И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Для линейного уравнения ди , ди д 1 г = 0 решение задачи Коши с начальным условием и(0, х) ==у(х) (10,16) и решение с начальным условием и(0, х) =ф(х) (11,16) ооределсны однозначно во всех точках полуолоскости 7 ~ О. В точках нрямой х — 1-.= 0 зги решения имеют разрыв а). Для нелинейного уравнения дп .
ди и — + —,-=0 решения зада и~ Колич с начальными условияии (10,16) и (11,16) не онрелелсны очнозоачно да>хе в сколь угодно малой окрестности ириной 1= — О, на которой заданы начальные условия. действительно, проведем в нространствс (К х, и) через то нги (О, х, и(О, х)) характеристики уравнешш (12,16).
Эти О Рз1рывлые роше~ноя линейных гиперболических систем нсслеаоганы в рабонх Сон гав1, Ва х, Ргос. 7(аГ. Асад. Бсь ЮА 42:11 (1956), 672- -676. (гл, и с!оотг!'ели'и с!м! 'глв и иия х р и ! "ри~ !!' ! яя !яются поячымя, пзрзлгюльи!Ах!я пло' кос ги (6 х)'). Есю и(0. х) р(х) !о ~!роек!и!ч ятях х!рзьтсри с гик из пюыкос!ь (6 х) ги!крываот все то оги иоу!уит!!!скости у;~(у. Гочки !юлас;и бу, лс,кюцсй мелтду прямьи!и х — !=О и х + г ..
о, !юьр зяаатсв прося!сними этих хзрзктсристпк дя !жлы и при!ом с р;!зличныти! зиз июнями и (рпс. 6). О! я ! ! ле!ко: !сть, ч!о рсас!юс и(г, х) в зон!их, летка!иих хюы гу и(вои!,!и х — ! 0 я х-ЕГ О, нс мо!ке! оирел, литься оуюо ! !зче !к го челы!ому условию. Ряс. 7. рж. !, Если и (О, х) -'. (тй то проски!ги хзрзктсристик урзв!!сии !,10,16), ир !ююя !гнх !срез !о !ьи (О, х, ):(х)1 в ир!ус!рзи !вс (Г х, и), и . рывзку! только !!,ки. ис ирннздлсазисле оплот!и 6! (рид 7), т.
е. реюсиис не моткст быуь ю р делсгю ио !ю !злююму условао в точках, )!аспид!у!!!си;и,!х ыс!!о!у и(лми-!хи! .! — ! =.-0 и х+! =О. 'Гасит! обрззот!, чтобь! одиозна:!но определить регдеюге зздз !и Ко!ои в ио!уплоскост!я ! >О для иегп!нсйиу!о урзвне!ав (12,!6) с н:! уз:ьными усу!овияхи! (10,16) иля (11,16), необх.!тгяз!о !ю-новояу поставить залечу Косин. 'Гзк,,глп гю!сроолпческой ю!стены урзгупеияй, ошгсь!- вз!ои!сй од !гувер~ ос лепя!ение г,! уз, вводя гся дополни гель !ыс сею! ю!юе!юя х!ся! уу яскояыяи функцил!ми нз лиюгвх ру!яры!уз. Эг,! гипербо!в !ескзи системз бьосз ясследоя!из Римзиот!:'). 0 !неко нс в с укзу,и!ные Римзгии! доно и!и!ельныс условия !ы юггяях рззрывз выиолнюогся для рс,!лысых ф!юических и голе!сов.
Сосу исшеиь!я нз ли!снях разрыве для этой гииср- '1 Хзрзктсрис!ччз урзы!ения г!2,10), прохоюазя,ерсз то'!ку 10, к„, и !0, х)1, затеется урю иевиямя и = а (О, х), х ==и:О, х! ! + х„. Ся И. Г Г! втр ~ в с к яд, .".сваю ио моряк од:гкиовсииых уунгрф:и! ии!юнионах урзвяе!!яй. 1 !ктсхи:!хг!т, 1962, ' 05, ~ Ь р,! я ! .! р!гяр! !рзиеивн выздуюяы! вою с коне юой ,!н!ыаб гой. !'о ! юеяяя, 1'о' ич вы, !, 104Ь'. !6) овзог ос«овкых елктов в т~:.о«ив зхллчя |к кш 113 боли !вской с| стемы быш; !«р,к«ил«к!«« .*,«г,|з|!««ь! 1 |ш.оюк "). Эти соопк ше|шя можко |ю |у и|! |ь ршизя слег«му урзвяекю), ояисыяшо|цих лвяжские !.азз с у |стоя гызлюстя к гсюг«о,|ргь гюлности, и у|премшш к«|эффиц|иеягь! ш|зкостк я тсилояроволкости к кушо. Учет вязкое п! и тс|аокргкюляости соответствует ввезсш|ю в систем«урзвксяяй игре|же гор«яке произвг|дкых глтг«)ло!'о !«««1«я!|из, с«р|с)«к«к|их в кз светке коэффициент« малый гк|рг«л|етр.
