И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Точ~о ~зк жс ~ о ~у пиж что лолжеи быль равен нулино нн1еди ~ раз ло грз; лпс 0 з~ ззлзнных ии з ой грзинпс значений 2. Лля ли)мерной олносвязпой областя 0 в ~утренняя вторая красная залзчз легко свози гся к еяутрснией заза|с Дзнрпхзс слслуклним образок. з)опустим, ~то сулгестау *г рсяе, лс и внутренней з1орой краской ззлачй, кмеголгсе змес1с со сзоимя первыми 1р»гкззол изми непрерызиое нрз- дозза ние на 0. ))остриям тпглз и 0 фу кппю ь ~зк, чгобы аи; ~ри 0 улозлсгьорязись урззнения )бз|ли-Римана .:;г'Л 5Л вл55илтггчвсвсив вжлгювиия то 5кс Л 55бл55ст55, мы нзйлсм, что зо всю ой 5оч: » гв и рз. лиц» 0 в (3,33) тле ав оз55З гзст влсмс5гт лгюны Грзнлцы О, 7З55 кзк г рзл От,с (5) но всей границе С р,ю»5, нулю, 5О рзвс55- с5со (О„ЗЗ) о555 слсляст о нз грзяигс сг каь вс5оду нелреры55- яую и ол55оз55з ~55)5о функюгю.
ЛС5'5555 вялегь, что если и гар»иювчлз, то о, 5555реггсленкзя урзв55с5пюмв5 (2,33), гзкжс 555рмгя555ч5~З Повгов5у, вяля зпзчсюю о нз грсюнцо б), 55ы 55ожсм е555555С5вс555~ь555 обрззом олрслелить о внутри 6, ТЗ555555 оорззом„преъ5олзгзи, 5то для дан5юй функции г (в) с)55гсствуст в области сг рсшс:иге и(х, у) 55нутре555~св второй крзевой ззлв 5л, нмею5цсс вмсс5е со свг5555555 Гю(гвыыи лйоизвол55ыми нл!55сРывное 5555035З55игенг5е нз 6+ Г, мы можем опрслсллгь и(х, у) с то 5яосы 5о до лостог!ИИОГО слЯГзсмоГО из Уги55555с!!5555 (2, 53), 5юс! РонВ соответствую5цее реюею;с ззлзчн Л5555ихг5е о(х, у). Б случзс трех»5ср55555)»5б55зс555 знзлгл5ю55ые построении НЕВОЗМО;КНЬ5. 3.
Б55с5555555я Вторзя к;5зевзя ззлзчя со»тОит в слслу5огц»55. Пусть овна нснотсрал огронаевннаа одно- связная обласгль сг с глаогсои грггниггг 55 Г. Оггсгггь то»аси, не аринабленсагиие О+ Г, обратук5ог область УУ с гронилей Г. г р5 буетсл нолти гаригогги и Сггую гиунгеииго в гУ, нтгрерывную в П+ Г, у коогорои ггроизводнал ао направлению в55етней г ио оглношениго и Ну нор.5гали в втювхгог) тонне гранили Н у овна зла геяаю в»влои точке задапнои сеун5сггигг у'.
Пргг этоъ5 мы булсч гребоязть с1цс, *555555ь5 реюелле и (Р) вяешнеи второй кр,5сзой ззлз г55 было огра:ючслю,о5 в слу 5зс двух ясззвисямь5х г срсмс5юых и свис»:л.я сь к 5~ул5о ирл стрсмлююн точки Р к бесколс юости в слу юе т рсх и боль- ЦЮ5О Чггсвв 5.'СЗЗВНСЛЯЬ5Х 5;»'„5СМС Н5Ь Х. 55 случзс двух нсж5югснмых Гсргкенль5х ююю5юя вторзя краевая зздзгз свалится к впутре5юей второй крзсвол ззлгче нреобрззовзллем обрзтныял рздиусзин-вскторзми. При ятом очень сугцес'гнсгюо тс5, что в силу конформности лрсобрззовзню5 С5брзт5~5яв5н рзги5усзми.в»кгорзмя у5лы сохрзняюггя.
