И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Такой подход оказался иозмокшым так!не для уракне!шй и систем более об!цего вида. Это по!волило методами функционального анааш. а доказать теоремы о существовании и единственное ги обобщенного решения смешанных задач для таких уравнений и систем а"). Весьма об цие результаты о ра:!рец!шести смешанных задач д:и рзз.ш шык ккассоз уравнений получены с помощью ашшрзта !сор!ш обобигсшгых функций "а"). -) См.
сноску а--) на сгр. 235. "! См.. например, 51. И. Ви!иик и О. А. Ладыженская, „'; спе, и итси. на) к, ! 1: 6 ! )Оай)„4! — 9)7 : ', 1. ! о н к, Ас! ! 5!!н)ге!па)гса В4, № 1--2 (!955), 13 — 153. ГЛЛВЛ й1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРЛВНЕНИЯ 2 27, Введение В качестве простейшего представителя э ~лилтичсских уравнений мы всюду в этой главе будем рассматривать уравнение Лапласа д'з .
д'л (1,27) ох,' ' дх,', Основные свойства решений этого уравнения не зависят от и. Лля простоты записи мы всюду буден рассмзтривзгь случай, когда п=2, не оговаривая каждый раз, если аналогичные рассмотрения применимы и лля и ) 2. В конце главы будет дап обзор результатов, известных для эллиптических уравнений более общего вида. Эллиптическими уравпепиямн описываются стационарные, установившиеся состояния. В 2 1 мы видели, например, что уравнению Лапласа удовлетворяет установившаяся в однородной пластинке нлн в однородном теле 1сыпсратурз и.
Там тке мы видели„ что эгнм уравнением описывается форма мембраны, натянутой на некоторую пространственную кривую и находяпгейся в равновесии. Потенциалы поля тяготения и сташгонарного электрического г1оля также удовлетворяют урзвненшо Лапласа в точках, в которых отсутствуют массьц соответственно электрические ааряды. Одним из самых основных свойств решений эллиптических уравнений является их глзлкость. Это вполне соответствусг тому, что з1цшпгвческимн уравнениями описывшотся установившиеся состояние: физически ясно, что все первоначальные неровности к моменту установления стационарного состояния должны сгладиться.
В этой главе будет доказано, м« все (гл. гп эллиптическпР уеавиииии 1 спрсрывиыс рсгиеиия ург77717сггия,Л7717лг7са зизлитичиы по всем псзсвпспмьвг псрсмсииьж7. 17ылс7 бы 17свсриым, олпзю7, угвсргкдеиие, что всс рсгпсиия урзвиси1гя Л1717лзсз а71алгжигиы. 'г(зпрпмср, урзвию1юо д'Р 1 д'и 117д 1 77 у' всюлу уловлетиоряг.т фупкция и, опрелелс7И1ая соотиошсииями 7 и(х,у).==-.)ссс)(е ") при ВОСО, где з=х+1'у, и(О, О) = — О. Одпггко легко видеть, то втз фуикгьчя ие только ие аиали- 1.ичиа в окрсстпости 17а1алз 111777ргтп«зт, ио оиа лаже Гзазрьтиа в иачале кг7орли71атс Таьчгы образом, чтобы угвержлзть, что и зг1алпг71чпз, пало предположить иекоторый первоначальный запас глалги7сти у фуикпии и.
Стеггрерггвнгзе рсглсиия ) рзвпсггпя лапласа (т. е. Иег7рсрыи77ые фуикцип, у которых суиге- гйи ъ л'и стзуюг произлолиые —; и т —, = О) ггззь1взются гардх,' '. '~ Оха 7'-.=- 7 звоническисаи функггияяги. ('иии июй краевой задачей для вллвптическпх уравпсипй является первая краевая лада и. (Вада ю Ли) ихве), о ко горой мы упоминали в 5 (. !7а граниие Г неново) од Аонечноа области сг пространства (х„..., х„) задается непрерьяная функиия у'. Тр~ег7уетстг найти г)7унгсгьию и (х„..., х,), гарзюническчю внугпри 0 и п)7инилггггоггбчю заданные значения у' на Г.