Можно оирслшшть решеиие зззз:|и Ко!к« л:а ур,|ю с иш (12,16) с изчзлшиш «слов«ем кри г=;. О кзк |рсл!сл ири в, стрел!як«ел!си к иулю, реи|еш|й урзвяекю| гяи Ои, ди с тем жс из'шлш|ым услоя|к|м крк 1=.—:О. При эгоя рск|шше задачи Коши коже," быть рззрышк«й фу||ю«;ей. 11«! иш.ю рз|рывз рсшсяия ур, вкеяия (12,16) «улуг вывозки||,«я услош|я и)К «+ О) . и |~., х — - О) (У ~ О) ах п|0 х.! О! ', я)Г, х — О) Ь 2 лх где -- — тангенс угля ««иклу кзсз толькой к лизки рззрыяз «г! к осью О игх+ О), игх.— О) ошш|з|ог соогястс|яск|к| !редел сярзш| и ирелел слева в то|«с д фу«!с!««к«ийс«!. Роше«кем зз !шли Коши в колю!1 |юг! |«ояке зля урзвксяш! 112,16) с кз |злш|ым уело««см «1С|,16) я«!жегся фу|якши и)г, х), рзвязя 1, если х<.
О, и рзвкзл! — 1, если х "ъ)Х Решением залзчи Кшки в яояю) «|о«|д«|ся|ке с гш шлькым условяся 111,16) являе|ся фуи«аш иК, х), равны 1, «с ш х — 1) О, и равиля — 1, селя х ). Г:" О. В кзжлой го |к«! колуилоскости 1 ". О, р«сяс!г!««жск«««рк я г«г)л,«с|и Я, т. е. между ирямыми х- — 1=0 и х+1=-0, ф«яьшш иц, к) рзя ю ззкгеясу угла кзклоиз к ося 1 орямок, сося!юмом|ей лзю!«ю точку с кз клок коорлшязт. Рзсшмквкс!шс «роек«ил хзрю<|еристик, лежзцшх кз этом решскяи, «у«гзззк«л из рис.
6. ") лй Д. Л |язву и 11, М, Л«фш«к, Мглзшкз силск|шых сред, Го«!«|х!«д!«з«, 1051, Гииегаоличьскив углниания (гл. !1 Построенная функция и(1, х) непрерывна ион 1) О. Ин ~ росно отметить, что в указанной постановке задача 1(ошн ноже~ и»н ть нен е~ывное сшенис Р 1 р ь»й~ч ~..., ... » ..,... при наличии разрыва в на шль. »»4:;$:,,' » ',~()~ (;с,': '' ':. Вслн рассматривать глаш кне начальныс услогшя, то лл» а — и .т ляминых ~ш,ерболичсских уравнений гладкое решение буРис. Ы. дет определяться из ~альнытн» условннми во всех !очках нолуплоскости 7) О для всех начальных условий, есгш козффициенты подчинены определенным ограничениям Длн нелинейных гиперболических уравнений гладкое решение существусг, как правило, только в малой окрестности лилин, где заданы начальные условия.
Это обстоятельство также приводит к необходимости рассматривать разрывные решения нелинейных гиперболических уравнений. Основная задача при изучении разрывных регнений нелинейных гиперболических систем состои» н тнм, чтобы оорсделить класс функций, в котором существуег единственное обобщенное решение аадачи Коши, непрерывно зависящее в определенном смысле от начальных данным Этот воорос хорошо изучен для общего кназнлгн»ейного уравнении первого порядка"). Оказывается, что качественныс свойсгва обобщенных решений такого уравнения н»нснюнаю~ свойства решений системы уравнений газовой дзнаникн. Простейшее квазилинейное уравнение первого норядка да, (к)(л) дт 1 дх часто называют поэтому жос1сллньсм уравнением газовой динамики.
Вопрос о разрывных решениях нелннсй ых гнпсрболн ~вских систем пока еще мало изучен н»).:9» от вонрос представляет большой теоретический интерес и имеет важное прикладное значение. "1 О. А. Олей и и к, Успехи нагом нау» 12.3 (!927), 3--7З; см. также Успехи матем. наук !4:2 (!9291, 199- 170. ка) Обзор некоторых относящихся сюла ре. гль~атов н ры»срнута» иосганоз»а рялэ ззлач нмеюш» в стазье 1(»1 1 альф а ила в кУсиехах математических наука, !4;2 (!929), Ы вЂ” !оз. 17нэ 17) ввел!энж елздьл п КОЛЕЬЛ!!ИЯ О!'РЛНИ>1ЕННЫ71 ТЕЛ (1 17.
Введение 1. Прсчгыдущнй раздел глазы 2 был гюсщнце > зз л,>ч>с )0 щи. 1!аще главное ппиманпе было;дельно з тнов>юу уравнспгно (1>!3), которому подчищпы колебания од >оролных изотропных упругих тел. К задаче 1(оп н сводится пзу !ецце фу>жции и(1, хп ..., х,), характе!эизуклцег! згп к>элсбан~и в точках (х„х„..., хл) при 7, досзагочно б.знаком к начальному моменту.