ПОЗТС5З5у нормзль к грз55ю:,е прежней облзсти 55ерехолит втогля кглевая злл .,а в линию, нормальную к границе ~п ой обтлсгп. Граня шая функция д 1в возникзюнГей такам обр;юоя вну1рсзнсй второй краевой задачи нов)чается в случае двумерной обтзсл и следующим образом. Сохрзпги те обозначения, когорынн чы гюльзовалвсь при рассмотрении внешней ззда ш Лирнхле, будем иметь и'(Р') =и(Р). ОР О;" —.-= Р', Здесь через з и в» обознзчеш~ соогвстстгуюнгпг точки границ премией и новой (бластсй, через а н п' — нормали дп к их границам, — —.— коэффициент рзстяхгсння в т;шке лл' гранины но нзправленшо нормали. Тзк как прн кгшформьоя преобразовании коэффнписнт растягкення в гз;.юй точке лл не аависит ог нанравлсшпй то длн вы пшлеюш —,— „моя,по ,ч" предноло кнтгч что направления п я лв и н~а дяг через центр 0 преооразовзния.
Тогда дл ИОР) гз2 ГфР:.'=" Д~рг ~ ' Чтобы рассматрнвземзя внешняя вторая крз вая задача имела решение, необходимо н хоста~очно, чтобы со, ~встсгвующая сй внутренняя вторая кр ~свая задача имела решение. А для етого, ктк будсг показано ь 5 35, необходнж: и достаточно, ~тобы О=- ~ У (за) па- = — ) У (з) —,—; "-- да = (г У(з) сЬ. (4 33) Здесь через Ев мы обошшчили лвншо, в которую переходи ~ б после преобразоваши обратныяи радиусами-векторами. К силу конформности в1ого преобразования па гц" агР аа Таким образом, сводя внешнюю вторую краевую задачу к внутренней и пользуясь теоремой ~б >странчной особенно ти, волу нты, что в Случае дьух нсззанситгых переменных (гл.
и эллпптичГс«па углспания рсюспня одной и тт й жс впсиюей второй крас«ой ззлзчи могут отлнчз1ь:я между собой только пос1овюыми сла~асмьвпп и условие (1,33) квлястся необходимым и достаточным услонпсм сущсстаозаюе решююя внспюсй второй краевой задачи. В случзс трех псзаяпсимых псремеипых с помощюо црсобразовзн,ю обрзтпымн радиусами-зекторзмп нельзя свести ансшнюю агору~о красную задачу к внутрсю1ей, так кзк в этом дл" ди слу юс -" из грзюгцс выражается нс точько чсрез —, дл" дл' но н шрсз ъвчспня самой псизнестной функции а иа Г.
(ч случае трах п сбольюсго числа неззвпювгых псрсмспных лстко дг кззю ь елпнстаснность рсшенгю внешней второй краевой задачи а классе функций, стрсмацихся к нулю при стремлююи точки Р к бсскоиечпосги (прн этом стрсмленнс к пулю понимается в том смысло, что (и(Р)( ( а для любого а > О, если расстояние точки Р от начала коордппзт достато пю ьслнко). Будам претгполагатгч что грзницз Г области Н такона, что каждой точки грамоти!ы ыокгчо коснуться пюром, прпнздлсжьююм области Н. Пусть и(Р)--гармони ~ескзя функция, нспрерывнзя в ди Н+Г, - -==О гю Г и и(Р) — ~0 прн Р- со, Покш«ем, дл ч то и =-.
—. О. Рзссмотрпы область, ограпнчеппучо Г н сфсрой столь большого радиуса, что на этой сфере , 'и(Р)1< а. Так как ди дл = 0 на гранина Г, то из теоремы 1 2 28 и теоремы о максимума и швгшуме гзрмонн шскнх функций слсдусг, что функция и(Р) пр|юнмзет наибольп1се и наимепьюсе значспия на позсрхностн сферы, т. с, во всей рзссматрнпзсмой облзсти ,'и(Р)( 'з.
