И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Тогда, сслп л =О, то уьззанпзв задача разрешима при лк~бых,~ и м, а число линейно независимых решений соответсгвучонтей однородной задачи равно 2п + 2 *). Если и ч. О, то задача разрешима только длз тех у и (а, которые удовлсгворшот некоторыьг условнхм. Число зтих условий равно — 2л — 1. Олнороднав зада ш в агом случае имеет только одно решение. Рассматривались такгкс краевые задачи более общего вола зз). 12. 11одробно исследовано новсдсннс регнс н1й основных красен.х задач дли зллнпгическнх урзвненнй при стремлении "! Ср, условия рюрсшнмостн первой краевой задачи лтз уравненна !З,ау! а н. 2 згог о на!и~ рзфз. '') 11.
Н. В с к у з, !1саые чс1озы решении з1шнгнчссклх чрзвнсшн1, ! гсхигза1, И43. И. Н. Веку а, Обношенные аналитические функции, Физматгиз, 1йз9. 5 37( овзог ггзгльтлтов для эллиптических ягхвпгний 333 к нул1о малого параметра з при стзрщих пронзводпых; получено асимптотическое представление этих рсщсний в ьядс рядов по степсяяя е. Б ряде слу ~аев указанный предельный переход прнвгщнт к новой красной задаче для уравнения с г=О. г!зучалпсь така е красные задачи для урзнненю~, являющихся эллнптн ~сскимн внутри рассматриваемой области и параболическими на части ее ~рзщгцы (нля на некотором внутреннем подмножестве). Подробныгй обзор результатов, связанных с этим кру~оы вопросов, содержится н статье М.
И. Вищнка, А. Л. Мышкпса и О. А. Олейник гДифференциальныс уравнения с час1выми производнымиа в кингс кМатематпкз в СССР за сорок леть, 1, ф з гиз (ОЗО, р. Зйс1 — О(13. 13, Обобщенным рсщением эллинги ~сско1о уравнения Х рв д в ь-..д1... ~ а„. и = —.У(хо ..., х,) (7,37) в области 0 называется нспрерывнзн функиня и(х,„..., х„)„ которая удовлетворяет интегралщщму тождеству (ср. 3 9) ~ (ггМ(а) — Уа1 с(х,... г1ха=О при лкзбой функции а(х,, ..., х„), ггмеюнгей в 0 ненрсрывныс производные до порядка гл и равной нулю в окрестности границы О.
Здесь ы д(~.4),1 а о) М (а) =- ~~',( — 1) а= с Окззывастся, что всякое обобщенное рспщние эллнптичсскщо уравнения (7,37) в обласкан 0 обладает непрерывными производньщн до парилка т и удовлетворяет этому уранненщо в обьщном смысле, если в области 0 функщщ г имеет непрерывные пронзводиыс до порядка 2 ~;-~, а коэффициенты Ла, ... а„стоящие в уравнении (7,37) нрн производных гв )гл и элл поти гссюп: ж двкг юга П,гРЯЛК,1 )т.
ПМС«гт НЕПРСРЫКПЫС" ПРОИЗЯОГЮЫЕ ДО ггОРЛДКа ! и й )ы2~,,~(lг .(г, 1, ..., Гиг Больпгдя гладкость коэффшнснгов уравиеиия (7,37) влегег за сг«бглй бблыпуго глалкостг, рнпсгюя. Ь гастпосгп, если ггл псе коэффицнеиты Агг, д, и,-' пмегог в области 0 непрерыюпгг: пропзволиыс лгобог О порядка, хо всякое Оообп генное решение уравнскги (7,37) также обладаег проггзводиыми любого порялка. Диффгереюгггалыггге уравьенпс с частными производными, Всг обоб1цс'нпги реигсния которогО Облала10т прои5Волными любого пггрялка, пазывасгси гипоэллильтичгакилг.
