И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Ыигюмальное значение будет ство и то те; только во втором глу !Бе вкстрсмалыгаа функция будет якределсна с точностью до постовюгого мновгитслг!. б. Длв дальнебню о исследовании собствеюгых значений и собственных ф)н!гний вывсвим, квк изменя!отсв собстнсвныс значении нри нзмгвгенив козффцциептгв уравнеюв! (1,22) и отрезка, на и:гором рассматрннаютсв рщиеиив, а) При излгенении нов(кери!!центов р (х) и гу (х) в определеннрго сторону собственные ана кения лгенгиотгл в ту лге сторону.
Точнее, если имеем двз уравве!Ию (рХ')' — дХ+ ),рХ е= О, (рах )' — о х+ ~рх =- о, причем р(х) ~р" (х), ()(х) =".г)в(х), тО )„~У„, где 1е и к„— соотвстетвснно Л-с СобствсюгыЕ значении первого и втсрого уравнений. к) Та!! как 1,(1, ( ... (1т !2 И. Г. Петрееекиа 178 (гл. и гипегиолическне эглвньнпя Доказательстао понос(голе«пенно ни«екает пз того, что 1 О(Х)= — ~ (рЛ"'+ с)Х') с(х=- ~ (1 зЛ' + ~аЛ")с!х= — ЕР (Х). и ь й (Х) —.= ЕР (Х), а П(Х) === Пе (Л'). Поэтому У>(Л) Хн (Л') Й~л0=' тр Ф) ' (11,22) Всякая фупкиня Х(х), уловлегнорякнная услоаиям (9,22) при некоторых е '(х), булст улоалстзоркгь аналоги палым условиям гг ~ р' (х) „; (х) Л' (х) с)х =..;- О, о если положи1ь ю, (х)= — - —,— ю (г), о (х) Эс1х) '' Отсюаа и из нерааснства (11,22) заклк1часы, что с (Т ° ~ — ) =' ) ' (Ф: ° ° ° '": — ). А так как ря (х) .:=.
р (х) > р,:- О, то совокупность всех («,(х), ..., ~у„(х)) совпалет с союкушюсзью нсех 0о,(х), ..., (э, (х)) н потому 1„=-).,„. в) При утеньтснии отрезют )О, 11 собственные значении не убь~вают. Точнее, есгт в рассматрнвасхвй нами залаче о собственных значениях отрезок (О, 1) замстггь отрезком )О, Р), гле Р 1, н собстзсюнчс зпа ~ения позой залачи обозначить через ),е, то ) =--1,.
Дсйстнп.гельнс, 1'(;, , ~) ,), ко~орое играет роль ) (~о ..., «„ ,) а новой з;па~с, бухе« совизлать с минину. Поэтому У(юо ...„в,,) =-. са (о„..., о„,,), так как класс допустимых функиий Х(х) нс изменился, я следовательно, ) „=== ),„. б) При изокенении ноэфср)ициенгли р (х) е определенную сторону собстгеннме значения тениюлгся в лротиаодолозхную сглорону. Пусть р(х) ~ р" (х), а остальные коэффипиенты уравнения не изменены. Тогла лля исакова функгит Х(х) 9 22; овгшн спзнствь совсгш нных ешнцгнй 179 мом с)цнлш«~ ~з н сЗ(Л), ~ нр: зслг ш«г ~ з и оцьз«а (6, если ~ ровс условий (',22) и (0,2') нз к:шсс допустим„гс функций Х(х) оз.южвюь нпгс трсбовапис Х(х): — 0 врн 1'--..
х::=:.1. 1(о при уснлс ши услсш«й1 умсш,шастсв класс лопустпмых функций, и мииннум фувкекшвла ьюжсз только увсли ~птьсв ' ). Следовв тельно, хи ((зо ..., («,,) =.- ь (сзм ..., ю„ А позгону н )„-,-:.-.),ш Об! шгшшь «: конкрстпому црнн ру, рассмотрсниому в 5 20, ьим но,кс м вывссз н отшода изш.с ~ ную свгшь между длш ой с1рувы н высотой сс осповно!о топз: чсм гооочв том больше частоза ес собствснных кшшбзнпй ~рз;знав тсм вышс издввасмый сю звук.
б. (хвшршеншз твм жс «с~о.цз«ц каким мы нссвсдовз из собствснныс знз кшзв шш урзвнснзш (1,22) прн красных ус:ишихх (5,22) Л'(О) .= —. О, Х(1) =- О, можно нсслсдовшгь собствснные значсниа для уршшснии (1,22) при крзсвых условпвх Х'(О)=-:О, Х'(1)=0, (12,22) илн прн краевых условшя Х'(О) — а«Х((З) =-О, Х' (1)+а Х(1) =О, (13 22) где аю:== Г) н аз -=-- О, или иРн»«Равном ) слнш'и одного нз указанных алесь типов ва озшм кшщс интервала (О, 1) и другого типа гш другом кюшс.
