И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Йля дальнейшего сушествеино, тобы область 0 была ограниченной. Этого всегда можно достиев ть, ограничив 0 к случае надобности прямой С= Т. се дальнейшие рассуждения были бы злюке применимы, если бы область 0 была расиоложена в волуплоскости т ч, О. (гл. и гнгк гволпч!'.скис уулвн»»ния г аг ==- —— Сле»»ова сельпо, », сок а, = — —. +», ейп а == —, )' 1-)- »,' М»» обознзчилн здесь ~ рез аг длину дуги характеристики Е д означает лифферепцирование по наврав»»ению харзк~ерисдг, тики Еа »г)ок»но переписать систему (1,10) в виве 1' 1+~',у»= ~~' ади»+йг (»=-1, 2, ..., Н). (3,10) Если обозна ~кть через а»и, лкффсрсвциал функции и» при лви»кенни вдоль кривой Ег то из (3, 10) получим ди;==-(~аа,.и, +»»,) )' 1+»',.
и гак как ааг ==. )/1-'-)Ли», то г»и»==(~а»,и»+»»г)Ц» (»=1, 2, ..., И). (4,10) Зафнкскруем тсгерь произвольную точку (1, х) облас»и 6 и ооозначим через 1, гасть соответствуюв»сй кривой Е„ог точки (»', х) ло ее переселенка в некоторой точке (О, хг) с отрезком (а, )») оси 1 =.- 0 (см. рис. 2). После этого проинтегрируем»-е сооткошгвие формулы 14,10) ко луче 1, от Л о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим г-е уравнские системы (1,!О). Его левак часть с»очностью ло многкигелк есть пропзволнав фуюгпин и, !г, х) влоль кривой Еа Е(ействительно, если обозначить через а, угол ме»клу касательной к кривой Ег в точке (1, х) и осью Ох, го, как бы и ) казана, 10! 3АлА'1А кои1и лля гиоегвочичгских систем 95 точки (О, хг) ло то1кн (г, х). Получим систему ннгегральных уравнений иг(г, х) — иг(0, х,)=-- ~ (у ~' а„и, (-11, гй.
(1==1, 2, ..., М), или, в силу начальных условна (2,!0), и! (1, х) = ~11 (хг) + ) ~ ~ агг и, + /11~ гй (5,10) I Очсвилно, 1то всякое реи1ение системы (1,10), уловчегворя. юшсе на1альным условиям (2,10), является решением системы (5,10). Обратно, сели мь1 имеем ре1нение системы ин тсгральных уравнений (5,10), причем фтнкцнн, сосгавляклщне зго решение, иие1от и 0 иенрерьшные производные но ! и ио х, то, произвсля лсйстваг, обратные тем, с помощью которых мы вершили от (1,10) к (5,10), иы убл.лнмся, что решение системы (5,10) является также решением посаавленной задачи Коши. Залача свелась, 1аким облразом, к доказательству сущсстиовшши ненрерывно лифференцируемого решении систел1ы (5,!О). Пас грамм послслонательшае приближения к решению системы (5,10) следую1цим образом: нололким и,'"'(1, х)=мг(хг) (1=-1, „Л1), иг ! (1, Х) = уа (ХГ) + ) (,г,' а (1, Х) и) + ЬГ (1, Х) 11й ,.—.1 (1=-1, 2, ..., И) и вообще и; (л, х) =Е11(хг) + ~ ( ~~' аа(г, х) и '" +(!1((, х)~ лй 1=-1 (гл.