! ак как значгмще рещеннн и(0 л, ..., л',>) уравнения (1,13) в всрп>нпе р>(1, л„..., х„) ларзктс!элегического конуса вполне опрсделястси зна >синими начальных функций (с, и 7, на основании С всего конуса, то при изучении и(1, х„..., х„) можно не принпщль в рас ~сг влгпщпя границы до тех пор, пока Ср не выходи! пз тоР области, гдс заданы фУнгпщи (с, и >7о т. е. >гол > Ср ~>с г:сР:ссьзет границы тела. Р атом смысле можно сказать, что в предыдущем разделе мы изучали колебания бссьонсчпых илн безгрвщчных тел.
В настоящем рзздслс мы булем нзучз1ь ьоле6з>пгя тел, у ппывзя влияние пх гранюь Йгрспи щнсжсь опять >ы) синем колебав ий однородных нзотроп>~ых тел, мы придем к зщз п>е нахождения решснвй урзппепгп! удпвлегво!э>попп1х при 1= 0 нигалсчль>с ус гп>п>сгг н л!О. хо ..., х,,)=.;7 (т„., х !, (2,17) и, (О, х„..., л„! —.;, (> „, „,, х„), точка (х,, ..., х„) нрщнзл'щ:*кпг зздзщщй гбзасгп 1>, и ,щчзп>~ым при всех 7 нз грщецс Й з7>анплн»>лс пслпзь>тэь Мь> бу- дем расс»э, рн >а г>, только олноролщгс > рз щ еь>с, с «жпя вила и =--(>, > л, 1'7), -О, >П $ дл еи ..-О, ! 1,17)а !О и ' пыль> кла (гл и гиги гболичсскиа углвнеиия глс о есть некоторая не завнсянгая от 1 нсотряиательная д нснрсрывизя функиия, заданная за граниие сг, и -- означает дп лифферениирование по наоравлснщо внешней нориали к гра1ни~с б (ср.
й 1). Некоторые физические задачи, на ~рикер задачи о колебаниях неоднородных уиругих тел, «риводятся к нзхожлсю ю при тех же граничных условиях (3,17) и из ~альных условиях (2,17) рви~с~яд) уравнений вида снл, г1 7 да~ — ~ р — — — ди+,~. с)р .~ дх,улдх,у 1= 1 (4,17) Тзк кзк вочновое уравнение (1,17) н )рзвнсппе (4,17) не изисч|якися, сслн 1 замьипь на — г, чо рассуждения, которые иы буден ориводить л "ю решений ззнх уравнений при 1 " О, будут также сгравеллнвы н для г'с" О.
Зада ш нахо»слеюш решения уравнсю|я (4,17) ири на'ю ~нных условиях (2,17) и олнои из граничных условий (3,17) называется слсегианноп еодагеи. Весь нзс~оягций раздел главы 2 будет иосвгннсн этой зада ю. 2. Смешанная зада ~а не является слинстве~нюй возиокной залзчей для уравнения (1,17) или (4,17) в огран|юснной области. Практические вопроси часто ирнволят к друч нм взлаяли лля этих урзвнсний.
Укзжси рял тзких задач лля иростсй~пего уравнение дс!с дхи (5,17! дгс дх' 1) 3 а л а ~ з Г у р с з. I(айти решение уравнения (5,17) ио его зносения.я но с'аух кусках характеристигс. На огрезке ОА (рнс. 9) характеристики 1-1 — х=-О и (», х) == о (х). На отрезке ОБ хзракгсрисгнкн 1 — х==-О и(Г, х) =--ф(х). Здесь р, ро о и У вЂ” иекоторыс лостато ~но гладкие фу~ югни оз хл, прнчси обычно р.."р, С', р, »ул„~О; д:иО 17) вв!'яки!!Р Для исирерывиостп рсгиетгя пря атом требуется, чтобы выло!и!яг!ось условие ъ (О) = ф (О) (см.
С. Л, С и о о л е в, урзвис!!ия матечзт ! гес!сой физики, Гск гсхизлгт, 1!554, стр, 63--67!. 2) Па!!!си! рея!якие уравксяия (5,17), если вадики его вкаяския ка отретсе ОВ хара!с!!!с/!ггсглггюс /=-.х и ко вмходяигег) из тоти О ликии /., леясаи!еяг внутри угла. об/згго Ряс. 10 1|ис. О волок!гого хгг/ягктгге/оггсглихяг.игг /= — ! х, и с!!влада!од!од те.и своя!ствол, что хазядая, хара!сто! исти!го /==-х+С дерег!- колл Е в ос!кой точке (рис. 16!. с(итт!!сл!, макет реви!тг, синс!оигслык зы! зздзчи, пользу!!сь ирслстзвлсттм рлис !ия (5,17) в вндс и(/.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