точ7пгй смысл слов кь7)ч7кция и(х„х„..., х„) должна принимать залзииь7е из гравице аиагсг7ия77 таков: фупкция, совпадтоигая с и (х„х„, ..., х„) ииутри (7 и совпалюопгая иа граигпгс с задзю1ой там функцией „Е, должиа быть испрсрывиой в а=.-а+Г. йпгорагг Краевая ладога (задача гт' ливана) состоит в том, чтобы 77зйти Внд7771ри коне71ной обласпиг сг7 Озу анггченной поверхносглыо Г с не77(7е(7ьгвно ау7аигагогцеггся гсасагпельной плоскосл1ьк7, нгпрегргчвнуео В 77' — (- (' за(7лгонгтескз'ю Я7нкггию ди и(х, ..., х ), у гсотород произвооная -.. по напраьлению дп внеганеа норлтли в кгсясг)ои точке еранииьг с7' равна значениго в эпго11 то77ке заданной ЯнкгГПП р. ф 28) свойстго мхксимкмл и миннмгмл и гго следствии 222 (т 'з 1 мы рзссгнцрслп примеры фн:тчсскпх зваг ц ко~о.
рык приводя~ ~ верной и второн краевым зздвчзм для уравнения Лагптзса. В дзльнейшсм мы расеи:трпм подробно вопросы сусцест. вовзння ц единственности регпепия этих задач для уравнения Лапласа. З ° л а ч з. Г~уст~, а (х„..., х.) —..У 1г). где (х, — х,) +... +(х„— х„), а функция /(г) ог рсделена гри гя О и имеет пспрерывнуи производную второ~о порядка. Поквяп1тс, что если и(хо ..., х,) является гармонической при г .> О функцией, то г'(г) = — С, + -„' „пр» я пы 2, г" 1 г' (г) =-- С, + С, 1п — при я == 2. 2 28. Свойство максимума и минимума и его следствия 1. Мы ограничимся рассмотрением гармонических функций ы(х, у) от двух нсззвнсимых персменг~ых.
Все утвср.кдсния, доказзннь.с в этом парзгрзфе, справедливы для гармттческнх функций л~обого числа независимых переменных, и их доказв1ельство мсокет быть проведено анзлоггино. Л с и и в 1. )сусгль в струге родыуса й, включая его грсы нийу, задана непрерывная функция и(х, у), гархгонысесгися во всех, внуггЧ синих точках етого круга. г'тредгголозкылс, что во всех внутренних точках (х, у) зглого круга и (х, у) ~ .ли(х„,у„), где (х„уе) — некоторая таиса, лезкатая на границе круга. Если в точке (х„у,) суи(ествуевг лрныводная от фунеи(ии и (х, у) ао направленце г, образуюыгелсу острий угол с насг) паленые,,и онутреннси норлсали, то ди Ж До к а и в т ел ь с т н о.
Так кзк пон пзрзллсльноч переносе координа~ных осей гармоническая функ мя переходит н ~зрмоничсску~о, то мы могксм считать, что пачзло координатнвхндится в пентре кр)ив. Рассмотрим функцию о(х,у) =-)п — + — — — — )п 4йч Ст' 4 ' 1гл. и! эллинги чески а тг каления ~де г=-) х +у'. Так как па гранина круга з=-О и ди дг г+2Р" + — —., с О, если О ""г ( гс, то ао ясса внутрснннн точках круга, кроме псн~ра, в > О. Легко проверитгч что гри до ! ж 2 ,'+ =----, если х +у 4-О дх' ду' Р' Обозначим черед 0 множество точек (х, у), для котормх — гтг< х +у < Йч !1усть а раино наименьшему аиачеииго Ь"* функнни и(х, у) — и(х„у,) иа окружности х'+у'=-;.
Иа условий лепим следует, что а) О. Рассмотрим в области 0 функпию ти(х,у) =.и(х.,у) — и(х„, у,) — — о(х, у). 'Л') д'ю д'га а дх" с!1И ~ гг ) СО гг' д-'й гги в О, а в точке минимума необходимо †, . ~ О и †, я О. г' ч - д, Поэтому яо нсех точках области 0 должно быть ж~О, т.
е. и(х,у) — и(х„, у,) == —, ',, о(х, у). Б точке (х„,у„) г!с гас — =- —.— соа (я, ~), д ду где соа(я, г) означает косинус угла между напраялеписм радиуса-исктора в точке (х„ )~,) и напранлснпем ж Очевидно, дя — ' ь О. Так как фупкпии и (х, у) — и (х„, у,) и о(х, у) обращгнотся в нуль в точке (х„, у,) и в области 0 и(х, у) — и(х„у,) =.- — — з(х,у), 8") Легко видать, ~то гд -= О па гранино области 0 Функпия тд(х,у) ие пожег внутри области 0 принимать паименьюее значение, так как 28,' свойство мгпсньюмл и мннимкмл и его следствия 2ч) то в хочкс гх, у ) да а дг„ У Ух ххд ~ ч,О') " что п требовалось доказать. Г е о р е м» о и з к с и и у и е и и и н и и у и е.
