И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 39
Текст из файла (страница 39)
ржаная фуюкция. 7(ля етого построим последовательное~и лзажды непрерывно лнфференцируемых функций / (з), равномерно сходя,цуюся к заданной на окру кностя р = 1 ненрерынной функции /(к). Пусть и„, — репленне задачи кирилле, соотвстстеуюнхее функции /„(г). По лемме 2 9 2о гюслелонатсльпость и равномерно е круге р ~ 1 сходится к нецрерыгпюй функции и (х, у). Очеендно, нрп р = 1 и (х, у) соападаст с/(г ь Покажем, что при р ~ 1 функция и(х, у) прелстззлястся рядом (4,29) с козффвгнентами (7,29).
По доказанному, э~от "1 Ь зчом слУчзе, как нзаесгпо, а„= ' ! --,у! н Л„=-С! ( — „). (гл, гя влляптвчкскив уяхвььеььяя рял схогл1тся прь р ' 1 ч является ьармонп'ьсской функцией, 11усгь аьмь. (ь"м — ьоэффппяенты Фурье фугяьцня у Пря лостаточяо больцгом гп лльь всех и вмссч глс . — проязвсьльяое положительное число. Отсьола со" пу — 1- о„в!н пм) — и Таким об)ьазом, фуякьяья и (х, у) прслставляятся рялом (4,2!!) п ьвлясься реьнсяньем алла нь Йирихлс, соотвстствукьньим гранвчноР.
функция у(5). 2. Преобразуем рял (4,29). Яолстжсяв вместо коэффицнсььов а„и (ь„ях выражения цо формулам (7,29). Мы по. лучин прв ре" 1 ьь) + ~ р (и ссж пьр + 11 сцо ыьр) м ь. =2„(У(ф)с(ф + ~~ р"') ~урь,) соя пфл'ф соя пьр+ Я вЂ” 1 + ~ / (ф) выл ггф ь(ф гяо пр ~ = ) / (ф)льф+ — 2 ~1у(ф) р" . п(ьа — в)ьуфЬ = =; — ~ /(ф) ~1+ 2 ~~ а" соя п(ф — ьр)) сьф.
~ "= 1 . =- 1 — у — +~„р' ((о„ и=ь — а"'1) сояпьр+ (11„— 1)ьм) агн па 11 ~ с м р"=-2с — — . 29! гсгзьние злзл ~н лниихли лля кгю.л 249 Положив ~Р— ф= — кч преобразуем выраженно в скобках. По- лучим ю 1-' — 2 х з" сгжгпв= — -- 1+2~ ' созпм= 1 = — 1+2 Кос!ар"е"' = — ! +2((се! — — — — —.. п=ю 1 -- Р гм , е 3,29 1 +рз — 2Р созе ' Позтому прн р ~ 1 и(,) )~ у(ф) — ---;,— —.;,—,— — 1 — „, ф. (9,29) Интеграл (9,29) называется пнтггралолг Оуассона.
Для круга произвольного радиуса 1т' и произвольной нвпрерывной функции т (з) мы получим решение задачи Дприхлс, заменив в формуле (9,29) р через — . В качестве переменной Р И ' ингсгрировзния вместо ф можно взять Р=Я$ Тогда мы получим интеграл Пуассона для произвольного круга ,и о 3 з и е ч а н и е. Формулы, аналогичные (10,29), имеют место для регосния задачи Дирихлс и лля л-мерного юарз. При и= 3 соотвстстнуюгцая формула имеет внд РР' — г' п(г, 9, е) =- — ' ~~~(11', ~Р') —, г(о '1лге )д ~Р— згА'соз 1+г'"'!' ' где интегрирование производится по сфере ~ радиуса г7, а 1 — угол между радиусами-векторами точки (г, 0, ~Р) и переменной точки (1с, и', у') на поверхности 3 а д а ч а 1, Докажите непосредственной проверкой, ~го интеграл Пуассона (10,29) является гармонической функцией в яру~с радиуса Й.
