И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Пряная честь последнего ~ ерлнснсвнл, кек легко яндсын стремится к нулю ирп й — ° 0 рннномсрно от.юсптсльяо то ~кн г), меи5В01цейся В К Тсоремя 3 докзолил. 3 з и е ч а и и е. Сходямость нптсгрплн, стоногого и леной части (18,34) (нрн Ц ~ Уь), мы доки: ачя йдиоиремепио с оиспкой етого ия~сг1иьвл, гвк ьдк несобстнсвизй ннтв рнл осе~да сходятся, се а он сходя гся пбссююг~нь 'г)удем и дзльисйгпсм и.реп 0 обилен и ~ь (н лнсгь.
~лрнии1сииую оимкнутой кривой б с исирерьии о нр «.~гянд гсйси кзснтельиой, а ~ере гт' —- д пс прнилдлехсаигнх Сг+г'.. Т е о р е и з 4. Поигснциил г)пнг)нвео сдан на й с сиинииной ллогннасгиью (т. е. янте- и грел (13,34) ирп т(Л) —: 1) равен — Рп при б) ь= (ь схо- и донял и рнвсн -гг ирп ЦЕ=7., ривгн нулю при с) ~ гт'. Лсйс гпи тельно, и) сть ~ в..
1ь. янлястсн внутренней го испи с), а Л обходит Е и иолохи гсвг ноя инпранлспив (рис. 10). Обод~в гмг черед иол угол наклоня нскгорд (1Л к оси х. Тогдн, обохилгян черен х)В лектор, иол) чсппый пз сСЛ иопсрс гом ид-1 9~0', 19 гь 1 ы иы..-нн 2г)9 [гл, ш зллиптичсские углвнсния имеем: даол сов(ЯВ, тл) сов(С)А, пл) сге(Аб~, пл)е) д) г(А, (2) г(А, О) г(А, С)) Отсюда Я л д ол сох(АО, лл) г(А, Гд) и(О)=и(О)„если ЮЕО, и((;)) ==-.и(О), если О~ Н, и(О)+и(© и(О) =-- — —,, если ОЕс, и (О) — и (О) = 2пт Щ, если О Е Е. (19,34) Доказательство.
Возьмем любую точку Р~ й и рассмогрим наряду с потенциалом (13,34) другой потенциал :1 Это легко прове)пнь, если заменять лнффвренинааы ирнращслнхян, а лугу а) — ккатехьной к ней в точке А. Плу ппе О Е 1. и (,) Е Н рассматриваются аналогично. 1'сорсяа 4 доказана. Перейдем теперь к общему случаю. Пусть дополнительно дано, что Š— плоская замкнутая ливня с непрерывно вращающейся касательной, состоюдая из конечного числа выпуклых дуг и прямолинейных отрезков. Мы называем дугу выпуклой, если каждая прямая пересекает ее ве больше, чем в лвух точках.
Пусть () — обласпч ограни ~синая кривой /.. Выпуклость некоторых из дуг, составляющих й, может бып обращена к внутренности б, а некоторых — к внешности б. Теорема 5. Ингпеграл (13,34) сходится, когда О~У., если т(А) — нелрерьтная функция на й. 7'аким образо.и„потенциал двоаного слоя и(О) определен фор,нулей (1,3,34) всюду на плоскости. Р)ри етом он имеет на ь, вообгце говоря, раврмо лервасо рода.
