И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 47
Текст из файла (страница 47)
1»с!оду имеет о! рзи!Исщ!) ю 1,рквйз21у. 5 35) ггзпгипе: келепых злчлч 297 2. Все щжазаню,ие и настояееее ье параграфе теоремы сстссгис|еио еес(лее осяее я ееа ееогсееииалы простогее н деюйеюго ежш и ерелмерноч просграеютич е«ли прсдиолокиеь, чео понсрхиость 5, ею еиетеерегй 6ерутсее иеетее разы, сооиьетсегпуюее«из (4,64) (ее«егеееиеееее просе по слоя) и е4,34 и) (потснииал джеииогее слоя), ич ст всюду ш раинчсьную крюеи шу, При ее ею оехззыеиасгсее, еео потеиипзл пр есгого слше и«юлу непрерывен, а погсеиеи;е е д еойе ого слоя и иорчалыгыс еереееезноеее ыс щиеюшеала прис еее~ о слоя око.ео точеш Я заряженюнг пояерхеикги и«еаот скачю. 4пх(бе), соотистстасиио 4;гш((е), ииссто 2 е-,:('ей соотеетстие юо 2иее(е"е), я случае п юсьости.
Здесь ш((хе), соогиегстясшю т(Се), «езееачаееет ее.ютносгь рзспрсделшяя зарядов, соотпстсгаенно ееееееее.еей, иа иоиерхюю;н 5. Прсдгюлагастся, его зги плотности иеир«рынны. Соиершсино так ке переносятгя на гоехзь:рюю орос е рае,«тао:есс рассуждсюея сл«дующего еюрю рифа. 7(оегаееатсееьсеею зеих уе еерждс~ юе можно ееайтее, изирюеер, а книге С. гй Со«е«еаее,еее ееураеееесеееа,е магемати есской физиюы, Госг«хеееаезг, 1654, стр.
266- — 226. ф 35, Решение краевых задач с помощью потенциалов 1. Сееедсеееее краеяых задач для гармонических функдий к интегральным уране~сиянье. Пусть 7. — плоская замкнутая лпюш с ишерсры ю; зращ,ееощейся ка«агсльной и ьееееесре:еееееоей кривизной, сосгеющая из коле шого числа гыпук.еых дуг ее ее«ееееееегееее~сейееьех отрезков ь) Пусеь н.е 7 з едюеа еесирсрысизя фуеекшш .е'(7а). Сеулеее решить вну ерееююео задачу Леереехеес, сосеоюцуео, как было указано и «) 27, я реазьесеоенееее фупииии и (О), исирерыюеой е 6-ет-7.
и гармонической я 67„ехреечезе ееа Е должно 6еать 11,33) ') Кряяниеу у(А) ь точке А крееееосе 6 мы будем р1«сее,ееряьать солихом,,еирсдезяемым положительным еыираалеипем яблоне Г., т, е, гае а — угол, о« ра еозаииый ислохюгс;ыеым наирагелсяиеи кас етееьиой и осью 6ех. Ьй ярюлешее обо. ы 6 ееея 6'тси е штате ююожитс,еюеым, сс:ю ири огехоее«е Е и агом ееее~е1еаьлеееев оо,ы«и 6 ш еаееся слева. эллиптнчгскиг угазнания [гл пс Иы будем искать зту гармоническую функцию в виде потенциала лгсойно~о слоя (13,34) с неизвестной непрерывной плотностью с(А) распределены диполя на 7. В силу теорем 2 и 5 сс 34 атому рзспрслеленпю соответстауег функция и(О), непрерывная в О+ 7.
и гармоническая прн (;) Е О. Согласно (1(),34) при Ре 7. будет и (Р) == ~ т (А) —" — - -'-,— — осу — пс (Р). со51АР, лл) Поэтому для выполнения краевого условие (1,35) необходимо и досгато нсо, чсобы функции т(А) уловлстворяла интегральному уравнснво Фрслгольма второго родя т(Р) = -- ~ 'с(А) — '' — — 'л ас7 — --У [Р). (2,35) 1 Г со51АР, лл) — 1с г(А, Р) Аналогично исследуется вншпняя задача йирихле см.
