И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 32
Текст из файла (страница 32)
0 в обегга частых равенства (4,24), мы полу гим Л' (х,) =- ~ б (х, х„) У(х) ох. (5„24) Предельная фу пгпия 11(х, х,) и является фуиммиеа Гриихг для урависпия (1,24). ;+гп псстрсгис рассуждения пе дгиот пока вол можиос ги ировеств топлое доказательство капова бы то ии было фа.- тов. Почтову апч определим фуи~гигио Грина иевавпсимо ог гредыдугдпх наводя~дик рассуз<деипИ и докажем, во-первых, с)птествогаиве такой фуикиии и„во-вторых, сч',раиедливость фоомулы (5 24) 1'аигиие чем дать точное сюредель не фуикиии 1 р иии выясним какими свобствамп дол.кои обладать пр=ггсл у',(х,х,1, сели втот предел суи~сс~ ьуст. Проиич сгрирус м по х тс,к.
лсство (3,24) после иодстгиговки 1',(х, ха) вместо г' в ирсдсллх от х — 8 до хь — 3 где г. ') с: . 5(ы иолу гвм Е а 2 ъ;,+а г~-1 " ((ру' (х, х„)1 — а1',(х, х,)) ух-.-- ( е' (х, х,)ох — -1. к — а х, в Первое слагаемое моиг~ о проинтегрировать в явной форме после чего ирелыду~дсе раис~ ство примет вил р1':(х, х,1 "— ) г11',(х, х,1Ых=- 1.
ьы " А,— г (гл. и гпньгьолнпсскпк вгсн п юю Лсю'гтнп здесь ззююность форпального иерею.да к среде,у прн е- 0 и фнкснровзнноп г, ии по;уннп рзвснсгьо р(х +с) Сг, (х, +о, х,1 — р(х„—. г) б, (х — — с, х,)— (' — а(х) 0(х, х,) Фх= ), сюювсдлннос прп юобом ~ ~ О. Йе(юйггя:сверь ь пределу нрп д О и нрсдполл и, ~3о р(х), д(х) н (х(х, хо) нспрсоь.н.,ые функппн ию, олуппи ранен«.:ао р( )(Ов(хо ( О' хц) .' ° ь 0' хз)) огкуда пплно, пзо прн сделююью предполюкеюпх иронзводньп (),(х, х ) функпгю Г(пюа по х долгкпа прп х-.=х, презс рпееать скзнок, ранний р ~ ) 2, Ггадпм ~еперь форпаль к с определение фупюпю )'рвиа длп урзвнс ню (),24) п докюксы с суюес,'возаппе. соункци и l ри:и для уравнения (),24) ари крассах условиях (2,24) низьжаеглся функция 0(х, в), оаределснная квадрааге 0--.
х..=.,У„Огг. в::=г' и усов.:;те рягяиая с.гедугоа~илг условиялс (2(х, в) гсак фгнкцин х аРа хта в негцниию.а вюесюе се гвоилги ароизводни.ии до вюороео аорядки склюиительвсо и удовсвс теорие и однородно.иу уравнениго с)р(з„(х„в)), — су(2(х, в) =-О. О)(0, в) =-6(г', в) = О. д . с'(х, в) яегреривна в каааргал- Р га х.-с /, О:. в.=-г', а гу, (х, в) кик фуюлсия огп х арегиераевзсги р.с;рин )-со роси со скавяолг — — - ири х--, и. е.
р Гв) 1 б,(в+СО в) — С)г (в .— О, в) -= — — (О <' в 2). р (в~ Г)рв доказательстве суюестпюгаюю такой фуккнпп иы прсдпг) .', юиц ло сузьО, так я1О 1:.=О пе яплзс~сн соосгаснпь!м Зн юю1неп у(эаннеюю ((ьт: ) — сЛ (-),;Х 0 и или'нытик опкпни ггииь 207 г~ргг краевых лсгвииях [2,24). (Ср. й 30 мигх г.г(скпзгг гю зсорщг обыкновенных лпффсрсгищальньгх ) рагпгсигН, ) 052.) Прп зточ прсггпгкгожг пии сущеслвозащге фущппщ Грина локк;ываг" ся просто ее пос гроснпем. 1(сйст игггс.аьн Н и,,: ь Л, ';х; сс ~ ь какое-то нетривиальное рщпснис урависщж (1,Х') — гЛ вЂ”. О, уловлг:творящщсе условию Л', (О) .- О, а Л',,(х) — негрпвпальное роше юс гхлгтг лгсс уравнен гы, уловлс ~ воряяпцес ус и щпо Хг (1) -=- О. В силу сдслагп~ого прспположегчгя рсгисиия Х (х) и Х (х) г линейно независимы. ).ели бы ам о гзггло нс тжс, о о э были бгя просто пропорциональны и каждое из нпл огигьзпылось бы в нуль прн х=О и х=-1, пе будучи равным итие толггдесгпснпо, что невозможно, так кзк г:-0 не сегь соб.
