И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 21
Текст из файла (страница 21)
а,х) +а,х., -',-а,х,, исрсйдст в а,)"-ха,х +а,.с".+ + а,х",-Г»-1» и а', .— а,"-)- а»,,' +»,', (»).1: ) 1)п»гз»»гсог, ч». » координаты г»', х",, х",, х'," получжотся вз )', х,, Хо п(лоб)»ззонзннеы ЛОРсч»из и пе)бекасом»':ч:!л'г кооод:»»»»»т. Переносом изчзлз мы можем з»»о»еь»гт ь в ордннзты х„ х,', х', из тзкне ко»рлнизты »; х,.
зо, х„ ко»ор»,е связзны с т', х„х„х) сднородиымк линейпыыя урзггненг»»»ои» х» = ~ а; (3,'х» (».=.О, 1, 2, й). (5,1й») — о Пусгь теперь ф)»»коня»г(а,х.,-Л-г»,х, +а,х. +аох.,) переход»:т»» функщгю ) (аох +а.,х, -) а,х +а.х ); »!,»»»»оио е лн»псле»г„и„»»„»», удовле» зоря»ог со»отногпен»г»о о и, ».о*го»ооой [гл. и юп~ . ноля пгскяв гп лвнения аг- -а, а, --аг -. О, ГО Л,, а„а,г аг УГГОВЛСгеп)ЗЯЮт ЗНЗ- лоюнюому соо ~ ион генгнн а,г — — а., - — а,г — а,* = 0 ..гдесь (а„а„ а„а,) — лрогсззггльння системз чисел, удовлетворяющая уравнсщкп (3,!5), з а„, а,, а„а,— соответствующая система чисел после пре гбрззовзнигг (5,15). Покзхгегя что отсгодз следует, ыо '(5,15) дзс~ прсобрззовзюге Лорсппз для коэффициентов ан т.
с. Дсйствитслгнго, для нреобрззовзнгы переменных а, при поде гзнонк (5,15) вообню имеет место форлгулз аг аг==2~ ГЕГАМ(12) а ар (6,!5) г, г=г Покажем сначала, что гггг. (о) а. а,::е а (Р) (аг — а, аг — а ). Лейстнитсль ю, нз (7,15) г ~~ ггп (5) а, аг = — 0 г', гг.
2 дол жнгг сг~едоезтг г 2 (8,15) (9,15) и обрзтно, т. е. поверхносгн в чсгырехисрном пространстве (а„ а„ а„ а,), опрелслсищяе урзвненпимн (с,15) и (й,15), дол. я,ны совладать между собой. У!егко ~гокзззч ь, что при ятом имеет место формуле (7,!5). Сведовзтельно, а,',--а, — а,.' — а,=й(н) (а„— а, — а, — а, ). й(5).й( — ())=1. г)о, с другой стороны, в силу рзвнопрзвностк обеих систем, д((1)=-й( — й), следонзгслыю, й(5) = и !. Если расс,ытрггв.гть дви,кение первой скстсмы огноситсльно юъроя, которое будет происходить со скоростью — )1, то згылогн гно получим '2 'г 'г 2 2 2 2 2 а.„— а, — а, — а, =а( — р~) (а,' — а,— а,— а,), откупе 1(А щ гог огагыщхх ьххььььь н гьоьщ; .1хлыьг ь.ьщн 1Л1 мснныс с, ьлщхс ьщгпьсрь' ыоьгь щи:с1 и; ну ыр; осаь,ьзь ~ьаь,ьно, то ьисщ ььщьсо: н щнхусо: у ьзььлратьгьь, ьь( фььр,,ьы 1.г а, ь: хьсьяьет иььхип ььгя.