(ч32). Гс.ш искать решение в вале потенциала двойного слоя с нснзвсспюй непрерывной плотностью т(А) распределения днполя на Е, то аналосично (2,35) мь1 получим для с(А) уравнение с (Р) = — — — ~ с (А) — -'- — су( + — у (Р), (3,35) 1 1 505 (АР, лз1 г(А,Р) Л г. где У(Р)- — заданная на 7. непрерывная функция. Внусреншш яторан крзсвзя залача, как было указано в 2 27, состоит в том, мобы найти функцию и((;1), нспрерывную в О+ Е и гармоническую в О, обладающую в каждой гочке 7. проссзводной по нзнравленшо внешней нормали, равной заранее задшшой непрерывной функции у (Р). да Тасс кшс через .
—. мы ссбознзчили в 2 34 производную дл по направлсшпо внешней нормали, то для решения и (Р) вчорой краевой зада ш -'-,— -' = — У (Р) (Рб 7.). (4,35) Мы булем искать решение в виде потенциала простого слоя (12,34) с иенззссююй функцией м(Л), когорусо б)дем счисать ненрсрьшной. В силу теоремы 6 В 34 для пло, чсобы 2 351 гашение ивлевых задач удовлетворить краевому условию (4,35), необходтшо и доста- точно, чтобы выполнялось соотногпение Аналогично ставится внешняя вторая краевая зада .а. Она приводится к интсгралыюму уравнению гв (Р) = — — ~ ы(Л) — — ' — — гУ + — у(Р).
(6,35) 1 Г сов(АР, ггл) 1 х г(А Р) л 3 а м е ч а и и с. Гели бы мы пытались решить внутрешпою задачу Дирнхле прн помощи потенциала простого слоя с неизвестной непрерывной плотностью м(Л) распределения заряда, то пришли бы к уравнению сов (АРз пд) г (А„Р) К (р 1 сов(А)', нр) г(А, Р) ( 4 Е У-, Р Е 1., Л Ф Р). К,(Л, Р)=К,(Р, Л).
Тогда Понтону ядра уравнс~шй (2,35) и (6,35), а также (3,35) н (5,35) оказывзкз си гр ~иаюппрованными. Это — интегральное уравнение Фредгольма первого рода. Теория таких уравнений значительно слохгней, чем теория уравнений вгорого роли. уравнение (а), как можно показать, имеет решение не при всех непрерывных У(Р). Если, например, 0 есть круг радиуса 1, то при ((Р) ) 0 не сунгсствует решения уравнения ("), так как леьчш часть (12,34) обращается в нуль в ион ~рс в гого круга врн любой фуаагии га (Л); при Г(Р) ~ О зто нсвозмож~ю вследствие теоремы о максимуме и минимуме. 2. Исследование полученных ни тегр альных уравнений. Обозначим [гл ~гг вллиптическнг кгавнгння Ядро к,(Р, А) определено и пепрерыв,ю, когла л л 5, Рс- 1., Л~~Р.
Однако длп любой точки Р, ~ 7 ядро К, (Р„:1) имеет определенный прслсл, ко. та 4 — 7-'„, Р --Т„(Л„Ь Р). Пусть Тд — касательная в точке Л к кривой У., Р, — проекция то ~ки Р на Тж Тогда, сели к1мгвизпа у(Р„) ~голожитсльпа, то в достаточпо малой окрестности Р„соч (АР, лд)=. =-- — (жл(ЛР, Т )1. Учнгывагг аьвгпгаченгность ! гпв ЛР, Тл) ', и а(ЛР, Т 1(, .(Л,Р) (Л,Р ', .1 !1гл — * .=- — 1ии — — — '-,-' — '.
