И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Потом Редин из а 1 з згпх графиков передвинуть, как лелос, нз Г, вправо ло напр,!Иленл!о лолоягителы!Ой части ося А, з другой — ла ! алело. После а!ого надо построить !Гоп!Кй 1рафлк, у которого ордипзта лря ьзягггом значении х равна сум!1с ординат лря вгом х ляух переда!гнутых графлков. Г(а черте!как ятям способом пос.росны лримср- ЛЫЕ ! Раф!ЛО! п(О„х), а! --, х, Г ! ! ! и ! —,, х1. п(1, х) (,2 ' (луч к!яром везде нз 1ерчсны волом! гз гель 1ые Графи!Ги„ сплолл1сой ягярлой лпппсй — графики и (Г, х) лри фи!ыиро- ВЗНЯОМ 1). 1оассмотрлм теперь случай, когда !уь(х):†'.= О, а ! я 1 1 п1гн , 'х', у,(х) = О ри (х( .> й .
исследования аогмкл Тогда формула Даламбера примет вид и(1, х) == —,— ) м, (и) ли 1 Длк каждого фиксированного х булст а(й х) -=-О до тех пор, пока интервал (х — 1, х+ 1) ке захватит интервала 1 ! ~ — —, —,— 1, где а,(х)-у=О; л(1 х) будет изкснятьскв тсчюиге того промежутка крекспн, пока увслкчива!ощийся интервал (х — г, х+!) будет покрывать все ббльи~у1о часгь щлервала 1 ! т — —, — 1. после того, как гщтсрвал (х — ! х+!) аакла- 2' 2/' 1 чнт вк)"трь себя вг.'сь питервач ~ — —,, -„- ~, величина и 1й х) »,( ) будсг оставаться неизменно ранкой Р— ) м, (я) г)м, Чтобы получить график, про!1ставлякьщий форму с;руны при различных 1, удобно гюсгупкть следующим образом.
Обозначим через Ф(а) каку1о-го псрвообразкугз фуккигио для м, (а). Тога.а 1 и(1, х) — -=- - (Ф(х+!) — Ф(х --Й1, с)тобы полу пить график и(1, х), вычертим графики фущаигй 1 1 — Ф (х) и — — Ф (х) а загсм кажаый из зтнх граф1и,оа 2 2 передвинем, как целое, иа расстояние ! клоль оси Ох; пер- вый †вле, а второй — вправо. Сложив ордпкагы слккку- тых графиков, мы получки график фуикинн и(1, х). На рис, 4 показана форма струим в иокеиты ! = О 1 ! — — 1. 4' 2' Явление лнффузги1 здесь щяргокастся гз тот!, что точка х, вьп!дя нз положении равкокесюй больщс к иску ис козара щае гся, гипегяоличьския уганнания 1гл. и Функции ~у, (х) и ~у, (х), рассмо гренные в предыдущих примерах, нли сами имеют разрывы ('у, (х)), или разрывы имеют их производные (~у, (х)), Поэтому ии соответствуют обобщенные решения ураянення (14,12).
Чтобы получить обычное дважды непрерывно дифферщщируемое решение этого уравнения, достаточно номе ого изменить графики функций ~у, (х) и ~у, (х) так, чтобы получнлнгь графики функций — — — — Ю,'..Г/ ..- — — — ------- — — — ',шх~ -г -',ЕФ, г1 -а —.е-~ —, 0 а 'ы ряс. 4. с непрерывной второй производной. Для функции ~р, вто можно сделать так, чтобы орлика~а гу,(х) всюду изменилась мало.
Тогда и соответствующее репы~не уравнения (14, 12) всюду мало изменится. При замене гу,(х) непрерыаьой гладкой функцией вто можно сделать так, чтобы гр(х) изменилась сколь угодно мало. Прн атом также и(г, х) всюду мало изменится. й 14. Преобразования Лоренца 1. В й 1 мы упоминаля о том, что выражение л~ ги --„. + — —,+ — —, есть единственная с точностью до посчоянЙх> дх дх ного множителя линейная комбинация вторых производных, не меняющая вила при врагцщщн пространства, т, е. прн 14) освою азоввняя лоеенцл 119 лгобом ортогональном преобразовююи координат х„х„х,. С волновым уравнением д'и д'и д'.и гки дх' дх„' дх" 1 также тесно связан некоторый класс л1и1сйнгях преобразований псременньж 1г', х„х„х,) с дс11ствптслюияьи1 постоянными коэффгиГиситами, ис меняюгцпх вида алого ураяпстю, Рассмотрим их подробнее. Пргобразоаанггеяг яуоренда псремююнх л,„х„х„, х, называется всякое лгпи.йиое одиородиюс преобрззояаюгс втпх иерсыепиых с дсйствгмслыгыми козффициентамп вада у,.=.— ~ а,.
