И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 45
Текст из файла (страница 45)
12) нз расстоянии А > О, стремятся к точке О, прнчем напраьзспие от — г/ к д ясе ! ! вреагя союгадаст с пологиитсльным '1 направлением оси. Тогда потел. пыл в любой го:пге, кроме О, является разностью двух величин, рсс, стрсмигцихся стать равными друг д!)уг)Ч поэзочу рассмагрнвдсмый сотеиюгал стреаипся к нулю. Ес.,пз ьгс в процессе движении д мюииетсв гак, что г/Л = р = — сонь!, то предел потенциала равен д ='з ! 1 и(/!) = )ззп г/ ~' и =- с' ' = г р~ ~к ссь (г д/, !) =)з — ',— * .
(6„34) ткогия и!'тгнцихлх Пред«!!мое рзсполол!ение !зондов !. 4!илн,:с «азы«пот длгюл .я, вс.!я !сну р---лго.нани!о.ц, з ось у — осьл! и!по г!злю!к. Прп !юмо цп цпс пых з; рядов дпцюь мо кот б!!гь осуи!ест«лен ппь ириближе!по (двз больюих злр ота «з мался! расстс«!ния друг от друга). При исследовании влсктростзт!!- веских !юлей удобно пользовзгьсн почем дииоля, кзк ир.- стсйни!!!, наряду с полем точечного ззряла.
Пусть зс!юрь дзнз ориентировюпзя ювсрхпосгь 5, т. е. такая, нз которой указа«ы ю!спюп и л«утренняя стор«!ны Пусть из 5 рзспрсдс !е~ л!поль с плотностью момента т(.4) (Л ~ 5). причеч в клк гой то гяе А нзпрзвле! пе осн дипол!! гз!впадает с «вправлю!нем внео!«ей нормали к 5 н ! нове Л. )о!лз гютенцнзл, создзваез!ьн) ятям дп!«июм, равен. где мл — внсю«яи нормаль к 5 в А. Этот интеграл нг!зынзегся литкнцлолол! доо!)ново слов. тзк кзк рзссьптринзсмос рзсирелслс«не липоля пьке!.
бы!ь н!зибл!!женно осун!ествасно, кзк деа язл!оке«ныл нз 5 р;!аврал««синя !зондов с плотное! ью — т(Л) и — — т(4) нз расс!о п!п Л (!ю нормали к 5) л Ь друг ог друга, если только 1! лб л!ютзгон!о м.по. Правые части(3,34) н (6,34) и л!потея гаргнлпческями фу!!к!о!яхи! в пространстве нлоз!у, кроме тоню! О. )4 игом мо!кно уослиться прям«о! вы:!нслснипн (хост !то по проверить гармони вость (3,34), та!' как тс!лз (б„34) в окосев«!гти кзгкдой точки, огл«чной !т О, получится в качестве рюпомер«ого ирс!!е.ц! ! арно«нческих функций).
Огс!олз при небо !ьвпх прего!ало кон!ых относительно и к!тно ти легко слсл)от !зряо!гич«ость гютсицпалов просто!о и двойного с юя вс!олу в:!е 5. 3 зл з ч з. Пзйлятс потенциал прост!юо слоя от оавномеопо рз!сир«деленного заряда нз !ювсрх!гюти с!)юрь!, нз!!лнтс объемный потенциал от заряда, раснределсп!ого равномерно по объему шзрз. 2. Пусть рзспрслелс«пе зарипов в пространстве иост ы по по з. Тогда и влскт!икта Гн'!с.
«ое иоле !!с .Зависит о ! з. В этом случае всю каргину р!с!!рсдс!!ения зрндов и погеи- зл ии'ги'!гоник тглзи! инп (гл. ги циз гзз лосг,! го гио рзссмагри!и!ть ь какой лабо отпой из пзоскосггй з=. опий Пус!ь т и И вЂ” коорлги!атм н агой плоскости. ()место напряясеииости о! то !е п!ого з!гр;игз .!лись иапо рассматряеать иаприягснносгь в го н.с (З(х, у) от зараза постоянной гии!ер!лсгй плотности гу!, р!зномерно расирелслси- НОГО по прямой х = — и, !! = гх ОООзи.!чин точку (г1, / ) бу! лей О.