г ар,т»ггачеслал, фуньчгил и(х„у), аттиенал от лвглючннод, не ло,желх в кокад-нибудь внутреннеи то хне аоласлхи 6 принижать значение, равное верхнел или нилснег) грани знггчений и(х у) в О. ((~ели обззс ~ь О конечна и и(х, у) можно гнк пролол. жны, в 6, ~тобы зто г.рхздол».снх~с, которое мы буден тзкнхе обозначать крез и(х,у), было пснр рынка и О, то, очевидно, всрхюа и ннжняи грие~ знз ктпп и(х, у) з 0 совыдтот о»ответственно с ее ьхаксиьпхлх,пы»1 и мвнпхноп,нгых; значениями в О.) Л о к а з а т е л ь с т в о»). Г)рсдиоложпм, чт,. гармоническая ф) икдия, отли ~пзхх от востояьхюй, г1рпнимаст н области 0 значение т, равное токпей грани значений и(х, у) в О. Пусть Š— мнохкество тех точек О, где и(х, у) =.т.
Гзк кзк г)хуикипхх и(х, у) не раны поспнпн»хнй в 6, то найдется попасть О„которая солержпхсх~ амхсгс тх своей грзнивсй внутрк 6 и гзкан, что 6, содержит хсьогорх»с точки множества Е и по крайней мсрх: оххпу точку,; пргхиазхлс»»агвут Е. Впу~рхх обитстп О, нзйдется гочка Р, 1с г1рпнзалежащая Е, расстхтпис от козорой до мнохкегтнз Е мею:г с, чем расстоянии ло гражины 6, так как х',щсстнухог ге|чья в 6о скхзль уголно близкие к Е п не ории»ххлехкзиххге Е, а для воск точек О, расстогвте ло гранины 6 болг,те некоторого положительного хпсла "' "'). Рассмо~рнм круг 1х' с иентром в то ~ке Р, радиус кот.рого равен расстонникх от точки Р до югожсстза Е. 'дзот круг.
лежит внутри 6 и нсс внутренппс тг ~ьн а~хна круга не щиналлежзг Е. Ка ~рахпихе круга К пзйлсгхя го пса Гхх, врх1н:хгхлежатая Е. Зто слслхег из опрелелсыя рзссгоннюх от гочых ло мхиикссыхгх и из томь что оредсгхьпь~е то ~ьн мнхписсот х-., : ~ ь. л. О» е й н п к, за пем. сгс рн к йп (72): й1чзхз .
бча « х7. »к) р»сей япиехх ог г.чкз Р гхо чнк«ее~вы К) юг и; лт ~см и»:ьяонх грань расс гоякнй о~ Р ло 'очек 9зь 16 и с гмх»:»»тх в»»»ы»гг»»чгские ягьвиы»ив [гл, иг со:»сржз~ипсся и б», принадлежа» Е. В»о ~»тзх множества Е оп ол д» ляою быть -- =- 0 и — О. »)л: от 11рпт»сп!ы лемм» ! к Функции и(у., у), рассмз»р»»вась~ой в кру»е ры ~»»л)чим, что производная ог и(х, у) в точке () нь любому изцрзв,цнпю, ие касзте»»ьиому к тра:итсге круга в мыке (), сели »илько такая производная суцтсс»вуст, отан сбв личиз от пуля. )то пр» ~~»г»оречг»г гому, что —,- = — 0 и — =0 дх в го»кс Сй так кзк хотя бы одна из к»»»»рд»маги»ях осей ие совнздасг с кзсзтсль юй к границе круга в ~очке О.
11олу- ~» июс про гняоречис»юк»»з»»в»»ет, что гармоиячсскзя функ:и я и,;, р)„н»лп и»зя ог постоянной, не можс»»йт»тинь»зть внутри 1) тнз!ег»»»е, раюп е т. Рс»зи бы и(х, П) прю»кт»злз внутри С» зизчеине М, равное верхней» ряни значений и (х, у) в О, го функция — и (х, у) п1юиимзла е»ы зиз .с юе, рдяное нюкней грв»»и се знзчений в С», ч»о иев»»зь»»»я»иО. Тсо(»сь»г» дока.»аи .". »блед с г ни с. Гармоническая я кояе»иой области С» функпи», геирсрыянзя в б», принимает свое иаибольыее и наямспьыес з~»зчсеюг яа границе атой облзс»и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