ствснное значенис. Положим Л (ь) Х, (х), 0 == х -= а, сг(х, а) =- ' (7,2)) Б (ь') ' 'г [х) ' Тоги;,а услщщя )" и 2г удовлетворя~отея при лгобом выборе Л(ь) и Б(а). Кыберслг теперь Л(а) в Б(а) так, побы уьгокггсгжгрялось условие 3". Из условия н прерывности б(х, ь) при х =. а имеем А (а) Х, (ь) =-. Б [а) Х. (ь)„ откуда А(ь).=-с(а) Л',(а), Б(ь) ="-с (л) Х, [ь). Потребуем, чтобы скачок произвогнгй в точке х=ь. пмсл ! задзшн с зззчснис — -,--: р (ь*) 6.„(ь — О, а)=.с(с)Х (в)Х,(а) (гх(а —,' — О, ь) ==с(а) Л', [а) Х,(ь) откуда получаем г с [ь) — -=— ,г,ьЛ [Хг гь) аг .ь г — Л, ы, Лг Г*)Л ' 205 глл~лвл'волллпгскпс кглллил вллл~ Знаменатель р (а)1Х, (а) Х, (а) — Х, (а) Л', (а) 11 пс зависит от а.
Дейст вллллпльилл, в кяадрал т й скобке с ~ опт оирсиелитель В)писково Л(Хо Л',л лииейио иезависллмык решепий Л', (а) в Л,(а). По ллзвсстиол) формуле м! й(Х,. Хя) =-- ау хиз Т вилял образом, суилсстлловаиллс фуикго п Грллиа ллоказаио. Из формулы (8,24) ллсиосрсллствсв~сл о и ллллплллл, ято фллнниин I рана л'илглг гхстллтпгл отнгтглтельна своих иргулггллтгловт Доллаялсгл теперь формулу (5,24) для рсгисппя Л (х) уравлиилллл~ 11,24), у,лллвлеыллгрялл илсю краевым «слолллляы (2,24).
1(оьагяем слгаяала, ято фуикцяя Х (х) =".— ~ 6(х, а)у (а),4а (9,24) удовлетворил уравпстлгп 11.24). 19 силу спямс гряя фуикция 1'ргилв функция, оирслсляемая формулой л9,24), совиалает с (5,24). Чтобы вьтястлгь Х'(х), прецставпя (9,24) в вяло Х (х);=.ь ) л)1х, а) г(а) гта+ ~ 6(х, а)/ (л) г)а, лл0 24) Дифференлгллруя это соотпогпсяис по х, гп лупим Л,,)=-.—. ( 6,'(х. а)у(л) '-', ~6',(-, а)у(л)гй+ 6 (х, х —. О) 7 (х л — 6 (х, х -', - О) / (х).
огкуцл свслл) ст посл ояис ~тл с(а). Фуякцяя 1'рипа имеет иозтому л 6 (х, а) ...;---,. Л',, (а) Л', (л) 6 (х, а) ="-. — --„и Л, (а) Л'. (х) л'ллем 0 =..: х .-- а, (8,24) при а е.-, х,./. 24) пгимянепия Фкнкцин ггннА В силу непрерьвностн функции Грющ итщсм Х'(х)= ~ 0 (х, з)У(г) гй-(- ~ 6,. (х, э)~(з)г!з.
(11,24) Дифференцируя (! 1,24) но х, полу ~им вырзжсннс для Х" (х) в виде Х" (х)= ) 6„., (х, г)/(г)т!л+ ~ 0,„(х, я)у"(з) гтя+ +0,(х, х — О)б(х) — 0,(х, х+О)у(х). Так кзк О,'(х+О, х) — 0„.(х — О, х)=-=, то 0„(х, х — О)— р (х) — 0 (х, х+0) = . Поэтому 1 р (х) ' Х" (х) =--. "0тк(х, г),К(з)пз+ " . (12 24) р (х) о Подставляя в уравнение (1,24) выражения лля Х, Х', Х", получим (рХ')' — г)Х=-= ~1(р(х) 0„'),'.— 40( (я) г!я+у(х) =у'(х), Из формы правой чисти рзнснствз (5,24) видно, что функция Х(х), определенная рзвснством (5,24), обращается в нуль при х = О и х =-- г.
