И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 48
Текст из файла (страница 48)
(12,35) г'гргг наполнении зтггзо усеооан рг*гггснгге уравнении (3,35) ои1 едг глелгсн * ггггг'гггггслгыо до ггрггггзаолыггггсг слггзасглозо, 1 гегрг."мд ггггкзздг~д. Фугггсггюг е(го) я;и:ет простой физический смысл. ()гга равна влогн,гсгв расирсислег кя заряда ла ь в том случае, когда сг-)- г является ггроводггиком.
Ис~олг,.гугг тон!ген) 2 гг ггрнггсгнггг «рстгно теорскгу Фрелгтг гьмч пгглсчггкгг Т с о рс и а 3. Ургггггсггггг: (3,35) ггнггггнгг) мидани Дирихле илгеегл регггенггс гвозди и оголено агоада, если й 35) евшшюг квасных задач уравнение (5,35) внутг *инея сстс роя крпевой ваоячи и.веет релсенпе тогда и тольао тогда, если ~ у'(А) д2 = О. 1 с'срсс выгшлнении злгого условия ртаенле уровненая (5,35) олреоеляетвя г товноствсо до сяагаетого Сга(ссо), гдв С— лроиввольнал логтояннли. 3. Решение краевых задач. Из теорем 1 и 3 настоящего параграфа мы получим сейчас релульгатьс об услошшх раврсшвяостн осяовных краевых задач.
Прюкдс всего из теоремы ! следует, что прн нацих ограннчссшвх в б всегда сусцсстяует сдцнствспнос ранение ьссутчрснссей зада си Днрнхлс, ссрсдгзащшое в вндс гютенциала двойного слоя. В силу доказанной раньше сдсс~сственности рсшешш задачи Дирнхлс мы могкем сказать, что решение янтсс.рального уравнения (2,35) зквивалсссык решсншо внутренней задачи Дирнхлс. Далее из теоремы 3 следует, что решение вссутренней второй красвгтй задачи существуя с для таких задшгных на границе функщгй гг(Л), для косорых выполняется условие Докажем, что зто условие является необходямым лля разрецсиссостсс сшутрегшсй второй красной задачи с зедасшой функцией г'(А) г й Пусть и(О) — гасшосншеская функция в О, д непрерывная я й+Л, и .= — г'(А) на й. )льсбсрем постояндл пуго С так, чтсбы Иы доказали выше, что существует гармоническая в 0 ! ов и непрерывная в 6 ~ — с.
фушсцня о (сд), д:ш ьогорой — = дл =-у(А)+С на й. Гармояическая в Сс функция ов=о — а дсв непрерывна в сс+с. и — ==С яа Г, гсл а) В й 33 мы сюкалаля яеобходямосгь лгого услоьня а более узьях пршюояовсесвьы. 20 и, с. сы,сюьс«ыс Ггл. ш эллиптячгскнг. хсхвнгиня По теореме ! и. 3 8 28 тн = — сопз1 и С'=-.О, тзк кзк гив есля тл отлична от пост«ни~ной, то — — дочжпз иметь разные дл знзки в точках Е., где тз оринимзет наибольшее и нвю|еньгпсс значения. Огсюдз следует, что К ~ 28 было доказано, что реп1енис внутренней второй крзеной зздзчи определяется с точностью до востоюгного слзгзсмого. Переходя к рспп пню внсюнсй зздзчи Дирихлс, иы вилюя, что н силу теоремы 3 не ири любой грагю иной функции «юягно нзйтн рзснрсделение даюлей, даюнсее рснгснис втой ззлзчя. Это объясняется тем, что, как легко видеть, всякий потснцизл двойного слои (12,34) сгрсчвгси к нужо нз бес«ове ~ности, з мы в $ 32 докззалп су|цссгвовапие и сдннс~нсниость рсюсоня внеиии:н зздзчи Дирихлс, предползгвя ргюенис всего лиюь огрзничспныч на бесконечностю Г!рн грзнкчной фупкппп, удовлетворя«лигой условюо (12„35), сугцествусг рсшеиве снегиной зсдачи Дярнхле в виде потенциала двойного слоя.