х, ~1=-0„1, 2, 3), ,' =О ири котором квадратпююя форма х я х х — хг — х 'о ' г ' 'в остается нсизмсююй, т. с. имеет в новых переменных юю У вЂ” У~ — У" — У.'. гх„~ «1х., У = 14,11! Прг1 згоя прсобра юваиии лотжио сыно иються т иьдсс~ло У: У' — ~о Легко проверитян что совокугность всех прсобразоваю;й Лгзрсиаа образует ~руопу, у которой групповой опсрэю сй является суперпозиция г11тсобразований 1подстаиовок).
11 иас глости, легко видеть, ~то последовательное .й имсисикс двтх преобразований Лорепца асс~да дает тзк1ке ирсобр.ыоваюк: Лореюга. г)апюцеы формулу для некоторого пзстнся о класса преобразований Лоренца. Рассмотрим иреобразоваю1с, осг;юляюгцее исизыенпымя две из 1рсх последних 1пространсгвсииях) координат. Такое преобразование имеет вид (гл. и гын(еволическ((в зелвняния 11о(тета(ьляя у„и у, из формул (4,14), имссь( (аль + бх,)" — (ех, -1-((х,)' == х( — х,". Отс(ела а( — е' †; 1, гь —.
б' =-- — 1, ио — сб = — О. (5,14) )1(х(внсння(. я част (оста, улоялетя( ря(огс((, если волокам ь а==б=-=,— — -,1 4 1- е(' Р'1::г". гле ) ~" (~1. Мь( лолучим лря атом формулы лля некоторого класса иреобразоваяий Лоренна( к(+ (т:.ь б" 1(1' ((х,ь,'- (., х . Формулы (6,14) яьлглогся весьма сунтестяеннь(ыи, так как мы вокал'ем сей'(ас, что всякое преобразование Лоренца сть нол(бинация ортогонального преобразования перельенных х „х,, хы оставляю(пего х, неазл(енныл(, лреобразовинил вира (6,14) и излкенения зна(еа у каких-нибуоь перелненных (отралгенил). ((усть иск(второе нреобразоваиие Лореннь галана форму- лзмн ( ( ~/,-=о, хь-'(-а х —,а, х а, х, (7,14) г;с(н«б'. 'л о .' а,„,, аь р' но у,( ир(лывелем такое он го(она((ыгае ареооразова (не х х.„ ь х х„, х.„(то(лы вынолнчл;кь равенство а,,г -(-а, х, ((-а х =ах,. Бс.(н, кр чмс тто, х„((олокл(ь равным х„то, как легко $141 ПРЕОВРЛЗОВАННЯ ЛОРСНЦЬ видеть, это преобразование от х„ х„ х„ х, к х„ х„ х„ х, есть преобразование Лоренца.
Подставив в правую часть (7,14) 11СРСЕ»ЕН»»Ь»Е Х, Х», Х,, Х, ПОЛУЧИМ (8,14) Покажем, по ири этом а' с а,'е. Действительно, так кек (8,14) ес».ь преобразование Лоренца, то Уе .У» У» Уе хе Х» -Х» — хе, откуда ,у'+у»+,уе=х, +х» +хе — хе -(-уе (8,14) Положим у, = — О. Тогда х', = — — - х', и тождество (9,14) обращается в тождество по трем переменным У.+У,+У,— ~ — —,1" + .