29) Ревгение зхдлчи лнгихлй для кеъгх (13,2г!) к фунгигиим и и о в огнис.и «)„которзч ограничена хрипл) Г и окружносз ыо Г, с ис ~тром н го ьс (л, у,'~ и з ироизвольно малым радиусом е. !1ггзу им гм 1ди д! 1т +~~!г1 - — и — 'г ()и — )~Й =О. вз дл( г~ (14,29) 11аираилсние вкегиней отиоситсчило области В, норма хи л, к Г, совпалзсг с нанравлеинсм зо рзчиусу Г, о1 то ~ки (х, у) к точке (х„ у„).
Поз ему иа Г. д 1З д' 1( 1 1 1и -- 1 =- — — ! 1г1 — 1 =- -- -==— (15,29) дл ., гу д~( гу Вследствие кезрерывиосги первых производных функции и получаем 1 да гиах) — - ~:=х С, г, гул, где С ие аависггг от е. Поэтому 'Г ! д~~ ! ', 1 Идз )3' . "~ ! 3,, '=!=- ~!и — — г)х ~ =-: ))в -- ~ — '-г)с )::.
С 2гге 1п — 0 г и ири е- О. В силу (! н29) кисеи 1 "Г. )дл дУ. 1',0 и(х„у„): —;; ~ 1(!г1 -- - и — 1л — - ))!с)х. (16,211) и —, ! )п --; уз, = — — 1 иг(з, ==-2 ки(х„у,), д(' 1) 1С дл,1, гУ т г гее (х„у„) — искотораи то ~кз нз Г . Слелонзз еггьио, г.ри е 0 последний интеграл в левой час~и (14,29) с~р«хнгтси к — 2и и(х„, у,). Г)срсходн к пределу орв а — 0 в равенстве (14,29), золу гаси ял якнтпч!«оки!« яялякгккя (гл.
нт Прелпол«пкпн, ч!о кам удал«гь кос! рои! ь гяркокп !ескыо и об!асс! Р Фу«' го,(., у;:„у,). ' 'и !.е' В Р огоя!щченные нропзкодные щгрг,ого и п горо!'о по(ыдкоз и со- 1 гн!я дает ка Г с фуккппей к )п —. Пркмщыя формулу г Грина (13,29) к ф«кк~пям и п о в «голе«!ч! Р, находим ««и! (17,29) й!!«у Б!ячитая раяенство (17,29; из раа«негка (16,2з9), пркхолич к со;«тн«зи!е!ппо д У 1 ! и(х,, у,'! =-= ~ и —.,- ! —,—, )п — +- о, ) «уз. ()о,29) Та! им о! разом, для г,!рчо!п! !еще!й я об!пасти Р функпии и(х, у) мы получил!! ф«!рмулу «')о,29), пырзгкяклду!о зня !сюк атой фуккики в прокзволыюй т«!чке (х, у,) области Р через з!нп!с «ня па, рякк««е.
Фуккиия (7(х, у; з,„у,) = - )и - — .— о„ нг!зыняется Яукхци«ч) у рики за««я щ г)!«ркхлс для области Р. Йз 118,2«9) !юс«м г!г) и(х, у) == — ~у'(з) -туз, (19 2«!) гд«у(з) — значения и(х, у) на Г. При выиоле сооы!ощекия (19,29) хна заранее предпосягапя, ч!о сущестиуег ! арм!лпщсщщя я Р фупкщы и(х, у), нринимщощая ка Г значения у(з).