Очсвгьгпо, жо всякое линейное эллипгигеское уравпсиис с бссыгпс пго дпффсреицируечьюи ьоэффвциеп гамп явлвстся гкпоэлляптп- ЧССКИМ. ПРИМСРО«1 ГППОЭ.ЧЛИпгигг:СКОГО, НО 1гь ЭЛЛНПГПЧССКОГО у раялсггяя может слу:кпть уравнение '1 силов роводиости (см. главу 4). 7(остатгг юые (а для урагюсиий с постояюилми кпэффпцпеи.гами и нсобходпмыс) )слоник ггигоэллкпги ности гюйл сны хг рм, пдероч ' ь). 14. Полобио тому, кдк дгю уравнсгюя Лапласа характсрИОй КРаСЯОй З,наЧСй ЯВ.ЮЕГСЯ Зггзггг га Л:гРгг«ЛЕ, ДЛЯ Юнпнармоиичсскогсы уравнсппя Лд', д', д' Х«г г,дх' дх" дх' Л* харакгсрпой краевой задачей является задачгг опрелелсиия рсюегию и эгого ураюгс:гия вгг) грп искггтг рой области 0 по еж; зпа'гююям и дна гепюгя сто гюрмальпых проиаиолиых ло пор гдг.з лг -- ! вклю нгсльио»а грюгице О.
Прп лг=2 и л -2,3 к агой зала ге прпвггдггт важпые проблемы теории упру:осги. С)юсствовеипс я слюгсгвсггю:сгь обычного ренегня это!1 зала ги лекал:гггы в посдгюлю«сипи дос1агочной ГлалКОСти грангю.г ОбЛаетв 0 И Задаин,1Х Па Ией фуНКцИй. !1рп гл == 2 и л = -.
2 досгато юо потребовать, гтобы область 0 была ограюгчегы коггечным числюг замкнутых лилий, у каж') См. г) о и, !1лос«гге во юы и сфергжескис срсдгюс в примсиеияи к дггг)гг)гсреггпяачыгыдг урлвпепиям с чдсткыми производьыми, Ил, )ггбг8. ':) Х е р м д к д е р, К тсориг вонях дифферепциалыгых оператггрпз в частных прои юлю ьж, ))Л, !!гб 1; )! о." т а и г) е г, Сотюиюса!Ыпз оп роге ж«! дрр)юг! Нггггйепгд!гсз 1! г!Г158) № 1, !87 — 218 37) пазов ге:аль)л)ов для эллиптич!снях изваяний 335 дОЙ нз 1О)1"Орых коо)гмс)1з1ы яялаотся трп,к 1ы а)нре!Я,свпо дяффсренасруемыла ф)пкциями д.аиы лу1п, и )тс)бы фа кпии, зад;апьсе па згях ла)иях, были испрсрывлыч;1 вмсссе со своими первьва производньп)и по ду)е.
С. 21. Соби)с в доказал сусцссгвовзасс и сдпнственностс, обпб )!сан)го рсиааы э)ой задлчп при самых апрокпл пре)цсс)лс)асс)и!с)х о срзнице О. Ои попускал, )то эгз срааца сос1оис кз пессольлпх кУсков Рзз)н)й РазмеРиости. ПР)1 этом оказалос)и что нз к)сье размерности и — т надо задавать зпв ааы функца. и и ее произвола)х до порядка т — ~ -,- ~ — ! . '2) ) Решение С. Л. Сооолсва явля«та) об )би!спи!я«с в том смысле, что ф)нкция и и сс пропав;)лиса нс Ооязагс)ьно 1)рп.сичаот заданные значс)па во всех грзаапых точках, а только «в СРЕДНЕМ». )То«ссо«ОИР«дЕЛС)псс Эта О ссн «РЕЛЯСМ» СМ.
В Кингс С. Л. Соболева «Некоторые примспс ая фупкцяоиальиого анзлиза в латематпческой физике», 1с)!50, стр. 111 — 113.) !3. Лля некоторого класса линейных эллиитсае:ких систем, навез)шых сильно эллиптическими, М. И. Вапас ') исслслс вал вопрос о расрсасаоссп краевых задач, зн)логичнс)х гарной и второй краевым запасам для элаппячсааио уравнения вторсао иорялкз. (Этот класс сс)деря»и), в частиссстн, одно ласейное эллиптическое ) равнение обо!его вида )7,37).) Оказь;вается, что так ясе, кзк и лля ураассаа !3,37), либо такая задача имеет единственное раис)и!с ссулс люс)ых заданных граса сных фуикцасх и правых сас)ях системы, либо реаен е исединствсаа и лля сущестяонаая рсасаа пообхолпмо вьаолнеасе конечного числ;1 условий длч граа'аых фуикасй и правых частей.