Из сои(~р;!!кзи!!г! сиягяезрии слс густ, что ирн Ячй О искомая напр.ьксииос ! ь р:!гии! (7,34) Е-=ге! (г) г', тле и= Ос!, г=., 'и!. для ны гг!слс!и!я уг(г) за то !ьу 0 примем го !ку (О,О) и за (! т !ку (г,О). Тогпз Ея= —. й ~ — — —, г(з--- — — ) созе(гИ==:— гй Лд !" 2ЛЮ (з.=г гйв). Позгому (7,34) ласт 2Л у (г) =- =,.-, отк) ла и, слелозательио, прп л!ойом рзспологксиии точки (г и плоскости (х, )!! 22 !7 ń—.- — "'., - (х — л), Эти величины ран !ь!, с протизоиологкин!и знак!км, частнмм ироизволимм от функции, иазмиаемой лскарифмическим потенциалом пли прис!о потенциале!.!, ! и (с2) =- 2ггг! Ь! — — +.опз! (8, й4) с!конст !некио по х и йь В митома!и !семик райогзх прин!гто брать 2Ф вЂ” = ), сои.
!==О. Тз!зга! ос!рззсмй и случае плоского т! Огггя пот!.Япиллк !Толя зо ! !Яики! за(м!л! сОздзгм в !!г!Осипе!и иотс !!Ги и! и(()) =(г1п.— —, — — =-гг1п —; —. = — ==--- — ===-- . (9 34) !'(О Ф ' 1'(.. — — Л)! 4-(у — !))т Откгетяк!, Язо э!Ог гя тсицизл польза было иа!!ти и.! (3,34) исиосредс!келии!и и!!те!рировзипем по зз!л!Тяеииой ливии, тая кзк тоГдз полуяялся бь! расхОдяцги!!си иитег!и!л. По!слопал Ог диполя па плоскости оирслслвется, г!иалогяяио и. 1, по форму !с 1 сиз(()Д, «) и ((Л = Р—.—,3 — = — Р (10,34) !! г Правые !асти (!),3!) и (10,.34) Яв Яя!Тся гара!Оии!сскими фуикциягп! из плоское~и вдо!ту, кроме О (ср. и.
1), г' ф, | г/ Р!с !4 Рис. !(!. Ливии уровги! этих фуик!ги!! (зк!зииотсицизльик!с лгпиги) иисгот вид, изобра!Яеииь!!! ка рис. 13 (для то !елиого заряда) и рис. 14 (для то'ге'!ио!О з*.!и!О и!!. Соотсстствсиио (0,34) и (10,34) !и!Оии! Гся выргоксипгя для иогсяциалов от распредели !Яо!о заряда и диполя. Ьместы обьемио!О ьютеициала здесь будет двух!ери!яй пот !!пиал и(Ц) =;=. ~) р(3)1п — - -' г(5л. (!1,34) 'и Где й --. о!бл;и тк из плоско ы!. П«!сицизл|! Ор!и !!л О и (гл. ги Вл.
