И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 34
Текст из файла (страница 34)
э' 20). Повторяя рзссумдсния я 20, находим последовательности собственных значений и нормированных собственных функций первого и второго уравнений и'хз /2 . лх и = —, Х, (Х) =- г1,': — Я1П вЂ”.Х; » — У а гл" х' ./2 — 1'„(у) = 1' — в1п — у; (л, гл= 1, 2,...). Согласно лемме система функций 2 п„„,(х, У) =- —;. —.-в)п у аз а ь (11,25) есть полнзи сисгсзгя оргогонзиьных и нора ировзнпых рснзений уравнения (5,25) 'для примоу. зн инка 0 х =-" а, 0:.у ..Ь 220 ггн!е аоличгскнг. зтхвню!ия «гл. и пря крзсвом условии (3,25) (здесь У„ («!) =-- г' (у) для гно. бого л).
1(аждой функции м, (х, у) соотвстсгнуст собственное значение Т„= — и' ~ —,,+ —.1«. Очевидно, что если числа а и Ь соизмеримы, мы моя<ел! получать одно н то нсе ) при различном выборе л и лг, т. е. при различных собственных функциях. Таким образом, мы имеем здесь пример кратных собственных значений. Вопрос о разложении начзльных данных в ряд по функциям (11,25) есзь хорошо изученный вопрос о разложении функции в двойной ряд Фурье по синусам. Если начальные данные после нечетного продолжения по х н по у на прямоугольник ! х ) ~ а, )у ) ( Ь н периодического продолжения па вло плоскость представляют собой четырежды неирерывно дифференцируемые функции, то коэффициенты разложений (гц25) достаточно быстро стремятся к нулю для того, чтобы ряд (7,25) допускал двукратное дифференцирование.
Таким образом, в этом случае метод Фурье для решения данной зада !и является полностью обоснованным. М!а видим, что произвольное колебание мембраны так же, как и колебание струны, может быть иредставлено как нало!кение ряда врос! ых, так называемь!х !!собсглвенныхз!, колебаний, соответсгвующих собственныл! значениям Х„,„. !)ре!тставляют интерес кузлоаые линиия таких колебаний, т. е. линии, вдоль которых обращается в нуль собственная функция, соответствую«цая данному собственному значению. Рассмотрим эти линии в случае прямоугольной мембраны. Если дюшое собственное значение нс является кратным, т. с.
если ему соответствует овна собственная функция 2 — — з!и: х зп.' ' «/, Тад а Ь то узлоныс линия будут просто отрезками нрямых, парзллельщзх сторонам прямоугольника. Если же собственное значение кра.!но, то различным комбинациям принадлежащих ему собственных функций соответствуют различные узловые линии, н форма их может быть весьма разнообразной. На ириводн. и!и! ниже рнс 11 изоб«ажш!г4 узловис линни квадратной мембраны со стороной единичной длины для значений ),.=--.5и*, ~ 25! ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ЬэЕЫВВАНЫ 10п', 1Зп", 17п'. Под чертежами узловых лгпо1й указаны соответствующие собствеипыс функпни.
Д »»».Г» ау+ »»па» З и».3л ыу -' в .м»»у - »»»»,у Я=/ми »ы»» ау З ,»»»»а»РУ»»»„»»»»»З »у т. »»»»у ,УГ -»»»выу .1-л»х»му нй»»в у Рнс. !!. 3. В качсствс второго примера рассмотрим круглуэо мембрану. 7!ля сс исследования естественно записать уравнение !5,25) в полярных координатах. !1оложив к= рсоа~у, у =рз!и у, ~о~у~и~ д'о 1 до ! д'о ду !»» дт» —., + -- — + -» —,'+Ы вЂ”.О.