Более точно, в О+Е имееогся непрерывная функция и((„)), в Н+с.— непрермвная функция и(О), причем 34) теоння потенциала ДВОЙНОГО слов — 2пт (Р), егая Г~~ Рч г(А, ~) и, Я)= — [ т(Р) ' — ' ла)-гц =- — пт(Р), если (зЕЕ, О, если с)ЕН. Составим разносгь и(О) — и, (('.)) =~[т(А) — т(Р)[ '"'„~(~~',"," г(у, (20,34) и докажем, что интеграл справа равномерно сходится в точке Я= Р. Отсгода, в силу ~еоремы 1, будет слеловагь, что а Я) при Я --= Р имеет разрыв зого 1хе вида, что и и,(()). Это означает, что и((„)) нмее- пределы прн по сг и прн ~~ — Р по Н; само зна ~ение и(Р) существует н равно среднему арифметическому этих предельных значений, а скачок функции и (Я) в Р при перехоле из 0 в Н равен 2нт(Р).
Функция и (ф, рассматриваемая при б)~ с) и продолженная на А своими предельнымн значениями, дает функцнго и(Я), непрерывнуго в 6+с; аналогично для ()~ Н. Это~о достато пю щы доказательства теоремь| 5. агля того чтобы убедиться в ращгомерной схо.гимости интеграла (20,34) в точке Р, возьмем лугу уа, как прп докач н тельстае теоремы 3, и оценим интеграл нида (20,34), взягыи по га.
Получим ~ [т (А) — т (Р)[ "' —" "4 Ж ! г(А, ~д~ л~ гь (гпах[.(А) — т(Р)[~~[ — .3~,уу. ( соа(А0,пл) г(А, ф Мы можем считать ДУГУ 1а настолько малой, что она составлена не более чем из двух выпуклых луг или прямолинейных отрезков. Легко видеть, что выражение [соа(АС)„м )[гЫ равно проекции элемента дуги сЧЛ на касательнуго в точке .4 к окружности радиуса г(А, 4~) с центром в точке Ц, а ! сов (АЦ, лл) ( — -' — [ Ш вЂ” углу, нод ьогорыа Вилен из гочки г(А,ф [ элеменг г// .
ггн )гл. и! Валю!тип!!скис увхвняння Очевидно, что лля юобой вьп!у!слой луги г, которую псяюгй луч, ю !хгляии!й из точки (й пересе!юс ! пе б! лсе !ем н од!юй то !кс. а гак ко лля любого г!рямолпнсйного отрезка справедливо неравенство ! ) !!а !Аб!) и тт ~ ') — ' '-' Н =::2т Всякук! вьп!уьп) ю лу! у ! ьюяо!о ратб ть на гне части — г*, н,', каждую из кото; ых всякий лу !, ныхолюипй нз то !хп !',т, будет пересекать нс более '!см в одной то !кс Тзк как луга г„состоит не более юн пз четырех луг (или отрезков), обладатопспх зтнм свойством, то ""!А!! пл Л Зп г тл,бз! и, слезкюзтельно, и! ах ! с (Л) — х (Р) ( ) ~) --.'- ! -З-- —: ь)я =-" птах ( т (А) — т (Р) ) Ятт. '") '(С пл! ) у ~ ) - ' ,л,-)',)) и г.сля )! стремится к нул!о, то, ввиду непрерывности ттЛ), выра,вени! птах ! с(А) -- т(Р)! Вт! стремится к нулю равно- ьюрпо лля всех с! Теорема 5 доят!зонт!.
расстк!грпи норм,тльпую про!!запалу!о о! потеню!алз просто о слоя. Пусть Р~Х и какая-теибуль фупкюы Р ((з) ю!релелена в нюапорой окрест!юстп Р. Тоглз мы обозна'пьл г!Р(Р!, Р(Р') -- Л(Р! П! !Р! Р(Р; — Р;Р") Здесь и- — !юрмаль к лююп ь, п(опаленная через точку Р; л' — сс пнсюю:я ысть !ю от кнпсглно ь (), л — - сс !гяутрспню! часть. Полож!юспьпым награвле!гнем нормюю мы будем с и!гать ее на!пювление и на инеи!юою часть плоскости по о!!ююснию к (л Точи!! Р ~ г!', точка Р'с сг. И!,! будем пре.знолзга!ь, ч!о Т удовлетворяет всем тем условиях!, которые нчлп сформую.рованы гы с!р. 2с)0, н, крои!. !о!и, инес! о!р.,нпченную крпвпю!у. !огют справедлива следу!оголя талыш потгипнллл !'еореиа 6.