Найдены лостзточссыс услосиис для сущесгво- В)исса И ЕДИИСтзСИИОСти Респепня ПЕРВОЙ И ВтОРС,й КРЛСВЫХ За)лаи, 1(ОГОРЫМ доатяиы удоядетворЯТЪ КСЫффн1)И«И ГЫ СИС)СМЫ. О)метим, что так )кс, как и длв уравнена) )3,:)7), дли асла)О эллиптических систем в дос)ато п)о малых Облас«ях всегда имек)т место суи!ествовасие и еднпствепность респеаа первой краевой задачи. ") М. И.
В и я! их, Матом. сборнвк 26 171);2 !!с)511, С!ьс -к76; ДАН СССР 86. № '1 )1с)525 645 — 648. 1:и. )аС КС О З г 4 спи, М ппе)па1кс 5сзс«йсыска 1)1«))21, 55 — 72; В)ос»" с! с г, А)аль о! 5)зс!1. 81ис11еа 85 ! ! с)54), 15 — 51; О. В. Г у г с в а, „'1 М 1 СС)СР ! О2, Х о )1' 155), 1058 — 1072; )4 ! г е и ь с с с, с)оап)ипсса1!о.)л Ов ра е юс! Яр)с!!ед ша11 )11«а, 8, № 4(1655), 616 — О75. 336 (гл. ш вллинтичгскив х хвнпшя !(ак показывая>т нрнмсры, построенные А, В.
Бнцадзс еще в 1()46' г., нервзя краевая зада ~а с однородными ~ раничными условиями для зллиотнчсской системы с двумя независимыми переменными мозкет иметь бесконечное мноя<ество линейно независимых решений в как у~одно малом круге+). В последнее время получен ряд интересных результатов о существовании и единстзсшюстн решений краешах задач для общих лшшйных зллинтнческих систем со многими независимыми переменными аз), а) А.
й. Б и ц з л з е, успехи матем. наук 8: 6 (28) ( г 948), 241 — 242. *+) М. Ш е х т е р, Математика (нереводы), ИЛ 4: 5 (1960), 93 — ! 22, 4 6 (1960), 8 — 21, А 8 и о а, 6! о н и ! ( а, )4 1 г е в Ь с г К, Сопппна(сайоаз оа риге анг( аррйед гяа(1~ешат(са, 12(1959), гв 4, 623 — 727. Р.Г) А В А (Х1 ПАРЛБОЛИЧЕС)(ИЕ УРАВНЕИИЯ й 38. Первая краевзи чалача. Теорема о максимуме и мииимчме 1. В ка пастве простейшего предстзвигслв парзболяческ ге уравнений хпя будем рассматривать урхын ине теплонровоиносги дв дхл ( + дн дх'-' дх' 1 Осповпыс свойсгвн рсгиений итого уравнения нс зависят от и. Мы ограни пимен лля простоты расс»к ~рсппсм сл1 гая и=-- 1.
Параооли ~вские х равнения пзпболсс ~ас~о м гречмотся прн изучении пропсссов теплопроаоа ности н лиффузни (сн. х 1). т Типичной красной зала ~ей ллч параболических уравнений является слелукнцая залзча. Обозначнч крез 0 криволинейный чс~ырсх- угольник нз плоскости (Г, х), огра ничснный си рсзкхха пряных Г рнс 'Б — пепрерывныс функню; н Т, (1) ~ Т, (г) прн г» .= г = г (рнс. 1Ь), ')хсть границы оолзсти б), состгннауо из отрезка оргией 1 =-. 1» ~ »опиях х = — ь, (П н м==-~р,(г), обознзчич через Г (на рнс.
)з =~» часть г)м.нпхы обозначена жирппяии лапиинн). 2'2 и ~ и ~г»»с [сл !ч пхРьнолкч!.секР РРмк!Р1пю ! рсбуется Оз!» ! епрсры!л!у!о в облас1п () я ла сс гра- ! л!ю фулкиию и(1, х), )Рис!к!Ртвг!ряюлгу!о нн) !рн сг уравпгнюю (1,.38) и прю нмю ~!11) к: !ю Г з1ю ю юя залалной нз Г непрерывной ф! к! илн у В !сс>)нп! урзннс!юя (1,38) поставленная залаяв и! рвет .!а1,ую 1кс ос!юю!у!о рсл!ч кзк зада !а Дирихле в теории ураю!ю!ля Лапласа. О!ю !юзывастсл! первой краевой задачей лля 4раюю!лл! гспл!юроводлости. Б том случае, ко1.да Область О явлются прямоугольником О!0 с х с 1, О с гс Т, к пер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