Если пснтр круга 7э, совпадающего с положением равновесия мембраны, поместить в начале координат, а радиус зтого круга для простоты положить равным единице, го граненое (гл. и гнпегволическиь увлвн> ння услов«с (3,25) за>шшс>ся в виде о(1, а) =-О. Применяя метод раздела>ия и рсмс«пых, полол>им п(р, р) --: >с(р) Ф()а), откуда, прсн>ведя полстановку и разделив «ерсменпыс, получим обыкновенные дифференциальные уравнения для )с(р) и Ф(р): >!>" (4) + аф (а) =- О, (13,25) р>>>с"'(р) +(>Я'(р) +()р' — и) )>> =О. (14,25) Для решений уравнен>ш (13,25) мы ио физическому смыслу залачи получаем условие периодичности; нас интересуют только решения, имеющие период 2п.
Такие решения существуют «ри а.=О, 1', 2',..., и', Для этих значений а <!>„(р) = Л, соа т>х + с>х а(п ие>. Мь> можем выбр;ыь ш>лную систему ортогонлльных и норми» ровашлых на окружности фу«кпий Ф (ч>), например, так: Ф„; — — —; Ф„(р) = ~/ — сов и:р; Ф„(у) = )л' — а(п и>р. Вернемся к уран«сиво (14.25). После подстановки значения а .=-: их и заме«ы независимого перемен«ого р, =р 1'1 мы «олу >асм уравнение Бессели и го «орялка р'-,'>~-(, ) 1 р Щ (р ) 1. („' его елинственным (с >оч«остью до постоянного множителя) рс>«синем, отрави>снтт «ри р, О (т.
е, при р — О), будет >)>у«кипя Бесселя и >о ««рядка первого рода .>'„(р,) "), '> ~.'и., на«ример, В. В. С >е и а нов, Курс лнффере«и«альных уравнений, >л. х(, й 2, и. 2, с>р. 230, Фнпы>гиз, 1359. $ 25) науч!'ниг колвнлний мг мвглпы 223 Известно, что при любом и фупющя .7„(х) имеет оесчпслснпоь множество ~юлино!Тслыпях корпси й,, )А~ ..., р~,", ..., .
", 2„0ь~,")=-О. Известно, кроме гого, что прн любом фпксирпваняом л функцки ./,0г~ ~х) (гл = 1, 2,... ) ортогональпы мснсву обпй с несом х на кнтервалс (О,1) и образуют полную щгютсму ортогопальпых функций на эхом интервале: ~ х,/„()хг,;х)./„~р,,'„"'х)с(х — — 0 при т чь тп Фенкции 2 (сй (а„н (х) =- — — — — '— — — —— н Ы1 ) х 1./н Ги„х1Р Лх прп л1обом и образ)чот полную систему ортогональных и нормиронгпщых функций.
!1е привоая локазатсльстна этих фактов .), аамегпм, что опи юпгяются обобщением показанных в 9 22 своиств собственных функций на уравнения с более общимн коэффициентами, чем пренполагалось в этом параграфе. 1(ействительно, уравнение (14,25) может быть записано в виде (рЮ' — — ')2+ )<рд =-0, и мы пилим, ~то первый и послслнпй коэффициенты обращаются в пуль на овном копне отрезка (О,1), а — обращмгся на з1ом ко|ще в бесконечность. Б соответствии с згим, как можно показатгч лостаточно в качестве краевого услсвия задачи о собсгнщпгых значениях лля уравнения (14,25) при р †. — 0 брать условие ограниченности рсгпепяя, чтобы рвигенпе опрслслплось с точпос~ью до постоюпгого множителя, если при р =- 1 лапать какое нпбуль условке типа (2,22).