Основной теорс ьой, да~сиге)з в >зможнос~ь псслсл~ вать собсгвснныо зпзчспна прн красных услошшх (!3,22), инлвстси следую:цзя теорснз, анвлогичнзп творцов нункз.з 4: Пустль (з, (х) н(, (хй, о„, (х) — и1,ои, вольнов сизин ша нги)ю)зывньзх груни!!ий нп ою),езнз (О, 1(. Ооолнинизх «) Трсбуя от иепрерьшиых вз,'О. О «масле с вх первыми з«з ив прои шолкыми ф) нкпнн Х Сх), ~ ~осы гш«сорашззнсь в в)зц вон !." .: х --' з, мы зсм:зчым ~ресзусш ч швы прв х !«' оврзшв ~ в нул~ не зол««о гзмз фзнкцвв 'Л Гх), во и вв пс1звгзв .хе ирои.шо— иыс.
Ознлко «шжио «возков, чго зто дополнится иов трсвовзлос вс мепвсг кнввь~З мз !>(Х) пз огрсзкс (О, зь). 150 (гл. и гиcьгволическнв увлвиьння четее 1((ь„, ..., ~„,,) лагннлгулг фднкиионала ~(рХ' -) оХ')дх+а р(0)Х'(О', +игр(1)Х'И) (14,22) ь в классе двахкды непрерывно дифферениируелгых функиии, удовлстворлгоисих следугогии н услоеиллк ! Н (Х) =-.
1, ~ р~Х с(х =".- 0 (( = 1, 2,, и — 1). (1522) 7огда и-е собственное значение ь для расслгатриваелгой лсгдачи о собственных зназснилх равно верхнеи грани значении ), (~„..., ы„,) лри всевозлгожнолг выборе функииб ув и линг» бы они оставались негу~ерывнылги. Пользуясь в~ой теоремой, можно так гкс, как и в случае закрепленных концов, исследовать зависимость собственных значений от р(х)„с(х), р(х), о„о„й Если за функции ио ..., в„, нринять первые и — 1 собственные функции Л'„ ..., Х„ , рассматриваемой задачи, то функция, дающая минимум функционала (14,22) при условиях (15,22), будет л-й собственной функцией втой задачи, а минимум функш1онала будет ее л-и собствсш|ым значением. Если о,=.О и о,.=0, то мы придем к задаче о собственных значениях для уравнения (1,22) ири крзсвых условиях (12,22).
В атом случае л-я собственная функция будет давать минимум с)(Х) в классе дважды непрерывно диффсрешгнруеь~ых функций, удовлетворяющих таким жс условиям 1 Н(Х)=-=1, ~ рЛ'Хс(х=О („~=1, 2, ..., п — 1), где Х„ ..., Л'„ , — первые собственныс функции втой задачи, как и в случае закрепленных концов. Но теперь от допустимых функций не требуется, чтобы они удовлетворяли какому-либо условию на концах интервала (О, 7).
Функция, решающая зту варнационную задачу, автоиатически удовлетворяет условиям (12,22). Это «свободная задача». Оца соответствует колебаниям с»рунге, которая свободна, т. с. не закреплена на концах. Нацомннки однако, что, когда мы говорим, что струна нс згяренлеиа на концах, зто значит 1олько, что зтн концы мо~ут как угодно двигаться по прямой, нсрненднкуля)июй к аоложенщо равновесия струны, но а 22) овщив свойства совсгввнных ехикций 181 Рт*к "' ~1~п к ~ ~ ) Рпчлх Р„инЛ- — 7,„1лХ+ Л„.„,Х = О. Из результатов п. 5 следует, что Л„Л„Лгн (18,22) где Л„ и Л„ — соответственно л-е собственные значения уравнений (16,22) и (17,22). Но уравпешш (16,22) и (17,22) пптегрируютси в конечном пиле, и зпзчения ),„нЛ„могугбы~ь то ~но вычислены.
Решен, шшример, (16,22) и находи шстное решение етого урзвнснив из условий Х(0).==Х(7) -=-О, мы получим (16,22) (17,22) г г ~.~Равд %вы " ". гам~ Отсюда Л„=-- С,п + С, где С, н б„не ззвисяг от зто отнюдь не значит, что зги концы могут сблихгатьсз вдоль положении равновесия. Если от допустимых фушкцпй не зребозагь непрерывности в какой-нибудь внутренней то п<е с ннтсрвзла (О, 7), то класс допустимых функпий рзсширнегся; Л(~7„1аы ..., м„,), а следовательно, и Л„от этого может только умепьпшгьси.
