иа юная с нскот1 ро1о и, искру пл1 тио и б и функигп1 Ь (1, х) нспрсргякнз В б, то иерааенстиа (13,42) нысгог 11ес1о во всех го1кгь б. Слслояатсльпо, Т(.1)--е==' 1)гп б(1, х)=.::. !)гп бб, х', =у(Л)+а. Г1, О»/ '1'а~;. как е '. 1) нрг)пм1ольио, 1о 11И1 б11, х) ===,'(Л), 1гс и (1,х~ г л т)эеооиагкгсь ло11ыаГь, дополнения .1(еыыз '2. Иуглгь точка Л с координотани (/„х,) леькит на боковой стороне крььволиней)ново четырехугольника 00 Уагда 11о Ц(1 х) — у(Л) сульгтв~вует д'Уньеьиы (~, х) (барьер), бл, д „, следуьвиьильи гвоиствпщи: (1, х) определено и негу ерывно в вгех глоигпх игл ресененин сг+ Г с некотврои оьсреслгностьк> Л, длн которых 1=-: 1 . У)гделг Обознбввяь льнонгегтлво точек, еде олределена пьп генея 1)л.
9 о (Л) = — 0 и Р, (г х) ~ 0 ва всех lлбикпх гу олг точных вт Л. 3, 1. (о) =.=0 во всеь етоьовых тонких Оь,„лрпнагулеькаьних Ял, лри достаточно болтиих п. До к а з я г ел яство. Пусть точка Л с коорщщзтзми (Го х,) лежит нз кРпвой х=-=е(, (С) Выбсоем к >0 настою «о вялым, чтобы облзсть О,, огрзнн ~синяя прямычп 1.—.—.г'„г'==- ==! — и, х=-= х, +з в кригой х= и, (1), сойер,кщщсь в 1)л. 1 11усть в .> 0 — произвольное малое щсло, Обозпзчпм ~срез () столь мелую окресгносзь ~о ноь Л, что ~Уь — У(Л)( ." (14,42) лля знзченнй у, во всех узловых точках Гго прииадлеяюпоцс 11, при достзточно ьылых )ь Пусть пос1оянпвя С, тщ,сзз что С ол) 2 щзх (л ( во всехточкзх В„пе прпнздлехсвщпх (1 . Квк в в предыдущей лемме, получяем, что во всех узловых ~очквх 0„прянздлежащпх ГУ„, при достзточно больщом а Й' У(4 в бо в б(Л)+ +С о (10 О~сюдз, переходя к пределу при и — со, с помощью тех же рзссуждсщ;й, что и в лемме 1, получзем, что )йп Оь(1, х) =У(Л).
(16,42) пко из нерзвенств (15,42) следует, что нзйдется такзя ок1лсгность (1 точки Л, то во всех узловых точкзх 0)в„прщнщ лежщ щх гу, !и" (', х)-- У140 2в (17,12) если ь =.=1,. Можно счигщь, 1т~ 11 принвдлежвт ()к 42) Ген!ение псгвон кваквой злил'ги 865 Рзссмотрни фупкцпго то.— (х — х,)х+ 3(г — - у,).
П)сгь гюстшшшш С, гзкова, что Сли) 2 т.гх !/ ~ во нссх го ках Сг, г ггс иршшллс кзнгих гг и расгщ. ожсгшых нышс прямой — — . х, гдс о) О и досгагочно мало. !Йак н и пггелы,гугцсй лемме, легко усганОвггть, что во всех узловых то гках Огы, располохгьчгнгэх выгпг: ггрямой =-1, — Йг„, при достаточно малых Й, имщот место неравенства г" (А) — За — Схса = и" =,г (А) + Зе + Сгто. (18,42) Рассмотрим вля этого узловьге точки, для которых 1' г, — Йа, Обозна шм их Н„.
Докажем, что ггсравснство (18,42) кыгголиястся в узловых то'гках Нги пргшаллежащих Г„, и узлах Н самого нижнего ряда. „!(гггг узлов, лсгггзггзггх вне гг, эти неравснсгна вьпюлггпотся прп достаточно бгльшом гг в силу выбора С,. г(лв узлов, пряналлслгаишх (), эти неравенства г:ыполняготся в силу неравенств (14,42) и (17,42), если только в этих ) злах ы ) О. Если жс в рассмагриввемои узложгй то гке из 1) фунггцгггг о(О, то неравенства (18,42) выполнягогсв при лог гагочно большом п в силу того, что Сто) — а прн 1) 1, — Йт если )г„ггост,гточггсг мало, и в силу неравенства (1г,42).
'Егг кек Й (го) с О, то, к,гк и и предыдущей лемме, уста* пангн веем, что ггсранснства (18,42) справедливы во всех без иск гкштшв точках Нгс Из згпх неравенств с помощью тех жс рассуждений, что и в прслылущей лемме, получаем !гп (г'(1, х) = — У(А). (19,42) гг. ы-х т гт: Ь Из (18г,42) и (19,42) следует утвсрнгдсгше леммы для точек А, распологксггггых г~ г'рггиой х=-гу (1). Лля точек А прпнадлсгкаищх крггвоп х.=е(, (г), доказательство аналогично. '!' соре и а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