и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Последнее раяенство точнее пало было бы записать »ак: и, '(г, х) =~»г!!х;(К Г, х)) + + ~( ~»,' а;, (т, хг(т, г, х))и,"(т, х,. (г, 1, х))+ !' — ! +дг(т, х,(Г, т, х))~»Гт (!'=1, 2, ..., И), М»! с !итаем, что х = хг(Г, Г', х') есть уравнение характеристики Ел прохолюцей через точку (К', х'). Если мы покажем равномерную схолнмость последовательностей и( (1, х) в замкнутой области О, то система прелельпых функций и;(1, х) будет уловлетворягь уравнениям (5,10). Равное»ерная сколимость послеловательцости и!"'(1,х) эквивалентна равномерной схолимости ряла к и)Я'(1, х)+ ~чР~ (и)" +г! (т, х) — и("'(т, х)1. (6,10) Для локазагельства ргп»номерноь схолимости этого ряла построим для него числову»о мажоранту.
Так как функции а! (1, х) и иг! (1, х) непрерывны В замкнутой области О, то (и !и онн ограничены в атой области. Положим М= !пах ( (п<сч !и ..., (Игл(,,'иго), ..., (и!')1) в области б '1'огла (1, х)~0. Обозначим гпах) ц 1 в области с! лля всех !', у= — 1, ..., )ч через А.
Тогла 1п,"'(г, х) — и(о(1, х)(== ~ ~', )а! 1 )ио' — и',"'(г(гж-2тил1с!т, ,Х )и, (Г, х) — и(!!(Г, х)( := ~ ~ ) ИО ) , 'и! — и,",' с'1 = 2 ЛА-'Ю' —, »'.=- ! )О) зАЗАчА коню для Гипьеноличюских )снстГм ))Т Преееиол)тяеие) теперь, что А" 'Ам )л — ()) " )и,' (е А) — -и,: ' (е, То)да ==~ ~„)ае, )ь) (ь — )) ) 2 )(А"Й'е" иу ие Итак, сОГлзсно методу мзт)."мз )'нческоп пндук!)ни, для лкюОГО и л и ие(е, х) — ие((, х)= ),х, а„(ие — и ) йе. г /. ))О)еустим тенер)о что еп ах ) ие — ие ' .=. Л д О. (х, о с о Тогла, произвсля повторю,)е оценки разности ) и, ((, х) и, ((, х),', кзк это лслллось при доказательстве супьес где ванин, мы )юлу щм, ч)о М ..= е)') — --,— (ААУ')" 7 И )К вЂ”.ЯЬЬЫ АЗ 'г(о область СЕ ограничена и, взяв фиксированное число Т, превосхолящее все знзчепия е в этой области, мы )юлу щм, ЧТО ВО ВСЕЯ ООЛЗСТН 0 )и,'-" — и ) = 2еИдд —,.—.
,„.) е) оч (АЬ7)" ч )А Ег'Т)"' Тзк как щслонон рял х — —: — ' схолиеся. Го ряд (6. )0) схохю л) дится равномерно вг всей ззеекнутой области (е, что и локан))- влет существовз~н)е н нсч)рерывность ос)пения системы (5,)0). е)окзвеезе теперь елинствепненл ь непрерывного в Е) н, следовательно, огре)ни )е1 но) о рещенпя системы (5,) О). Допусмяя, что мы имеем днз тзкпх рещеп)ы с)гстсмы (5,) О) ио ..., и„н ее„..., и, ))одстзвляя обз рещенщ) я систему н вычитая друг из друга соо)ветс гну)опще урз)м с) ня, )и..
лучив (гл. и ГНИВГГОЛНЧЬСЮГВ КГВВНГИЯЯ для вобого л, ыо приводят к противоречггю, как только л стзисг лосча го ио велико. Следовательно, Л(= О и и,(1, х) =-иг(1, х) (1:==1, 2, ..., Й), т.. рещение елинствеяно. '1тобы закон ю~ь локазгыельство, иам осталось уоедяться, мо иайлспигяс функиип п,(г', х) вмего~ непрерывкые первые ПРОИЗВОДПЫЕ ГЮ 1 Н Х. ОЧСВИДПО, ИЛЯ ЭТОГО ЛОСТВТОЧНО ЛО- каззгь, ч~о фунюгии и (1, х) имскт щирерывиыс первые ПРОГЫВОЮ.ЫЕ ПО ПЗИРВВЛЕИаа,!Г Н ~ГГЭ Х В КажДОй ТОЧКЕ, таК кзк из Э~О~~ н из гладкосгн 1г с1сдйст иеиРОРывг~ость пооизводных по г н х во всей области О.