Иоььому 11( 5 =- 1 и фь гщ; и, — а, — -ы...— а, ььс доляьыа кьмещ.ььгя при ьрс:бран ыьцьнь,'5,1515 Слсдоаь тсльщь:ьто преосьрьхьгьваиие перст сььыь:.х ьо ссьь, гщгьбрзхьыа иис Лсрыьца. Лннсйысье преобразоьнньье, ь гьлюмь ~ьолььс(ыьь ьотся исреме. ные аг при прсобрьзоь,.ы;ьььь ('ь1,1ь ьыл хь,:ьгипге ыь матрнцсй, обрвтьщй и грансьн, лр«ьиг,ьщь к ыатрьыа (5,151. Нсь тогда свою 1 реобразов,ью с (5,1,11 ьаь,'нь егьь ь;рсьь.ьразоваьщс Лорьлиьа (схь. коь ец п. 1 ць а 1М, ьто н ьрг15» аьлььсь дь щ.ь За ть. ф 16. Обзор основных фактов в теории задачи (хопщ и некоторые исслед11вапьья для общих гиперболических уравнений До снх пор мы 1 торн:щ г зьхлз:с ць и и сля волнонгььть уравнения (1,121. В вьохь 1 арь графе.
нс !и ин. щ дь к.ь щ ь с ььс в, мы дади'1 краткий об:ьор ььн; н ььх ф:ькьо *. 1езрии задачи Копьк лая общих гипербьыь н .кььх у1х:нь~сньыь ((рь зтгм в . сьщин я нащс вьщмню". 1 ы г сосрьгдь ьо и и» л лыыгйььых ураььнсянях яторгао поря.'»;а, 1. Ливень,ос урзщ:ещщ дл х х хь1 дх,г)х + .~ '' 11111.ь., ь,1 —.Ь 1... Ь '1а Л, -:.-1 п --'- 1'Л (1,115 Г Гдс КОГь11Х(ЬИцяЕььтья Аар А.ь. ь1, 11, 1.
и В -- Ьрь ИЫЬЬЬПЬ ОГ Ц х„, х„, яы бу ьем 1азьн.":,-«бгильГ 1лаььаььсхаз; в щь- которой области 51 просграьгстьз (', х„,:„К ссльь выпол- няется следугоьцсе угл ще. Кая;хащ грьхгньяьцььь, ясоез латал~ коОРднна! в дспстпнтсльном п(ньстРзис ге" (1,, 1 ь...., н. 1 прямая доюкна пересекать иоагрхпость 1== Ъ Ао(г, .'.„..., х.(па,+д. 11,Лг 1,, ..., т„ьах ., ь=1 —. 1 ('1 в двУх дснствньсльпых Рвали.ьных гони. х.
Есгььь но ..., 1„ 1нясгвотпнеск1п. угхгнн низ (гл, в уловлстворякл урм п.ню~: (2,1(~), со нз яьнс~снис ~ вверплос кос~в я нросзранс.ю (б хо,, ':,д ы рхым ь которой параллельна вл о~ау (1, я„ , а,), является харзктерис~гь ~секим (см, $ о() Назовем хзрак~еристпяескнм конусом уравнения (1,16) н гонке (у", х",, х",, , х,",) закуя: гн нерхносзь К с коппяе сю н особой го ~кон прн г..-=~' х =.- х, в.о кзсателыгая гинсрплоскость к А в кахслся о ~ке нисе~ хнрактервстпяесязправлсннс. Если 7 ((, к„..,, х„) = —.-О ссгь уравнение поверхности хзргктерястияесгвло конуса (или вообптс какой-нябу д.
характсростняескояз поверхностт (см. Ь 'о)), то фулпагвя Е воланы ул. вле~воря~ь уранненик~ ~Ч',', дс' дР-' „<Ы' дс' Ь,' —,, Гг йх с1х-, 2., 1ь~йг Вх,. я —. а Для ьажлон;ояки ((" .л.",. х,, х,",) ~ 6 нстя 6, где урзво некие (1,16) знгинсрбх;и но, ямсс~ся расино конный в азой об гзсти сдпнст~ енняй хариле1и,сти ~елопв конус с всргнвной в эт~ну то и е, который г сресекасг клкл) ю: нпсрнлоскость : — сояэ( яо некоз .рг й лаана~угой ~и вс~:,хиос ы Ь, если толь ко )(.— Го, 'достато гнс мал.
