И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 31
Текст из файла (страница 31)
11! кюксм тс!Кр!ч ло гбобюпсно рсгвеввс един с!в юк. 1.ели бы двум рзГ!ли:н!ым иоследоватслы осттв! функгв!и !р„(х), рг,'(х) и з,. (х), э,'(х) аю!встсгвовз т !яс рвали !нье иредельиыс функции и!Г,х) и и(1, х) для:!о зсдоиателы!о- 1ОО огосновлние и»-"ода коняк стой и»((, х) и»»„(»', х), го мы имели бы: 3 ') Р (и -- и)» г»х г(г .=— ,) з = 1 (» г(и — и,) -1- (и„— и,„).(-(ц, — гг)~' г»х г»У Й»" 3 1))» Р»(а и )»!хг(Г ( 3 ~~Р(и, — и„)»»/хс((+ й.
и +3 ~1 Р(иа — и) г(хФ. (17,23) ц "г Н»» основании замечания п. 2 пзстоюцюо параграфа»югегрзл л стремится к пулю нри и — оо, так как Р (т»ч '" »Ро)» г~х»» ~ .»»и» — »Р~) г(х стремятся к нулю при л — ° оо. 'Г;»к как дяз ар»гик юмсгра,» н праной части»юрзвенс»яа (17,23) также стра»»ягся к»»улю, то ~ ~ Р (и — и)' г)х»т»' = О. »г» Мииду того, что и — и и Р..лб — непрерыаныс функции, имеем и (О х) -= а (1, х). )ы определи~»ня обоб»ценного рси»еюю смен»»»»~ной задачи для уравненю, (»,211 следует, чы» сслн ири задаю»ык»(»»(»:) и »Р, (х) су»»г».сгвуег деажды непрерывно диффереююруечое в Цт ревею»е смеюзнной задачи, то обобгцсюю р и» ю»с сме»»»зн~»ой задачи совпадает с этим рсюением.
гиюогда обобщсию»м решением с»»ен»а»»»»ой задачи л;ю ураю»ения (1,21) с услоаюимн (1,23), (2,23) нзз»ааз»о»»зкув фуикцюо и(Г, х), для которой 1! и ~ 1» (ц и) 7 с»О О (1о„23) а цг (гл. и гннггио щчгские кглвнгния гас функции и„(й х) иа оно гси рснгщячми уращющщ (1,21) ири граничных у'лолнкк (2.23) и ла щльнык услов;кх (15,23), иричем аытюлняюа .а сооа~клгцснпк (16,23). Укажем друвис аозмщкные определенна обобщенного решении смсчнаиной задачи. в которык ~ыольа)чогся интегральные тожлесчва (ср. 5 й).
Зла оросго~ы будем рассылринагь ураапсннс аида Р(н) —:- —,— „—,- ( р(х) — +о(х) и=О. (19,23) д'я д у да) Обобцтенным реию:нем смсщаниой лала щ дла ураанщищ (19,23) нри иачальньж и граничных услонщгк (1,23), (2.23) иазывастса ненрерыано лифферснцнруеман а Е~г функции и (1, х), удсжлс ~ аориющач услоаняч и(0, х).— .у„(х), и(1, О) =и(1,0 -==0 (20,23) и интегральному тождеству +~:У,(х)о(0, х) й. —.О (21,23) для лгобой непрерывно лифферснцируемой функ щи о(г равной нулю нри г -= У, ира к=0 и ори х=-й Иногда удобно иользонагьси след)лощин определением, Обобщенным реиснием .м шинной калачи для ураанеиии (19,23) при услощяа (1,23), (2,21) на*ыяаетси нснрерыанаи функ ик и(й х), удоалсгаорнющан интегральному то>кдестау см ~ иР(о) 4х г)г +- ~ а, (х) с — (О, х) гух— мг — ~ (а, (х) о (О, х) с(х.—..= О, (22,23) ~де а(г, х) — ироиаеольлаа дважды ненрерыаио диффсренцирь емли фтнкнич а си ко,~но1) о(, О) — О, г) — — а,!, х) —.
';(У, х) -=О. (23,23) й 231 оагсиоьаюгг метода ччтьг () ~сциоциц ччо ющб»гон»ос рспп и»с, . пр. ~с ии.мпс 1»кдсстчом (21,23)»рп ус»отта (20,21), гиюнс~ си е го;ке крема огь.саигщюым рсюеинем е смысле (22,23); обри гное, вообще гонора, попер»о. Бподя об»биде»цыц рсюсигю, мы моьчеч в той или ююй степени рзсиеригь клагс на ылыиак фую,шнц при кот»рык существуег рсисинс сьщювюой задачи. Г1рг; заом очень вшкно, ~тобы а ионом классе решений сохранилась тесрсма еди»сгаен»ости. 3 а д а ч а 1. Йокакогте, что об»биге»нос рспгшие урз»ценна (19,23) прн условнах (1,23), (2,23), оиослслею ое соогнщлсщщм (18,23) (где р =- 1), сущегтиуст н едн»г гнв щ, сели фйнкцин !У„(х) и гы (х) кйсочио »си(х (эыи»ы и ннч с~ Ри" ругмы с ьнадрзт)ом на отрезке (О, 1).