Так кзк а .ь О можно брзгь проппа~лько малым, го и(Р) = — 0 а каждой точке Р области Н, что и трсоояалось доказать. ч 34. Теория потенциала 1. Б блгжайшкх двух пзрзгрзфах мы полу ~им рсюеппе ог.юаиых краевых задач для урзнпенпя Лзпла а, а таьжс л ю урза»синя Пуассюю (см. 2 1), метолом интегральных ; равнений. Этот могол основан па прел '~зв спин ргшев;й в вшс интегралов, часто астро ~аюпгт1х,я в механикс н фн- геоюы;ютг!щихлх вике и ззиь!Сгв !Вази!Вх оттуда ч: тюиюе югеиюылов. -!:и иогсяиизчы с!(!!яг,я с пгвюигью спецяазьиых !астиых р"ю'- яяй, и!юю;!Оы л псремж!иой !очке особы!Вость опре.гсг!Счяо! о тюгз, 11)сть з ж! готорой точке 0 пр ст;,ги тва (л, у, г) ПОИЕгиси ХОЧЕ ЮЫй ВЛЕКтРП !ССКПй ЗВР,Ы Ггч ТОТ !а, !и Иапсстному закову физпьп, этог зараз создает В!пск!рос!зтп и скос иоле, иаир!оков!юс ! ь которого Е в л: !бой то !ке (г, о !г!Вчгя й г!т точки О, раю!з иля, в проекюп!х, х и .
я — В,. з — с ~х ГГ*! Г ~х — "'! х " У "',: (1 '1!) Здесь а, й!, с — коордииать! точки 0; х, у, г — кгюрдюыты (!, к = ОЯ, г=- Осг, а ковффгпюеи г иро юрюгоиальги!с!и 'г зависит !л ВыО1эапяой системы еди!Вп!. Г(гкигые чзс гя (1,34) раппы с про гивююлогкж !и згюком ЧЗСТИЫМ !ГРОИЗВОДИЫЯ ОТ фУПКЦИП (2,й!4) соотястсгпеяяо !ю х. у я с. Згз фупкюы иззг!взег я ггохвгяггпгт,ггь!г дг!Впогс! !!екгростз!я юсьо!о иц!и. С!гбг! Ои! Врп!иго с и!тать произ гол,пую !ю "юяяяую, стоя;цу!о В правой части (2 й1), рзвпой ! улю, чтобы я(ГГ) — й ири удзле юя Г! В пескова'и!Ос'гь. (трг!!!г! !ого В и'!'!'и'и'>сскпх (гзботах привито для иросзоть !и !Вгзть 1==1. Так!О! Оорчзгпй ч!я будем считать, !го гочс:!Вый заряд ее.
ч гию! гу со~.'юет !ютеицпз,ч В и и ((!) — — -' — —.. —. — — —.—. —.— —.--- — —...— ., (3,')й) 1' !х -- а!'+ (у — 1)! -1-(з — с!' Так как пря пали!ив исскозюгпт то !е ю!!х а;!рядов потеицяаль!, Создаваемые ими, с!гзггдивзются, го потеицпзль!, создаваемые Вепрерьюио рзслределеяюлгп зггряллии, изхояят я в виде прелеза суымьг, т. е. в гь!Хс *,!!тсср!пи!. 13 !Вс!э>с!и, е лп за1н!,! рзс!!реле!!Ви по !юя.рхпо ги 5 с поисрхиг!сзч!гя1 (гл. п~ вллиптическив хглвиеиия плотностью га(Л) (где А С 5), то ю;ынцнзл„создаваемый эзнн зарядом, равен (4,34) Здесь г(Л, ()) сеть расстоя~юе ог Л до с), А — переменнаи точка интгнрироиюю, -ыо под гвркиягегсв индексом у д~г,'е фсренциала.
с'.сли заряд распределен по ооьсму Р с обьемнон плотностью р (Л) (Л ~ 1 ), то ног его!пал, создаваемый этим зарядом, равен пд)=-..~~~ .и "~ 1)саная часть (4,34) назывзстся потенциалом простого слоя, а правая час гь (5,34) — объеьаым потенциалом. 1(еобходимые предполоапипю, обесце иы вакнцие сугцсствование этих ннЗю ра ~ои будят указапы В /гал~ !1оеастаиим теперь себе, что два заряда д и — г/, нахозлсь иа ося / (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