77отгндилл л),лстогл слоя п(фй глг7 иглгнюхл) фп)ькуяогс (12,34), а.иггт и люлли толке РЕ 7. г~)ллл Р) дл (Р> извините --- -'- и †. 77Ри тллт Лл ' дл дл ГР) Г спх р47', лгп — =.— — ) ы (Л) — '' --'--'-- - г77 — тпо (Р), (21,34) Ол+ г1А''Р, А дл: 74 Г спт1АР, лл1 — ':=---= — ~ ы(Л) — ' — — ' — Ж +тпо(Р). (22,34) в- 3 г1А, Р1 с Интегралы, стоящие л лрллых частях (21,34) и (22,34)„ сходится. 77)~гднолсгагтслгся, нлгл го (Л) — нглгл 7.ылнпл ()йуннйия на 7.. доказательство.
Кслв (3 ловит па пл, понг лежпг иа 7., 1о произво:шап от и(г)) гю паправлеюпо нл супюс~к)ст и опркпслпетсп нрн поиопш днфферсниированпв пиглрала (12,34) по параметру: дл ~Д1 (' л 1п г(А, 77) ы (Л) — — —. -'— с(7 =-— сса (А(,>, лл~ — ~ ы (А) -- — '-'-', ' г77 . г(А, б) Рассмотрим потенциал лвойного слоя и,((,)), полученный от распрепелеппи лпполи по 7.
с плотносю ю го(Л). 1'огла, если С7 не лелпт на 7., го ол р21 сот (АЦ, лл) — соа (АЦ, лгл — + и (б7) == ) ы(А) -'-' — — — ' — '- — — ' — '"- — ' — ' Ш . (24,34) ллл ',, г(А, С7) л' Докюкеы, что иолу ~спиый интеграл равномерно скопи~си в го ~ке Р, если (7 иахолитск на и . Косенко, «ри этом опрслелспие равномерной схсноиюсти в то ~ке Р (см и. 3) пало несколько изменить, а именно требовать, чтобы точка Я лс.кала пе глс угоюю в (г, а на пересе ~сини л„ с шсресгносгшо )г точки Р.
Олнако теорема 1 ирп этом сохрагпысв, ес:и и ее формулировке всюлу требовать, чтобы тстка Я пахохнлась па лл. [гл. ш ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРЯЕПЕНИЯ Пусть У в малый кусок с. около точки Р. Тогда, если п1 зх , 'м (А) ) = С, то соз (АК пл) — соя (АЦ, пр1 (А)- — --- -' с! (=- г (А, (,с] с спз (А(), пл) — спз (А 17, пр) 1 (АЦ, пр) — (А('), пл(1 ~2С (- — — — —— 81П г (А, (,с) с(с' я =- р~ "' - г (псь пр) ( .
( - 1 ( ((пл пР)( ц =2С ) с(А — ()- — с(сл (С) г(А (с) л ) (25,34) сбы предполагаем, что линия !. имеет ограни 1еннуго кривизну т(А). Г!оэтоыу ) (и сп и р) ) .=- ~ ~ ! ( А) сУ(л / ( С', ~ АР', и леязя часть (25,34) будет не больше (26,34) с Если дуга ! достаточно мала, то при А -йР ( < ( з1л (АР, пр) ~ ° ' ! и 1 г(А, Р) р —,, ~ АР) Тогда, если обозначить через А' проекпшо точки А па пр "1 Здесь мы зоспользоязлясь тем, что зля льзбых а н г соза— - соз В =-а 2 мп — —,— $1п — - — и 1 з1 и а (: (а ( . й 34) теОРия гюткнггиала (рис. 17), то 1 «(Л, Я) р а г (Л, А') ь — «(А, Р) ) — — ', АР) у'7 ' ~1/~ ' и оценка (26,34) показывает, что левая часть (25,34) бгдст меньше СС, 2 1'2 ~ ~6=2 )««2СС,)7).