3 ада ч а 2. 2(окангигс, ~~о обобгцсиное рсюеиис ура»пенна (19,23) прн услонгюк (1,23), (2,23), ~ пределениюе солношегюамп (20,23), (21,23), сучцсстауст и сап»стас»но, если фуюогия „"„(х) лвгокды непрерывно диффсренцнруеиз ~а отрезке (О, У). а т, (х) гцтпи раз непрерывно тиффсрснинрусгза на атом огре~ко причем о (О) =-- в, (1) = — — (а, (О) — — о, (1) = 0 п о (х) =-.: О. У к а з а н н е. Для доказатсльстна едгвстаенностн восцользонач ьса фуюац.ей а(г, х) = ~ (и, (т, х) — а,(т, х))гйт, где и, и а,— даа обобщен»ык рюпсюя одной и гсй кге смешанной задачи. 3 з д и ~ а 3 Лг кыкитс, ~ го обобгцси»ос освою.с урн. пенна (10,23) прн углов»их (1,23), (2,23), оирсделеющс соотншисннсч (о2 23) суи "стетет н е гннгтае~юо если ~+0»ьгг»н ~у„(х) непрерыапа на спрезке (О, 1, обрагцастсн а ~ уль ирн х=-.
О, х — =-.' и имеет на э~он горенке питсгрпр,ем)чо с квадратом кусочно неирерыанув~ пропзводнущ, а г)бч:ьцгю ",(т) кусо~и» нс»1ерыана н пнгегоируцма с киадратом . а отрезке ('0 И У к а з а и и с Зли,ц»,з ю ил~ с ~а» с»и»с ~ не»»ос гн носи»льнов»геен резгчьга~ами п. ( иас~ ы»гсг~ »и., »оз,(ьь (гл, и гппегволичиокик угавнгнни 4. И е ~ о д Ф у р ь е д л я ~~ е о д н г~ р о д н о г о г и и с р б о. ли ч еского ) на в н с пни. 1'ассхю~рг1м в 7( смс1пю н)ю .алану данг )равнения — —, - — — —,— ~ р(х) — „,) — гу(х) и+~(г, х) == Е(и)+,гИ, х), (24,23) т с. бул и искать двюклы непрерывню лиффереююрусмос н (т Рспгсние в!ао УРависгпид Удовлегвобиюгдсс на Яю,ным у слгюням и(0, х)= — о„(х), иг(0, х)==-=4~,(х) (25,23) и ~ренн юью условиям и(7, О) = — и(7, 7) —.— О.
(26,23) 11ри атом пам достаточно построить рсгпсюю, удовлегворяююес услгюням (25,23) н(ю с2 (х) =. ы, (х) —..=. О, так как кононов регис~п1с полу юм, прпбапляя к нему ряд (12,21). Будем искать ре~нснг1е и(Г, х) ггоставленной аюгачи в инде ряда Фурье ~~', ач(7) Хк(х) но собственьым фуюап~ям уравг. =- $ ненни Х. (Х) =- — 1Х с грани юьми условнимгг Л (О) =. Х(7)=0, Раааа~ли фунюппо Р(Г, х) в ряд Фурье по агни х бствениым фуюонннм и сравпг1ваи ковффнписнты Фурье в правой н левей юстях уравнсюю (24,23), мы получим диффереюенальные Упавнениа длн опРсделегюн ковфг)гнггиентов ФУРье ал(() Вида аа (у) — -- — - )г а, (1) +,г, (/) „ (27,23) / где уа (г) = ~ 7'(г, х) Ха(х)~ух и г. (Хл)= — уеХе.
Легко про- нери~к, что реюсни и уравнения (27,23), уюалечнорягоигиы ус:н внггм а,(0) =-аг(01=--0, является функпня -~-.-- ) Уа ( г) або ) Г,, (1 — - т) гУт. Танин обраюю, решение и(.", х) уравнеюю (24,23г„улоусловпям (26,23) и условг1я~1 и(0, х) — и,(Г), х) ==О, О1У! 24) ИРЯН!.И! ИИ1 ФХИ! ИЬЧ! ! РИ'Ы ло1 !«В««кыр'!«к:!«ь!.я В инде р«!.«В1 В(1, «) =-У».
— ' у»!1'Г) В(п ) «ь !г — т) г»т) Л'„(х) (21).2«а) ! Если ряд (2С),23) и ряды, иолу !енньы нз него и«««вснк«,!«1 дифферсв!в!ров,« Рвем ио х и ио» д! двух Взз Вхлго вите»и ы, схочя!ся рзю«аверно в Ц, то гу«ом ьто«о ряда есть в инзы всирсрыенк« диффер«еи!«ируе««а«! В Ц. функци««, улов.ы»воряв«- «ияя урз««!«с««!«!о (21,23) н ус»н!виан (26,2Л) и (28,23).