Таким обрззом, формулз (5,24) лзст рсщсннс урзвнсния (1„24), улоилсгворя~ощсе условиям (2,24). В силу преллоложснпя г):- О такое рещение уравнения (1,24) единственно. 3. Покажем, кзк с помощью функция Грина для урзннсния (1,24) зщгачз о собствсинях знзчспияк, рассмотренная в предыдущих парзгрзфзх, снолптся к интегрзльному урлнненво, Для этого ззннщсм оснгапое уравнение (1,22) я виде (рХ') — лХ= — клХ (!3,24) и, полагая б(х) = †)рХ, применим к нему формулу (5,24). 14 и г.пежо.л и 21О гиню'ьоличьскик углянскня (гл.
и )Йы нол)" 1нм !эаиснство Х(а)+ ). ~ 0(х, я) р(х) Х(х) ~ух=:О, (14,24) прслс гзвлюощсе собой однс родное уравнение Фрсдгольма второго рода с сичмстриаусмым ялром и нарамегром ). Ядро уравнения (14,24) может быть симмегргиовано умножением равенства (14,24) на )' р(а). Тогда это уравнение превратится в уравнение с неизвестной функцией 1 р(а) Х(а) и симметрнчньщ ялром 0(х, а) )' р (х) р (з). В силу формулы (5,24) )равнение (13,24) вместе с краевымя условнямк Х(О) =Х(2) .= О и ураннснис (14,24) эквивалент«ы в том смысле, ч го каждое решение (13,24), обращакнцееся в нуль нрн х=-О и х= — (, яющется рс~пенксм уравнения (14,24) прн том же )., и обратно.
С лру~ ой стороны, для урзвисний видз (! 4,24) справедливы доказзнныс в ~ 22 теоремы о сувтсс~вованин собственных ана ~сияй и собственных функш1й, об оргогональности сис теьня согбс ~ ленных функций и теорема о разложимости (ср, например, хкю вЛсюили но ~сории интегральных уравнсняйл, 1осгсхнздаг, 1251, Я 11 — 14).
Отсюда прямо следуют теоремы о сущсс~вовании в оргшо~зльногпл собственных ф) нкцнй и теорема о разлолкимости, доказанные в 2 22. )1 раааа, лля доказательства разложимое гв функции,г(х) прнхолигся нри атом требовать непрерывность ее второй пр ллзводной, чтобы мояшо было прсдс гзяить се в виде (5,24) и применить теорему Гнльбер|з — Шмидта. Функшно Грина, скодящую решение лиффсренцизльиого уравнения к 1штсг!кллыюм)ц можно онрелслвгь и для других тинов краевых условий, а тзюьс для уравнений со мни~ими неззвисимыми переменными. Однако сс вффекгивкое выражснкс улав~си гбычно нолучить только лля весьма частных внз ж уравнений и красных условий.
4. С комощыо фу акции Грина можно дать обоснование мс.~ода Фурье рсшснкя смсгна~еой залечи лля уравнения (!.21) нри условиях (1,23), (2,23), нс опираясь на результаты С; 22 ))ля Шкютоты рзссхнырим уравненяе вила (19,23), гле р „ = !1, 4 .'.= О, и дохл;кем лля втш о уравнения ~гореву, формулированную в и. 1 Ь' 23. Рял (!2,21) лля етого 211 пгнменкннг. якпкцнн ггинл уравнения ямсст впд т Х (х) ( Л„соз ) ),,~+ —.~ — ' з(п ) 'к,г'), (1624) Злссь )и — собственныс значеияя, а Ха(х) — собственные функции уравнения (.
(Х)==(пХ')' — дХ = — — ),Х (16,24) с граничными условиямп (2,24). Существование собственных зиз ~опий и собствснных функций следует нз того, что уравнение (16,24) с условиями (2,24) зквнвалентно интегральному уравнению с симметричным ядром Х (х) + 1 ~ 0 (х, в) Х (в) сЬ = — О, (17,24) где 0(х, з) — функшщ Грина для задачи (16,24), (2,24). Так йак на ~аланья функции ~у„(х) и е, (х) удовлетворяют условиям теоремы из и, 1 2 23, то лля козффицнентов Л, В„в (15,24) выполнюотся соотиощещги (ср. з 23): ! Лл= ~ о, Х„г(х= — -- ~ В (мв) Х г(х; (18,24) а Ва= ~ м, Хлг(х= —,. ~ Е((е,) Х ~(х. (19,24) ~' ) Х (х) ) (Уь < Л„/ + У~„) В„!), е ч ~.)Х,'(х)) ()Л,)+ — '~И ), л.= ~ $'1з с ,г ) Хл(х)) ( ', Лл ) + -'='" — ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