+ лее/ Правая часть поло»кительна при любык х„х,, х„если х, +х, +х, >О, так как»~з у„=у,=у,=у,=О следует, чтс» х,= — х,=х,=х,=б. Поэтому должно быть 1 — — ",>О, Лее т. с. п а,'е, а Положи~ — = 8 и произведем преобразование Лоренца Л»ее вида (6,1 4) 1 4 11,,1»' х„, л" ,=.—.= х'„. Очевидно, У„РО У„У, бУдУт свнза»»ы с х'„х~, х',.', х,," 122 )гл. и гиггвгволичвскив гвлвнвнив преобрззовзнисм Лоренца, имс1ощим внд 1'0 =: Сха, у С ХО+С Х +С Х +С 1Х (11, ! 4) ГДС, КЗК ЛС1.КО ПОД.ЧИТЗТ!, С ==- ! ) О1", — О'".
!1сли и„, ==а„., =а„= — О, то угкс системз !7,14) имеет вид )11,14). нзй1дсм знзче1щв козффпциентов г, с„„с,„, смг !!олзгзв х",=1, х",=-х'.,'=х",---О, получим Отсгодз 1 =-- с' — с'„— с'„— с„'и с' = !. 1 что х",= —, знвчсннв х",, Полз1 зв у„=.1, »,=-у,= — у,=О, найдем, в х,, х,, х, нме1от некоторые Определенные х".,', х,".
Отсгодз ! -„з 1 = — — х" — х" ,— х", с' 1 1 и с' 1 = с' — с',„— с' — с"„ 10 Гч мы видим, что сн, = с„= — — с„=-- О. Следовательно, преобрзв11взннс !11,14) гнщсг нз самом деле вид У„==-.-', - Х1, у, =- с„х', + с,„х", + с„х,", (12,14) Изменив, если ну1кпо, знзк у координзты х,,', мы получим преобрззовзнпе Лоренца, которое есть просто ортогональное нрсобразовзнис пгрет1енньх х"„ х'„ х'., в у„ у„ у,.
М11 видим, тгнои1 образом, ч'1о самос общее прсобразоьзн11с Лоренсо )7,141, нсрсиодвнгсс псрсмещ1ые хг в»„ есзь рсзульзз1 вослсдовзтсльщлх преобразовзщ1й; ортогонзль- т. е. с' ~ 1. Следовательно, с'.=1 и, возврзццюсь о1гвть к рзвенству д 14,' пгьощ'Авоььггия легенда ног.о, переаодщцсго хг в х,.'; преобразования Лоренца частного югда (б,14), переводюцсго х,' н х",; мспкет быть, изменсщы .азка у х'„' и„наконец, ортогонаггщгог.о преобразования х вуг, г= 1, 2, 3.
Если транспонировать матрицу каждого из этих промегкуточггых преобразований, то мьг снова получим матрицу преобразоващгя такого же зигггг, Отсюда слслует, что лссгпгригиг, гггранспонгг)гованнггя к тавриде преобразования Лоренца, снова еслгь лгатрила ггреобрилосанил Лоренца. Из опредслеющ ггрсобразоваиия Лорщща следуег также, что преобрззоваюгс, обратщге к лорсиисву, тзгсл<е явлается лоренцевым. 2. Дока кем теперь основной факт, юнющвощий теспуго связь г~реобразований Лоренца с волновым уравнением.
Т е о р с м а. Всякое неособое линейное преобразование пеугелсенных г, х„х„х, с деиствилгсльнь ви поспгояннмлггс гсовффициенпгалги, которое не .меняет вида уравнения (1„14), есть колгбинация преобразования Лоренца, переноса навила кооггдинсгт в пространстве (~, х„х„х,) и лугеобразования подобия в втолг пространстве. /!ля упрощения записи положим 1=х,. Утверждение, что нскоторос преобразование кне меняет вида урависиияя, мы понимзем следугощим образом: лгобзя фуикцюг и(х„ х„ х„ х,) (с непрерывными вторыми производными), удовлстиорюогцая уравиениго гяи д'гг смгг д"и дх,', ох, г1ь,' дх; после иреобразовзггня х; в уг г~срекодит в функцию и(у„у„ у„у,), удовлствораощую урависпиго гг'и д'гг д'и д"и Ок', ду, ду, Огсюда следует, что при любом таком преобразовании лгггг ггропзвольггой функции и(х„х„х„х,) имеет место равсгсгио о" и д'и д'и гг'и С д'и д'и гяи д'и 1 ду и;; ггг; дг, ),ольг г'.т, ох,' дз., где гг-~0 — нскоторзя ггосгоягигая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