'! ««ч: в сходиность рядов будет ! «О«есие !««из, сслк и! !.рсбокз.л, чика!,! искр!Вр!Вв«««1«! 41) икикя»(», «! Во«»«л иеирскыяиуго и(х нзвздк !«« В1орОГО 1ЬкрядКЗ ВО Х В 1«кб!В Крн В СХ 1 Юй «Г!»И««1ЧКСЬ «СИИ Кя «(», О).-=»'(», У) —.. 11. пря 1«!О««иы нрслиолзгаен, «то козффквв снгь! Е(х) и 4(х) «к!сет лвс исврер«!«и!«!е ир«в«з«««з»«и«чс. Локззз'«с»«ь гко -1«ого ирелло ьсн Ря виолнс зиад««! !«:«Во з и зззтслы п««осяоквса теоревы вы го«!«цего юрагрзфз !«Ов«1«):1- икенты Фурье» (») фу!«к!««В«»'(», х) ««!«Сии«!Вкг«с«1 зияло! к !Во коэффициентам Ь» рядз (12,2!). ч 24. Применение функции Грива к калаче о собственных значениях и к обосн! Вани«о метода Фурье Суи«ест!Взк««кнс я««чи!«й Гистсыы с! бствсв!Г,«х функ««ий в зз.«ячс о соб!.«яеииь!х»!Вя !екнв«н !сы!вкы! сно(!Ств««зт Й системы !!Ожио Докхиг«ч не Рси«з««!К«РВ!««ва«нных з«л",ч, сев«ори!Рико и«ияч сиособон..'-)го х!Гк«о«!«с.зсч!«1«ь с!«««тс«!««Г«« КРЗ! ВОЙ ЗЗ«!!'!Н К НнтсГр'1ЬНОН» «РВВНСИН!С Фрсд1ОЛЬИ ! В«О- ро!о ро«з Зг! ВВ«!«Сине к«и«ес!взяе!Гя с «я чои!! Вз !Вк н 1- зы«ь«с«««!1!»»1««л»вл«»»л»нс», к иостроск1«го ко!О!ь«р Вил ссн'1,!с ВСР 'ХОДИЧ.
Рзсс«Во»рви тв;!ячу: !ыйтв в Рвы! рыле (О, ») реги! Вне ур«кис!Ркя '»" 1 — (»Л -= »( ()ГФ) удовлстворякоиие усл «!«кя«1 Х(0) =- Л'(») == О. (2.2 11 11зр ьау с у««,«в «ек««««! 11,24! ряс«к!.«рки урзввеже !»«1') -- 1,1 .= —, (х, х„) «О',24) (гл и , иющво.щщ.щпис хгащи:ющ с яакоб же левой щс;ькк как и 1 у(ааалслия (1,21), л свобод~ ыи члс:кв1 1 в, к ~ оп х — —,'- ( х ~ х , (х„х, ) =.= 0 ирл всех осгальл1ах х. Здесь в и х„— пскоторыс параметры; а,~ 0; О < х„<' /, б а -;- я. щ!л (хм 1 — х,). 1)редпг локсия, я~о иак взасст ю реп~сине 1',(х, х„) влнюо уращщивя, удовлетворщогцсе том ясе ьр.юным услощщм (2,241 и аавлсщцсе от параметров а н х а Уапюжкм уравнение (122')) иа 1., а уравнение (3,24), где вместо 1' щщсаинлсло 1', иа Л', вы итси вго)мщ и ~ первого и проинтегрируем раащюгь ио пнаервдлу (О, т).
()олучим ~, (РХ)' У, — (р У,.)' Л') ~х=- = — ) 1У, (х, х„) у" (х) — Л' (х) д. (х, х,)~ т(х Так как фуиклил Х(х) и У, (х, х,) обраигаются в пуль ин колпак проис;кугка интегрирование, го лсввя часть равен. с~ил ращщ нуаио, в чем нетрудно убедиться, произведи двукратное ~п".гсгрирование по част~ил ) (рЛ"1 1',аах —.— — рЛ" Уаы — ) РЛ" Уг дх=— г а О ==-.— рУ,Х) + ~ (р1;)' Хох= ~ (рУ.)' Ла(х. , И уравнении (3,2 Ь правая часть имеет две точки разрыва пср- Е кого ролл: х=х„.г -,—. арвщю докааааь, что есле л >О, то с)щея савуст смпгствеииое Реюсиие уравксиик (3,2ля уловао1ВОРЯ1ОщеЕ краевым тслослям (2,211 и испр"рыщюс вмесае с г1арчой производной ла стрелке о.т х..' д В~о(аак ироиаьоднаи имеет разрывы первого рода ирк х "" ха 205 игимс~ии!ие Фжиь'гии !ч'ииь Следовательно, ~ У,(х, х,)у'(х) г)х-=- ~.", (х, х ) Л 1х) гух=-.— Π— — Л(х)с'х == "рв,) 16.2:1) е "Р ' Гслп ггредголояоиь, жо ири е ° О фуикииг 1;,(х, х ) сарсчигся равномсрио по х ь искмо(к4 предельной фуикпии (обозна игм се б '(х, х,)), ~ о, совсрииев перевод к пределу ирн е —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