При произвольной непрерывной функцгю /(уз) можно постугим ь слелуюигпм образом. Образуем функцао где константу С' подберем тзк, чтобы 7,(г') удовчсгворялз условио (12,35). Для етого издо положить ~ У(Л) и (А)й1„ (11 35) «2 (А) л!л что можно сделатгч тзк кзк в силу теоремы 2 ~ ы(Л) г)Гл —,~-О. После онрелслсния С" репин уравнение (3,35), нодстввив г вместо /. Пусть одним из ре1иечиб) бу гсг т,(то). Тогда ре- 35) РГШГПИ~' КРАВВЬ!Х ЗАДА' ! 3)':7 ше)шем поставленной В«шиной задз )п Дярпх с 6) чст фун,)ц ш е)то касается !Шстояиного слагаемого, входя)це)о в о«псе)слои«у)о из урзяне)чш (3,35) )шогш)сть .)Вне) !сй, то опо «е скшкегся па решею!и впш)шсй задачи Лирик!)с, т;ш кзк вие 0 потенци;!л нос гояшшгг! рзсиредслснш! д шо.шй равен ну;)ю (см.
теорему 4 5 34). Рассмотрим, нако! ец, Внеюп|о)о втг)р;ш красную задачу. )сзк мы показали, СООТВетгтпукнцсс этОЛ зйдз'!с ннтсГр))11ьное уравнеш)е )6,35!) разрешимо прн Ено)л)б! нспр)зр)„зной фу«кипи Е(ез). Так кзк решение впс)нисй в! р..й крзшшй задачи ивлиегси функцией ограпнчснной па бескояс ии с1«, !о !В)т! ицизл иросГОГО слоя с плот!Шстью, Опрслсляю! 'и к)к р)шс«не ур!!Внения 16,3)5), О) дет решсиисм ннш!«)Сй ВГ)трой )ерзспой задачи ы!гда и только топи, если оп ограничен. 11о лсчмс 1 д!и ограни )снн)~с гь ноге цюча прг)сттк о слоя на бесконечности нсобходн)ь) и достаточно, )тоб:,! ') а) 64) е!'!'! — —..
б. Е Интегрируя уравнение (6.35), пз))ш)е! поряд! к и«гсгрпроваюш и используя теорему 4 из 'Э 34, нол) )ш! Е)'Е)) Жр " '1 ~ )ЛЕР) Егт + ) * ! В) ! 1! ' " ЕЕЕ ~ Ж Е +~ .' !" ) !', Э)Л)тб ар! Е !. '! Г Р СЕМ (Е«Л, Л!. ! =т ~ЕВ~Р) гу) — ~ еа)Л) ~ ! " ' —,'— " еуу ),у;. =- 2 и ~ Еа (Р) Пр. Поэте)иу услояие ~~")Р)ееер==б яаляе)ся необхозгоихи и че)- с)зги шым лля !о! о, )тобы )шсгросшши !)ри )ко)о! Е! урз шениа (6,35) !Вггсп«изл при )о и сены б):ш ! р,н)п н:«и,ш «а бесконечности.
По лем;ш 1 «рп выло ше«ш! з! н о уел, Гше 363 (гл п~ вллиоти некие кглвнтния нострошшый потеншшл обязан стремим ся к нугло иа бесконечности. Условие (13,35) является вместе с тем и необхо. димьш ус.ювнеы для разрсншчостн внешней второй краевой зада ш. Это слелуег из необходимое~и услошш (13,35) д:ш разрешимости внутренней в~врой красной з шали и равенства (4,33). Ерочс того, яз и.
3 ф 33 следует, что рсшшше внешней второй краевой задачи определяется с гсчностшо до вронзвольного ностшшнш о слш аемого. 4. Решение краевых задач для круга. Если 0 — круг, то решение интегральных уравнений (2,35), (3,35), (5,35) н (6,35) особенно сросто. действительно, есля обозн,шить через й радиус круга, то ле:ко нровсрнтгч что при АбЛ н Рйд будет 1 г(А, Р) соз (АР, и ) === — сов(АР, гг ) =- — — — — ' 2 1~ и урашгшпш (2 35), (3,35) нсреходят в 1Г„,.1 (Р)=--ч- 2-у ~ т(А)т()л -~-,— У(Р) (РЕУ), (15,35)... а уравнения (5,35) и (6,35) — в уравнения ю (Р) = + —,, ~ гв(А)Жл+ — ~(Р) (РЕ Е). (16,35), „ Репки уравнение (15,35)м Йля зтого обозначны и проинтегрируем обе части (15,35), по Е.
Тогда получим С= — С вЂ” — ''('У(Р) (),,; С= —,-'-~У(Р)а„. Подставляя значение С в (15,35)„получим 6Р) -= —,; .' ~ У(А) Лл -- —. ) (Р) (Р6 С). Теперь из (13,31) слелуст, что нри !~Ей будет в силу 309 гьшгниг кгаггвых задач теоремы 4 ~ 34 л ь 1 /. Мы в другой форме получили, таким образом, интеграл Пузссона, рассмотренный в 0 29.