Соответствук~пгий зон, издавзсмый струной, понизитсз. Это соответствует разрыву струны в какой-либо внутренней точке с. Тогда концы обеих частей струны„ оставаясь пз одной и той же примой, перпендикулярной к положению неподвшкной натипутой с~руны, могут свободно передвигаться по втой прямой.
Соответствующая собственная функции Х, будет иметь в точке с разрыв первого рода; прв агом будет Х„(с + 0) — — 0 и Х„(с — 0) = О. Из предыдущего следует, ~то тоны струны при атом понизятси по срзвнению с соответстзуюпгимн тонами целой струны. 7. Мы ограничимся опять рассмотрением краевых условий вида (5,22), так как в других случзпх можно применить совершенно аналогичные рассуждения. )Ладим оценку Л„ в зависимости от л.
Обозначим максимумы функций р (х), г7(х) и р(х) на отрезке (О, 7) соответственно через р„,,„, д „, р„„„, а минимумы — через р г),„пн р ы и рассмотрим параду с уравнением (1,22) два уравнения с постоянными козффициснгзми (гл. ! !ппьгьолнчгскнг углапьнив Лк алгги гпо ),,==с,л +г, Подставлав зги значсчпп~ в (18,22), мы почучнм с, л' + с,:=-. 'а, -.= С, и' + С,. (19,22) а.—.—.- ~ и (х) с!х, и == -; — Х 1 - Йх) (20,22) Полбсрсм функгпн с'(х) 0 и ф(х): 0 тзкии образом, чтобы уравнение (1,22) после замены (20,22) псрсгпло в уран~~ение а" (а ) т- ) и ==- !2 ( а) и. (21,22) Произвозгв попс.~ апсяку (20,22) при пр изволь.пах функнивк <у(х) и Ь(х), мы от уравнении (1,22) перс!)аем к уравнсвпю и'и 1.,",,Л) +тр р гГп,, 1 "-Π— (р Л) 'т"'тл и» чсв т ю Рлаберем теперь фупкпни у(х) и ф(х) так, ~гебы зто уравнение имел ~ гпл (21,22)..'(ла етого нуткпо опрслелить функции ~а(х) и Су(х) из системы уравнслн и -.; =1, (ужр)'+Д'л=-о.
7 "л Роппв азу систему, получим Ф= глс с — — прг взвел~ пак пос~ояннак. Поз гому мы вынем, например, ьппююб с )у -' 1., а-== г, ср Х (22» ) Отскьза слслует., н ~астностн, нсогран ~ юн .ос возрастание собствсннык значснпб прн л — ° сю. 8.
Исслелуем таперь повеление собственных функпий прн возрастании л. Дла згого упростим уравнение (1,22) путем замены х 221 озьцив своЙ/и ВА Гоьс/в!липах Функций получить уравнение (21,22); УЙ(в) здесь непрерывная функцюц сслн р' (х) и р (х) непрерывны, так как е/гс!/р =к=0. Реп/е/юе урзюзс/пы (21,22) мь/ ло,окны искать на интервале /г з 0 с, в с /, гдс / =. )/' -' — //х.
Крзевь/е условия для и(а), кзк легко вилен, останутся те яге, что и для Л'(х): и(0) =О, и(/,):.—.- О. Если Л',(л) — с////с/вьнная фуикюы урзвнсния (1,22), соотВетствУю//гав сг/бс!Всю/омУ значению )чп то этомУ /ке собстве/юому зна и'нию сооз ветству от собс/ всю/з// функция и„ уравнен/и (21,22). Если ') рЛ,//'лу = — 1, то, кзк легко убедиться, л и,',. (У)//У ==- 1. (23,22) л(злим асимптотичсские форт/улы д/н/ и„(з) прн л — сю.
Твк кз«иас /итересует поводе/юе и„(а) прн больных л, /о иа оыюванин (10),22) мы можем рассматривать только поло/кисе//нные А/В Рассногрпч неоднородное уравнение относительно функции;(з) -) 1, .—..и(У)//, Л'- О, (24,22) где и (з) есть !'спю/юе уравнения (21,22) при том ясе )г.
Упав//е///ге (24.22) имеет обсцсс рсюение х(з)=С1соз)' /х+с,з!п)' )' У+ ! + . 1/лэ(т) и(т) В!П )/ у (З вЂ” т)Г)тв). )/ ! и' (О! Ес//и поло///г/ть С, =-и(О) и С, =-= .', то г(у) будет //ри '/ Ом., //,и/!///ме!/„м////:,Л.княн /ю ге /рю о/'ыкповсю!ых лнффсре//ц/ы////иях ур ыивнЫЬ, 1 о ге~//лы/. 1Л/ ", ьгр. ! /л (гл. и гипвгаоличьскнв угавнвния а = О удовлетворять тем же начальным условиям, что и л(а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