Отсюда видно, чго левая часть (25,34) стремится к нулю при ' -- О равномерно для всех Я, лежащих на л . Таким образом, равномерная схолимость интеграла (24,34) дока- 7 зава. Из равномерной сходнмости интеграла (24,34) в точке Р следуег и силу теоремы 1 (соответственно измененной, так как (,г лежит в нересеченни 1« с лр), чго интеграл имеет смысл (сходится), ссли ргк. 1 . =-Р, и имеет предел, когда (,à — Р ло прямой пр. Этот предел равен значениго интеграла (24,34) при Я= Р.
Иначе говоря, )пп ~ — (-и,(Р')~ = )лп ~- — +и,(Р")~ == гда (Р'), 1 1дгс(Р") сов(АР, ал) -. сов(АР, пр, «(А, Р1 — (Л) ' —, — — — д) Олнако в левой части (24,34) характер разрыва второго слагаемого онрелеляется теоремой б: д ) ( ) 'А+ пм (Р)~ «ГА, Р) гя 1)гя и,(Р') =-и, (Р) =-- ~ы (А) — — ' л гу„— я ~Р) «ГА, Р1 А ! Отсюда и из (27,34) слелует, что пре гелы и инге: рал да (Р5 11гп да (Рб г ссь (АР, ар дар р«г«' Йгр ' ) «(А,Р> (гл. и Вллчйтичрские урлВ1игнйя существу!от, ирнчсм р 222!и, 2 2А Р! (28,34) Ри ГР") Р, г !в!АР, йр1 А+™( )' ! и' Прн помо цн теоремы о конечиык прирзщещ1як нетрудно уосцит! СГ! в гои, ч Го сели !1з кзкой-ннб) ль отрезке га, «2) (а <- ь) 1!в!а иа1рерывизя ф1ункцйя»р(х), причем» (х) сущей) С1 ири "' С <«2 " 11!И," (х) (21),34) г «) сеигссгв) сг, то 11рщ1зйсскзя «(и) с) итсствус1 й о!йнз (29,3 1); к ии юо иог! «!и) и;щ1 воин!ыть йрзную йронзво»и!ую ог «(х), !.
с. «(и -! Вх) — «гй) 11а Вх Гьм' ! дл ГР) сук (Р) П 2ч12;! у из ирсцылуиюго выг12кзет, что --,— ' и — — ' - сущес!л сгл С1вук1! . щгкщем дл 1Р) . ВИ !Р') ГГа,гР1, дл (Р"') д»2+ р * и1р ил р, д22р Отсю»122 и из (23,34) слсцук2т формулы (21,34) й (22,34). ТС22р ча б локзззнз. 3 з д з 1З 1. «11 кз!китс теоремы, лии.ю! н юьк тги!рс1ым 5 и (', гля сл) 1зя, коюю «.
— — Исззмю утзя гии ИА с исирсргигию Врзигзю!цсрси !и1С22тсл1»и»р2, составлению и. коиечиого чнслз щп1уклык лу1, пие1о2ц1ы о! рзщгзсю1ую крнвизну .'~ ил з ч з 2. 1(ерщ1есйге теоремы 3, 4, 5 ьа тот случай, когл,! Сг есть мпо оуг2222ь21йк. 3 3 и 1' '1 3 и п и. 1. !!сс локзззинь!с В взстОВ!цеы пз!»ЗГрзфе теоремы о 1юте икс1лзк просто!ъ и знойного слоя остзюгся с22р22зсл1ив!»ыи, ссли !')Всзисс1лГЗТ1 Го.1ько, 1то лйющ «.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