05(АУ-',ггл) (1о(ЛР, 7ч)! (7.35) г(Л, Р1 г(А, ~'~) Выберем Тл за ось х, начало координат поместим в точку Л, в ось у направим внутрь (л Тогда уравнение части Е вблизи А запишется в виде у==-м(х). Обозначим «срез х абсппгсу тп пги Р в построенной системе ьоо; гмина г. 1'гида, применяя формулу Тейлора, получим 11р(Луг((л) г(Л, Р,) х-' — 2 =- —,, у(М)(1+ Ь' (ИМг)7, (5,35) 1 тле точка М (с абсииссой 11х) лежит на 7. между Л и Р, у(111 — кривизна в точке М. )Лз (7,351 и (о,Зз) следует, что при Л вЂ” Р„Р- Р, (ЛФР) спа (ЛР, лл) 1 !1~и — '- — -' — = — —,- у (Р ).
г(Л,Р з Таким же образом можно показаггь что последнее опвепство справедливо и в гом случае, когда у(1-'„1 .-с о Если доопределить функплю 7, (Р, Л) щы Р:= Л, по;годви то полученная функпия, которую мы буасч обозначагь также уг, (Р„А), будет непрерывной и, соч и;упн стн псосмсннык: оя п1югьпочьиык л Е б г 61. а л «,му равномерно пелрсрь ~ и. Это жс огносчысв и к ут,(Р, Л). 5 Зб) гхи!книг кгхняых зздхч 5(ы будем поньзонз ~ ьсн;горне(1 нгысгрзаьных урагнюя;и с непрерывным каром нада У(Р) = =). 11 Ь'(Р, А)У(А) д(е+ У(Р) изяо>хенной, нан(анзор,; моем курсе иньегральпых )райнсниа ) Лск; ткем сначала слсдукнпсе и(есина кепке, необходимое нзн в а,мтьнсйтем.
Лемма 1. УУотенаиа.е прогааго слои стре.аиглгн н нулго при удалении вожи 5) з огггеаненнагтз тазг)а и тонька тогда, ~ели ((1,55) 1 в(А) ау,== — О е'.ели услазие (!1,35) н. аыаолн~ на, то фуннггия и Щ при удалении С) и бе ах оне анотаь аа иоду та неогранииенно я)ага" ет Лака з з те л ь с т но. Возьмем з плоское~и л~обую точку О.
Тгх.аз в (А) 1п .—.;.—:- д(, = =') ьз(А) !п — - -,-; Л вЂ” ) в(1)(п --' —.гЦ,= (, ) ' ~нар)( .=-.!и --,. ) в~, 1)д(а-~! ) в1А; (п — .' ", гуу . ,.(Г),ач)), ' ',, '' ' г л ан В получеяюй с,мме нпн уьзлтяи то1кн Г) в бссконсанг сть к~орос слзгзехнн' стрсмптсз к 1у:но, з н Рное слагаемое не огрттчснно рзсгст но модулю пн,гз и только то~да, если в(4) д(, аь О. От~ юзз следует утеер;катте леммы, 1 1!.
! . 11 ее росс| н н, 11скн ~н но тсорнн нн.емрзльнмх хрзк. нв.нй, Госзехк1дзт, !И51, стр. 50- 54. 302 (гл. и элл!ИГ!'и'!ескпг углзпгл!ия Теорем а 1. Уравнение (2,35) внулгртнег! задави кирилле и уравнение (6,35) внешнеи вгнороа краевой вадики илгеюш одно и глольно одно решение ари любоа непрерывной фунниии ~(Р). Д о к з з а т е л ь с т з о. Соглас!ю первой теореме Фредгольмз мы дока!кем, что уразнешш (2,35) и (6,35) имеют единстзен~ое решение при любой непрерывной функции „~(Р), если покагкем, чзо соотзетстеу!ощие им однородные уразнепия имеют только трияизльные, т. е. разные тогкдестзснно нулю реп!е;шя. Так как ураяненне (2,35) транспонирозано к уравнению (6,35), то согласно второй теореме Фредгольма для доказательства теоремы 1 достаточ!ю показать, что однородное уразне!и!е имеет только трязпзльпое решение.