Понтону, построив функон!«т Грина для области Р, мы долгкнь еще непосрщчстаенко п! оаеригь, ч!«о ирназя !зщь формулы (19,29) действителыв является рсюеккем залз ш Днрихле и облзсги Р с заданной граничной ф) и!отей г(з). 1(ля пекотор!,!х областей с(!уняла Грина строится в явщм виде. Гак, лля коу! з радиуса Р с нен!.ром н точке О ф«пкцик Грина !!редстзвля гся следу!«!«них! «брзз«!и: «)(.,«2 у; х, у,)= — -, ( )и -- 1п -' г З!,7 30) основ»ьге свойства гхемог»1»юквя ьюыннк 2»3 вдссь г.= — Д)гИм р==-: гвйн «, =3(.Ы,; гочки гИ и гИь име1ог коорди»атм (х, у) и (х„., у») состав.ствеею; тИ, — - точка ва продел ке юн радиу а О И„, длк которой О.И, ° ОгИ, =Й'.
Нетрудно убедигьск (мм эго врсдосгавлвем чита«ел~о), что формула (1!020) в случае круга совладает с нолучеююй ра»се друччвч нугсч формулой (10,20). 3 а д а ч а 3. !)ест!и йгс функнюо Гри»а зада ги с(ирггхле дли но»укруга. ф 30. Теоремы об основных свойствах гармоивчсских фут~какй )Тгжзвагсльст»а но 1«н всех згвх '.сорок оулу г основаны на том, ~ го сел» фуюмгиа и ~ арно»»ч»а в кююм»нбу.гь вава»уток круге ут, ~о ес мюкно »рсдс ге,ють в агом к!а)~е в виде очень удобного в;чи исса»дока»ий интеграла 11уассона.
В самом деле, если с) уньггвк и гарно»юг»а и, следовательно, ненре(нмв»а в кр)юе К, го но ее »на ~е»нвч »а «ранг»ге етого круга можно »остроигг, в вкдс н»гетра»а Пуассона фу»киню и„ гармоническую в»угри К н н)мн~ниакютую»а гране!с К так»с же а»ачегвгк, как и фу»квин и. Но но теореме о едн»ство»- вес~и реюенив валачн Т!и(»~хлс лодкою бьмь и,;=.и, г. е. интеграл 1!уассона врсдсгавлвет всходную фуккпию и. Теорема 1 (о среднем а рифм от, ч еск ем) 3начение еарлгана гесгссн) ен упгри и к»«ларька круса К и нелрермвнвй е Н Ррнмггаи и (х. у) аг ле«мггре К рав»о среднегиу иригуьхе«лачссмгьиу ее тначенпй на акрулснасош.
((оказ а ге л г с г в о. Представим и внутри К оо формуле (10,29) Примсюьч агу формулу' дл» центра, г. е. длв 3=0, нолт скм Г в и(0, 1ч)= †., ) у(а) Ил:=- ч-„г~ иЯ, ф) г!а, (1,30) где ф--=--, а вго в ызчиг, ~го абй ф июню ср диску Ь' ' арлфмег»вескому значений а,ю окрукюости радиуса й. .') а да ~ 1 !. )(окажите теор чу о максим)сю и тг~г»и куме (0 28), юльзуксь теор мой о среднем арифметическом юы гармонических функци!1. (гл. 1г~ зллиптичггокпе кеавиенил .й а д з ч а 2. Пусть иеирермвсав в области 6 фуикпия и(х, у) обладасг тси свсйсгым, что ее зиачеиие в це~ггре лккичо кру~а, лелгзигего осликом впутрп 6, раино срсдисму арифмегическому ее зиачсиий иа окружиости, Йокажите, что фуикции и(х, 1~) яплиетси гзрмоии ~вской фупкцией.