Этот конус нмссзс с мастью гиг~ернлоскостя г: —.— солят, которзв ограняненз поверхноствво 5, огранвяяваег пекагору.о область К . 1'.слн л- . 1, хзрзьтерлстп гескгй конус вь рождается в две о. ливии l, я (,, выходянгнс вз ~о ~ьв (Г, х,), а основание этого конуса вырождается в отрс.н к п1яьмой г=.-соля!,: аклклсн ный между то осами гересеяснгв этой прямой с ляввзвгв (, я /, 2.
Сунссстнуег заков пылю ь, ззявсянсее ог л, ло нси всех имскяних й ~ снрерыгюых производных функ игах „(х,, ..., х„) и ",~, (х,...., х,), заданных в некоторой б« . 6, г;«ер.' . '.~ У=(„суд- ву т овн непрерывное вместе со всеми его г~ронаволпымн ло '2-го поря,тка нк,но им санно р ~не~ни' г 1 ннсрболн ~есксл о уравнег~ия (1,16)., удо яе~ ноонк:осев,слов гям и',(:„х„..., ., (з,,; ) ~ (3,16) ф 16) оь.ю. о» ию ых еьь»он», ткоюю»а»л и.
»сс»»и»» 13 Это рсиюнне г»прсзсляс»ся ели»»с»»»»»~»зи»брав»»»» уело»»»и»»»»» (3,16) вс всю»он»о»»сс (6 х, .», н сслн огп»ляпни «» рактсригти»сск»ло»со»»~уса с. верин иои в аг».й г»юке»ю: пг »»еликом в»»6лзст»» 61 6»рона еи .срез 0 сс»вс»к)ч»»»ость всех таких точек 1/., х„ Гслн фу»:к»»и» ъ, (.»,,, х,)» и, (»'„...,х,,) вместе со всеми их»»рои,»ьч с»»»»я»»»» ло 6.»-.» ю,редка изменятся дога«»- точно млло, то и с»»»»»в».»ст»»у»о»»»сс рюпе»юс задачи Кс»г~»»» измси»гся мало яо исси орлвстн Со Тзкг»»» о6разом, задача К»»»»»»» д»я»раг»~»е»»»»я (1,161 по. »»»»»с»е»»з»»«орск г»»о.
Для '»»!»»ср!»!ях»»»пс(.оол'»'!»сск»»х урлв»»с»»»»Й с п»»сз»!я»»»»»ми к»»вфф»»»»»»с»»та»»»6 сс»т»ср»к»»и»ех»олю«члею» со втооы ю; ро »»ввод»»ы»»и, Е .= ~; — +2; »6 ср (;о6: лю» . 'ока.»зл, 'ыо с»ля -у)-юв одииих линсрюых урзпне»пй второго»юрял»ю 6 =. )., 1 -(-3; ири Этом прелиолюз»:тся, ыо»сс»вфф»»»а»»»»»ы )рзв»ю»»»н у !- растворяют нсес»то»лам усеоюыи гл»с»»»ос»и, к«серые 6ултг заведомо вьюолю» гься, ес:и псе гнюфф»'ю»е»мы урзвию»»и имеют»»ег»1»ер»,»г»»»»яе»»(»с»»»зп»»д»»»зс лй»»оргон.а ~ —;, ~ . »-2»и*»»ьчитсльно в). 3. 1»1»я»дух»с»» го»»орпт»ь»то зля урзвиюиы (1,16) от».утстпуст диффузия волн в р»»сса»зарьиюехюй»рг»»»са»» 6»»рос»рюн стна (,', х,..., х„), сслп з»»»с юс рсию:пя и азиз»»» 16ю»н в веригине (6 х„...,,»ч ) х»»1»»»с»с(л»ст»»»ссю»го»со»»усз зюю сит только от з»и»чс»»»*1) ъ„(х,..., х,) и, (х,..., х, ),»»ы »»ро»»ввод»»ых ~»» грз»ю»:с г»с»,»т»»юю»~ водо кю»»са при лн 6»л»» рве»»оло»ксипя хзрзкгср»ыто»секес»,о»~усв юг, »ри соласти 66 В протигюом случ;н,чы 6» лом»»юор»мь, ч»»» им»»тся лнфф,- зии»»г»ч»».