иптичгскиг г авнвнпя Б1ой1ЮГО ЛОЯ ДЛЯ 11:ЬСКОС1И ПмЕГОТ ИИД СО01ВСТСТВСННО и ((З) =- 1 1В (Л) 1п ------,. Нм 1 1 (Л„С„') л' ти((1) = ~ Р(Л. щ гт1, (15,34) во всяком слу'1ае гюреггслсч1 и является не11рсрыи1пз11 фупкцю и ьз, когда (1 ые1истс~1 в:1с (л доказзге1ьс1во зт >го зл11- мс и гарно. Если Ц= Р находится 1п1 ь', зо интсгр;1л 1131,34) яилястс1 иесобсзз1спиь1и, г1к кзк позт1ингс1 рвлю1ая ф) ик1гл пе сл1рслсчс1и1 пр11 Л= —:Р. й(ы буа:и ~11глз, кзк обы«юй 1О1иь рп г1. о стоя имостп чл11 р1с .О.1ииог, и и 1га из и; (1лой1) в ззв11сикгОсти бг 1О1 о, с) «ц СТ131 с г пли ис су1псс1в) сз' Здею й — -лю1ия н.1 11~1оскосгв, и, — вектор, из11равленный по ио) маГн к ь и 1очкс' Л. 1')ы буде11 с п11ать ли1пп1з 011пснтирОВаииой, '1з с. таком, на которой 1'казаны внегдняя и впугренюгя стороны, Нормаль и бздем гли11л1ь висюнсй.
й дальнейюсм мы будем рассмзтрииать только теории1 п01сицнвла нз илоп.ости. РВЗВ1"11ю зггй теории в прост(рзн сгве л1ооого 1исла измюрсппй провод1пся аналоги'и1о. 3 а д з ч а. ()Ы1ислпге 1юзенщюл;1росто1 о слоя от зарялз, равномерно расиргеисленпО1О па оКРУяюости. 111олучгиогцийсв и1ыеграл мож1ю юя юслить прн поиоиц1 геор1ю вычсзов.) 3. 1) лильисйюем мы булсм рзссаюгриз:.Ль ПЛОСКУК1 лп1ю1о Е с югпрсрывио врюцзю1цсйся касатсюгп1ой, не имею- ьцу1О то юк самоперссе1еюы Тогда ди1 любой т11чки РбЕ моюю расп1ззоткитг оси ко: одюют х, у 1ак, что Р будет пмстг коордю1агь1 х= — О, у-:.: — О и юсгь й в .юс1ато1пой близости от Р предгтавима в виде у-:=;м(з) ( — й == х ='/О й' О), (14,34) ппв1см 1р (х) сугцествтет и иепрсргм1м1з. () усть Функю1я Г1Л, 11) определена п непрерывна по совокупности переь1е1юык, когда Л б с, з бр как угодно меняется ил плоскости, не совиалая с то пой Л, и нс 1юрсделсиа ирн 11 ..=-Л.
ТО1 да интеграл твоеня потенциала предел 11т ~ Г(Л, Р) сХХл, (16,34) гле Х вЂ” дуга Х. с ксго!аип Л' и Л", содержании! виутрк себя точку Р (рнс. 15) Й!я скажем, что иногвграл (15,34) рав!и .»суто схода!нсл в поте Р Е Х., если дел лгобого е > 0 к!!с)!!с!иск ттсал окрестность (г тоти Р (см. 1н!с. Х-с 1 5) и пносал дуга Х кривой Х, со!'ехь!га!а»а!! лсоч!су Р с!прего вкутри ссб», ито длн л!ооой !ланки ХХР 1: интеграл к (17,34) (с) су А сходитсл и по абсол!о!лнод вели- Рнс.
15. нине .1 з (требование сх»лгьмосгн сусле твенно, только если Хд !плодится из обнгсй чзсти Хи (гь Тео!осмз 1. Пу!с»ль интеграл (15,34) ри!топорно сходится в ксмоторой л!окне »оЕХ.. Тогс!а длл всех ток!к С!, ле!нсаии!х ка Х достал!очко близко от Р, инл!еграл (15,34) сходипгсл и определяет сХ!унизил! то(Х») в некотоХ об о!срестности о!Очки Р. ЗУпс! о~кнклал нелХ сХо!»внс! и то сне Р. Х(»к аз а телье гво. Ьозьысы лк!бес а >О и вылелим окрестность 1' и дугу Х согласно »пред»лени» ра!и!»ь!ер!ю(1 сходиьюа!и в точке.