м Ом., напрпмср, Р. О. 1( уз ь м ни, Бесселевы функции, ОНТИ !915; Ь 11, Ч и х о и о н н А. уц С а и а рс к я ГЬ Уравнения ма~ематичсскьй фнзякгЬ Гостехнзлат, 1953, стр. 5вб — 919. (гл. и гюнд волические зч лвнщщя Потребуем, чтобы прп р.=-1 .Ул (4 ').р):=- О, т. е. чтобы ,к, ()у'),) =- (). вв во вв Мы видим, что если )г; ', р', , ..., )т~,,~, ... сеть последовательность нулей функции .lл(х), то собствсннымн зна ~ениями ). вящей задачи будут У.м = Ь"В)' а норьщрованнымп собственными фупкцияяи уравнения (14,25) будут фунщгни Й.м (р) =-- l„(р" р) ~/ ~ й Р„(я',вр))' г(е о П(зимания лемму и. 1, мы моягсы полу чнть полнуго систс му собственных фупьцл(1 ф. (р)Ф ((ь), ф„, (р)Ф.
(В уравнения (12,25) и лайз'и рещение наюсй задачи, разложив фугнщии ~у„(р, ~у) н е, (р, 'у) в ряды вида ~у, (р, ~у) = — ~з ~~~~ )с„,„,ф„(ф+с„„,ф,'(Д ф (р) 9,(р, у)= Х 2~ (у- (' И)+)лмФ„"Яб„,м(р). Уащожив члены первого ряда на соотвстствугощпс Тя(г), з ~лены второ~о ряда на соотвсгствугощие Тв (т) и сложив получившиеся рялы, мы полу пгя ряд (7,25), прсдставлгноцтий рси ение даюгой задачи. равномерная сходимость и возможность почлснного дифференцирования получившегося ряда будут, как обычно, иметь место при достзтонюй гладкости функций о,(р, о) и м,(р, ш), если они удовлегворякн ~ем я.е граничным условиям, каким должно удовзетворять цсколще решение уравнения (1,25), и еще целоторым дополнительным условиям на ~ренине круга. 2 261 спглен!п1 о созстаанных Фушсцнях ф 26. Дополнительные сведении о собственных функциях и о разрешимости смешанной задачи для гиперболических уравнений 1.
11се сказанное до сих пор относительно залаял о собственных значениях для уравнения (1,22) естественно переносится на аналогичную задачу для уравнении (р,и„) +(р,и.„)„— ди+1ри=О и уравнения (1,26) (р1их) х+ (ркин )г + (р,иг )т — ди + )ри = О (2,26) (3,26) или — +аи =О.
ди д Здесь — означает дифференцирование по янаправленню дп конормална, козорое в каждой точке границы определяется вектором (р, соз(л, х), р, соа(л, у)), гле соя (л, х), соя (и, у) явлюотся соответственно косинусами углов между направлением внешней нормали и осями Ох, Оу, а а есть некоторая нсозрицательная функция, определенная на границе б. Аналогично предыдущему определим собственные функции н собственные значения втой залачи. Построим функционалы тт(и) = ~ ~ ри'г1хду, О(и) = ) ) (р,ггх+р,и, +ии') г)хг(у 1а и.
Г. Пятроьскья в предположении, что функции рп нх производные и р непрерывны, а р, и р преносхоляг некоторые положительные постоянные. Будем искать решения уравнеш1я (1,26) в некотсрой конечной области О с кусочно гладкой границей Е, не равные тождестншню нулю и удовлетиоржошпе иа границе услоаюо пюг!еолпческю: !гав ьнпя (1л. и , .у !зс ьоаспо!о чачи! (3,2б) п Е>ч '(л) —.
!') (а) -!- (! бич г!!'= —.- =- ~ ", (р,а', + р,и,', + г!их) ь!х лгу+ ~ пи'Л я случае красы.! о исполня (4,26). Тога!! мы лю к ! смоя еч перенес!и па чигт сг!!чай Бес' теорема! О сзойсгнах:обсгнсн" и,!х функций и себе!асиных зна !гний, показанные а й' 22. Для а!ого случая имеют место, н чзсгпосжь теорема Курян ! з о зыксих!а, !ьно-кп!пима льном сяс йствс собстяююых функций и аь!гекаюптая нз нес зависимость собстае!нных зна!сьий от хоа,рфиггисп'!оа уравнения, от области ст и от красных условий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