Пусть е!(Р) — рсшсннс уразиения (!0,35). Пока!кем, что е!(А) Лл — — О. И! тсгрируя празую и лезую части уразнел пия (10,35) по контуру Е, имеем о)(Р)ау =- — — ) ) ) ы(А) — '- ' — гг!' ~ д(, 1 Р ) Г соз(АР ггр! :))) г!А Р) -" л' Измеюш порядок интегрироззния я правой части этого разенстза и используя теорему 4 из ч) 34, получим (Р)Лр + !) ге(А) )! !) " ~ Лр ~ Лл г Е Е (А) йгл, т. е ') о!(Р) д!' —.О. 1'зссмотрнм функцио иМ) == ~ (А)1; — «гл 5 35) его|ение сссагвых задач 303 ! Г соа (АР, ил! ы(Р)= — ~ ы(А) — --- — '-- — с)с', 1с ) г(А,Р) (11 35) соотвстствусоик и уравнгнто (5,35), илаеет толысо ооно линейно незавиеисяое решение о~(Р), и ) ы (А) с(са ~0.
Л о к а з а тел ь с т во. Покажем сначала, что если рснссние в(Р) уравнен~си (11,35) не равно тождествсссно нулю, го (А) Лл. О. Рассмотрим функцию ((~) =- ~ са (А) 1 с!У„. г. Фуисция и (с,)) является гармонической вне Т.. Так как са удовлетворяет уравнению (11,35), то согласно теореме 6 2 34, — = — О на Т.. По геореме 2 п. 3 2 28 и —.—..сопя! а П .'-~. ди дл Если ) ыШр — — О, то по лемме 1 ч 35 и(Ц) '0 прн уда- ленив 4~ в бесконечность, т.
е. и((;1) являе~ся ограниченным 1!з леммы 1 ~ 35 слслует, что и(сс) стремится к луп|о нри удалении О в бесконечность. Функция и с(~) яглястся гармонической вне Е, и сак как <а(Р) удовлетворяет уравди ненисо (10,35), то — = О. Но в 2 33 мы пок,.а,.ли что до с региеиия одной и той же внспсней второй краепой и;лечи отличаются постоянным слю аемым. Пледовательно, а ()) - —.
=сопя! в Н. Так как сс(б)) 0 при с) -- сю, го иЯ) -=О в Н. 'и!з непрерывности потенциала просто~о слоя следует, что и=О на С. По теореме о мтссимуме и мюнмуме и —:.0 дсе в 0 н слеловательно, — = О. Вычытая равенство (21,34) э дл си из (22,34), получим, что ы(Р):.= О, так как '- =. 0 и ди — — =.— О. дл+ Т е о р е м а 2. Однородное уравнение [гл. ги зллггптичесгггге твавпвния рсгпеггием висгиней зялачя Дпрвхле, радггым ггостоянгкл! О на 1,. В я 32 юг доказали слвнственкость такого регисггггя, н позтому и(ь))= — (, в П. Гак как и(о) О при Я вЂ” оо, то С=О, з. с.
и - О ка всей плоскосгк. Из теоремы 6 ф Зг( получаем, что га(гг) ты О гггг Х.. Супгестгговггнгге хотя (ггя слггггго ггстрггггггальното рсгггспггя ы у ) равнения (11,35) слелует гы тгл о, *гто трансповврованное к кому уравнсгглс г (А,рг кдк легко проверить, имеет реглснне т(Р):.=-сопя( Покажем, что уравиегглс (11,35) ке кгзжет иметь лкух ггггкейко нсзависнглях регггсггггй.
1!усть ы —. кагггзс-либо регнсняе (11,35), отлв гное от го. г!ггсгоггггггуггг а гггнгсгго вссгва выйрать тагсвгг обрдммг, мойы ) (им+ ы) сгг'„= — О, гак как ( ы(А) Ж, =,'- О. Но мы показали вгяпгс, что лля рсггггеггггя .г урдьнегпы (11,35) из равенства 5 (яго -! — ы) Пя - —— О слслусг, ! что '),"(А) ы(Л) Л =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