Тогда лля любой то !и! Я, внутрет!ей дчя дуги Х и лен!ансер в 1», интеграч (17,34) сх»антея. Понт»му и ьн!тегрзл (15,34) для таких точек ХХ сходится, н первое утверя<де!ьяе теоремы (об определенности м (Х)) в !!екоторой окрестности Р) доказано. Чтобы убедиться в нспрер,!внести то(бд) в Р, прели»л». жим, что ьх находится в )г, Тогда )то Я) — тв(Р)1=~ ~ Е(Л, !,'))дХл — ~ Х'(Л, Хз) !ХХ„~ .. !.
) ~ Р(Л, ХХ) дХ, ~+ ) ~ Р (Л, Р) дХ„!+ ) ~ !Р (Л, Ц ! Р)( !х! ~ .- о, !. - * 233 (гл. ю эллиптические гвлвпсния Ознзхо если ! йгксировано, ~о нгцлелннп ю..сгрзл становится мень~:с г, если й1 нахолится г лоюгго ню малой окрестности тоюю Р„это слелует цз равномерной непрерывности г1одынтегрзльнои фуню,ви, ксчдз А меняется по 7, а Сг — по указзююй окрест~ оса н Р.
Гакнм г|бразом, если Су находится л,юга!очно близко о1 Р, то ) гв Я) — то (Р)! с 3в, что, в силу .,рлзвольпосзн в, пскззывае1 непрерывность ф, нкцни и (Гз) грн йз — —.Р. Теорема 1 доказан. 'Ге о ре ив 2. Если ы(А) и т(А) — нелйг)мание фугисиии, то потенциалы ярогтого и двойного слоя (12,34) и (13,34) вггояу вне Е являгоогся гаулоническиюи функииялти. Дейсзвнтельно, возмоткность дифференцировать функции (12,34) и (13,34) по координатам точки Я любое число раз, если (7 пе ллккт гт Е, показывается тзк же, как в математическом аналпзе ьгкззынзегся возмохгпогть дифференцировать опрегеленюяй и.ггсграл по пзрх .отру, от которого зависит подыг гегрз,пюяя фунюппп Поэты у утвсрж гююе теоремы 2 сразу слелует вз гг.риони пюсти позыв гетра,ъю: х фу кций в (12,34) н (13,3 П Теорема 3. Инглггрлл (1г,34), если ы(Л) — непрерывная функйиг но 7, сз.т1иглгя, ггогда Я летгиг~ на Е, 7окит овйазолг, лол~еняиал, лйогягого слоя нвляеян я функ.",исй, олрейеленной но всей плоскости.
алга фрнюгия неиреу "вяа в )гозкоой тоигг плоскости. Действитет тц в силу теорем 1 н 2, лосззточно проверя ~ь равночери,ю схолимость интеграла (1"..,34) в лгобой точке Р~Е. Для мого возьмем тгюьу Р за гз зло коорцинзт и, заправив новхоляппгм обрзят осп коорю ат, ванин~ем уравнение части й вблкзп Р в ггнде (14,34). Эгу чзсть Х мы обозна ~им т,. )нюси ( св(А)11- —,— — -ййл;.=-.
п1вх ы( 1) ~ ~ ~)ог (А, Гз))ля=- 3 гы', Я) ' г, в н~зх ) гв (Л)) )))п)' (х — -а)' 1-(у — й)е(( 1 ).гв (а)'~в~, (13 34) тяог'ия оотгпщглв в селя )г я Й достиг. чьс1 малы, го рнсстов;ис' мс.к гу любом ынип~й (1(х, у) оГ~. дстгг 1' и любой ~очьгчй А (и, б) люсин тв будет мелвине 1, откупе 0 == ) х - - а ', *.=:= )У (х; — п)в -",- (у — — й)' < 1, н оценка (18,34) диев ~сида, есснг (~~ 1; , (Л г )) " А 1= = гь =.: гпдх )гв (А)1 ° гпах )' 1 -) (уы (а))х 1 ! 1п (х — и ',! уг -. г гх "д л -==. п1ах ) гл (Л) ) гннх )' 1 ~ )и'(а)1" ° 2 ( ) Рл а! аа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