Т е о р е м а 2. Зиачение гпр.игмием сагой внутри негготорого круга К и ограни генкой в К фуиггггигг и (х, у) в центре К разил среднелгу арийлгегпачг*сгггчггу 'е зиакенил в тиолг круге. )(о к а з з г с л ь с г и о. Г!усть 0 с. гс <" К„где Є— радиус круч з К. Из (1, 10) имеем 2й и(0, ц() — — ) и(КК Ыггв. ч Иитсгрируи зго равеиство по Й в пределах от 0 до Йм по лу гаем и, а-.я откуда гг(0 (е) = — —, 1 1 гг(гг ф)ггт) ! к мо и требовалось ~пкзгзгь. Тепрь и а гй Бгикгггг га(лгоипюсаач лгугггггдл и(х, у) глиогигил'тп лп х, 1л ",) го апачи г, ч го фупкция и (х.
гг) разлагается и стопчи. ой рид по (х — х ), (у — у,) в окрестиесги точки (к',и у„), сспи ~очка (тч, у,) лслсит виу три той пбласмц где л(х, у) гзрчоии иич ((о к аз з г ел ьс гпо. Пусть фууикипи п(х, у) гармоническая в кр)гс К с иск~ром (хг р 1 и рггди)сои Кб Г1ереиосг;м лапала коорзгиьл и иреобраговаиием подобия мспкио досмпиугь го~о, чго тетка (х, и 1 персйдсг и качало кое ордиизг, а ралпус К станс~ разами 1, Поатому можно с ытзть х„=у„= — 0 и 71=-1.
Б и 1 й 29 бы.~о показало, !То ы(х, И) представляется рядом (6,200 1'ассмо ц им теперь ркд и с — ((ее1 ( (и,, — - гй,,) С»'П г хг" р 1, (2,30) 2бо и ЗО) осиовныв свовс1вх ггемоннчсгжг1х жхикцид тле 6з ь, — бнномиачьныс коэ(тсРгигнент10 йг+ г' ='-О, Т ~к ьак 6ч',г с 2" '' г а, й ограгщ ю гьи го (тл (2„ЗО( ( . 1' малсорнронзть схолтцимси ири; х! ~ ч, (у ( С вЂ”,; — рялои !у, гнс Л( х 0 г|остояннзя. Так как час гчыс суммгг ряда (одгэ) образуют некотору1О подпослеггсгна ~сльнсгсч ь часг нь~ х сумм абсолхьмю сходянгсгося ряла (2,30) н ряд (0,29) схогипся к и(х, у), го рял (2.,30) такх<е сжглптся к и(х, у).
Тзю ц образом, лттззно, то и(х, у) рззчзгзстся я степенной ряд ~я~ х, у в оггресю~ости Гочки х =' и = О. Теорема 4 (о равномерно сходягцейся поспелова гольное го гармони ~вских функцнб). ггггги ггсгследоватслгнснгггг гугуннггиа ир,(х, у), й=.. (,2, ..., гсг(гяонигесних внутри конечной области 6 и неарермвнмх в 6, сходитсн г:оскола рно на грангггге 6, то она равнолгерно сходится во всеа об.гости 6. г"три этот аредегмнан Фугасная брдет гарлгонн ге се ой онг три 6.
гТ о к ~ з а те л ь ство. Согласно лемме 2 Э 2Я последовательность функций ич(х, у) равномерно сходится во всей области 6. Остасгся показать, что прслсльная функция гармони и~а неуч рн 6. Возьмем для ажио кзкучо-нибудь точку бг внутри 6 и построим крчг К с цттром н точке (г, лсжтлпи внутри 6.
Б эгон круге кзждую из функций и„(х, у) нредсжтнм в зиле интеграла Пузссо ~а. Пусть и„(х, у(.-=-,—,— ~ гг„(ф) „-, —,, — — - —.— — — —,— дф„(З,ЯО) ггч -', гч -- зг ге сггг (Э вЂ” - р) тле у,(ф) — — значения и„нз грз.тцс круга К рздяуса К. Б силу рзнномерноб схгднмосги пс1следовагсльносги функций /„(ф) и схолнмос~п а„в любой внутрен,юб цтке (х, к) круга К в равенстве (З,ЯО) можно нерелгн к пределу в обеих частях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