Лла"»зр ""') даню )тке ъ»кзз»»т, »л ири ст»юм и и ирн л=-1 всегда иа»естс»» диффуиия всю.». Мат»»сс»а в" т) в 1939 г. исследовал слу»зн л = 3. Он»»аюсл„что при и= 3 все»»пн рбс»ля г»ск»»с»рави«»»ю», . к»»г»»1»~»х огсутс»в»ст лиффуюи»зол» с»оч,"»с," юс ло»»ес)»цест»»»ч»»ых пресюрзло. ю»»н»»й со»пал«юг с )(юн»»с»жсл (1.131; все вти урзв~»с юя '1 С .
11. и ибоя е я, г(с»»» рыс прямы сюм ф»ч»к»»»»»»»»з и нло аюми» в нг»»»»хзгнчсск:4', ф,,юкс, Л., »ии», М»»»с»», соо(юп»; 1»4ч: 1»1(»дги, 3»!» — ?И (гл. и гипягьолнчссьчп: гм ааняпня иг ~гчаггы; я нч урспиюея (1,15) с псмогцькс слелуюгцкх про- стых п1ыга разогни~иск а) замспы исааннснмых пс(мининых, б) лнпгйиюй запань~ фуькггпп и, н) ухиюя:синя обспх ча:гай урааиення на искоторую фуик- иню от 1)адаано устно гнглсго, что прн »набом нсчстном и .= 5 су- иг сгвукгг гпнсрболн ~сскнс ураьненггн, у которых отсутствует лнффуаин во и и котг~рыс пе снолятся к урапнапюо (1,15) с гюмоюью праобразснанкй;качанигмо нида т), 4. Иы в атом иа1ли рафе рассматрнвалн поьа только то~ слу югч, котла условия Каин залаготся на ~ нпсрилоскпс ~ р сопяг. Случай, когла ) с»с~воя Косин залаюзси на какой- иибо крнаой ионярхностн, сводится к атому частному случаго замсгюй незавнснхгых исремснных, если только псе характе- ра -гпческис конусы с лгктато ию блнзкимв к атой;юнсрх- и счев вс1нинн,ии ~нргсска~сы сс ию замю угыч понсрхиостяьг (а — 1) нзхюрсннй 5.
))елннсйнг~с ураннсннс с1Ъ Фг д» вЂ” — (4,15) (5, 16) гггс Л суть юстиьн цг~гапзнг~ги гяь :и» иня (4,15) по,, яы гясленныо ох, Ляг ' »:..»,(1, х„, (г' = —. Г), 1..., л; у == 1, 2, от праной частя у'ранна. прп х,) л„х-„==. г'). '1 5 ~ с11ю а с Ь е ~ Мак. Лн ы1с ~ 1 1И.З ряба чгс-хаз.
назынас.гся в некотогхе области (1 ~~рос ~раис гяа (г, х,...., х 1 г' гилеГ гол»гтгкал пб юзг иекотг~рог) фуикипп» (', х„..., х ), згаагнсй н обласан О, если н ьтсй обласги булат (чггпарбо лнчсскч~м линсйнос )'Оапнсииа 16) оваог осноинык елк!ов в тьо!.ви алдл и! коп!и 136! Для нелвнсйвого уравнекю! (4,16) зада !а Коюи поставлен!а корректно, есле ! ри 1:; )„заа;юы такие условга: и(1„, х„..., х,) =-у„(х,, ..., х ), и! (1„, х„..., х,,).= — (, (х„..., х„), что уравнение (5,16) бутс! бг!и!ерболическнм вбл!!чи фувкнни пл(~, х„..., х„)= е,(~„...,.:„)-1-(1- г„)т,(х„...,.:„), С. Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