Перейдем к уравнению (15.35),. Однородное у(зазнепис, соответствующее (16,35)о имеет нетривиальное !ыисние и (Р):= сопз! ~~ 0 (си. теорему 2). Танич образом, условии (12,35) и ~ г (Л) и! — -- 0 здесь совпадают. Есле условие Е у(Л) Нл — — 0 выполнено, то уравнение (!5,35), имеет л решение т(Р)= — у(Р)+С (Рб Ц, 1 где С произвольно. В обшем:кс случае получим (см. (14,'15)) С == — —;,— — ~у(А) г1)л; /, (Р) ==зг(Р) — —,, ~ у(400 „ с (Р) = .у"(Р) —, ~зг(Л) Лл 1-С; %1 = ~ ~ — У (Л) -- -„--,"- ) з (Л) )1а ~ --' ' — —,— г1)л.:— г (соз(СЛ, пр + -,— у(Л) Н -(Л ()! — — У(Л) 11, йь.
!1). )гл. взчигтлчгсклг тгавнггляи 3 з ~ и и и. Белим ь урависгиги (16,35),, и полу ~гиги в свизи г и~им )ивич,ис ииутреинсл н своп~ней в горин красной задачи вг.и к!Лги. !1!нг рспеюги гюследней задачи лслользовз.ь формулу ~ )и (1 ( р' — йр сов й) г!7=0, — 1 '"Л ~ !. 5. 1'зссмотрлм ) ракию,лс 11уассола Ьи = —./ (х, у). (17,35) Мы лрсзиолоккм, чг фулкини „«(х, у) =/(го) издала гг огрюнюсююй ойззсги б, ги рзинченз и имеет нслрсргиинме ~ас ~ иыс ирои лидице 1-го норад«з. Буден реюач ь внут рсюлою зз;гз гу Лирлк,ю дзи ззтио уравнении и). Достаточно изйтгг какое-нггйудь оюю рсыс юс уравнении (17,35), ислрермвное е 6 =:=. (г-!--У., лс обр лизи вишмзлии иа к!заслуге функцию. Дсйс геизсзгьо, сс:я ",: — тюке реггюяе, то, лгюоиию гх-= л -)-то где св — рсюею.с в«уг рсюий зада ги Бийские див уравнении Лапласа с крзевмч условием са ! .==- и — т'), ! с г зозулин, что и видается рсюением исходной задачи.
Тем сзгьчм воирос о суитсствоваг~пи и единсгвсююстл ре:лилия виугрсиисй задачи Ллрикде даи урзвнегии (!7,35) подлостью свозе гси к галену иге аггиросу зди уравнении Лапласа. йока ксвг, цо час глыи равнением уравнении (!7,35) вилис~си функция с(75 - — --,.,1.) '(й! 1".Э, 7-" л (лози!игггьиивдсггггй потаийаа,т с ггдлгинисгггьго заридо —;, 7(Л)).
';. ! и о, мм бузив лскзо, ию:р !изв~и е в 6 рсюсиие урзвислк„(17,3ч). юггорис .и ~ рюгиле 6 л!нигггмзег зггачеиии заданной аии юлр, рывлог! ф)чи иил. 8 351 РЕЕВ!!ИИГ КРАЕВЫХ ЗАЛАЧ 311 Провсрвм прсгкле все!о. что интеграл (18,35) скалится и представляет собой непрерывную фуикцша Р на Всей илоскосгн. Для эпюа, а!кало! ична 8 34, дгстзто1но проверить рввиочсриуо сходимость интеграла (18,35) в любой точке Р, Е с). При этом определение ра!Вноиерной сходимости лал кно быть естественным образом изменено. ОООЗВ;1 п15! При ЛЮ150Ы 11 ь 0 '!срез Ог (РА) В у1 151.'впасть круга с центром Р, и радиусом р, з через 6,(Р,) — общую часть »5, (Р„) и 6.
Доста1очно доказать, чта для любого е~: 0 н,1йдется такое р,л0, что для любой тапа! Р~ 0 (1'5,» интеграл ~ ~ У(Л)(п (1 а5 сходится и па абсол1отиой величине е в. Для этога обозначим через Л! верхщою грань 1,5! в с5 и перейдем к иаляр- 1 ныл! коорлнщоам с полюсом в точке Р. Тогда, сели р =.— ! )3 .!( ) Р л Д ) ( ' )) алм- О„5Л.1 О. Н,! 1 = Я ) ( — 1пг)г Ь.с!р= — 4пЛ48' ( 1п,— + —,) . (19,35! Последнее выраженке при р — 0 стрегнчтся к нулю р;и5намсрпа лля Всех Р, принздлюкаи!Их А5 (Р ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