СУитсстгговзннс и непРеРывность иРоизвоДных иг(1, х) влоль 1,. Вепосрелстчсюю вытекает из системы (5,!О) и непрерывности пол) ~сивого ре~иснгнь Ллв ~ого чтобы доказать диг су~ггсствовнние и непрерывное~ ь гронзводнык — ', заметим дх ' СПЗЧапа, ЧГО ИЗ ПРЕЛПОГГОЯГЕИПОй НЕИРЕРЫВНОй ДнффСРЕНИИрУ- стюстн ~~ (х), А (г, х), Оы(б х), й (г', х) следуеГ, чтО псе приближенна, построенные прн показательство существования решения, пмсчог иепрерывп)ю пронзволную по х. Проднфг~эерспггируем ио х раве ютво, определяющее (и + 1)-е ирнблюкенне.
Получим да,'" ' ий х) дхг(О, г, х) ~- и — — = ~у,(х,. (О, Г, х)) — ',' — '-+ .~дп ~(г, х;(н г, Гб) ое — — ц ':(с, х (т„т, х)) + г длил(п ХГ(т, б х() дхПВ Г, Х) дх, дх дл;(т, х,ич г, хп 1 ОХ ((.оочтвнны х тоигн лерегсчення Г; с пряной Г=т является ГЩИ|РСРЫВИО ЛвффЕРЕННВРУЕМОй фУНКИИЕй Т и х В С.ыУ прелпозО- жегпилй непрерывности прогмаолкых Ог 1О Г1релелы иитсг.овроввивя по г в криволинейном интеграле не мел~пагся с изменением х. с) 101 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ГНП11РБОЛИ'1ЕСКИХ !."ИСТЕН 99 В силу сдсла»иыя относительно системы !1,10) предло»о!«сний мояшо дс7«а.!Нть рашюмерную с«оюглость посс!слоя,1тсл!ьо» ности — '- (п=-1, 2, ...) н гоч1юсги тем ясе методом, каким докам,1аюып сходнмость и;, причем а оценках изменятся диг рл только константы. ПЕ1а!О!!у 1ип -'- = — 1 н ета фупюгия и .— ь пепрерыапа, что и треб!»ааль!Сь ш казать.
Если бы фу»кции гу, (х) были только пспрсрыяны н»е пмсли !71зоггзеодн1л«, 10»ос11рош1ня, Описзнпыс я нг»177лг! настоюцсго »7!р7771рзс)!а, лзл» бы то1ь1го обобщсппыс рс1пення системы (1,10) (ср. счеду1оншй пую т). 2. Мь1 до«з 1,!7Н1 су1цесгаонз»ис и сдш1стае;»юсть ре»!ения залечи Коши для системы (1,10) н классе фушоши, иу1С1ощия»спрерыяпыс пронзяодпыс 1-го порялкз. Чгобзы доказать корректность постзялшпюй зала ш, докажем слелукнцую теорему (ср. 9 8). Если но'со гьнмс функ иии угс сх) 777!да!Нс )сопли замснигль о!»ними фун1117игслги 17!уху, юпобьг они опг:!и 1»,гись от соотвстств)7юиасх 77, 7'х) лссныас, ислс на г1, то функции Ос('г, х), из гсопсорьсх составлгссгггси )7сагсние измснсннои зада'си )!виси, будут отли'!ать!'л опс соотвстствугогиих ис(г, х) меньтс, чвлг на е, прггн1 лг е — -О, соли г1 -- О.
ПО7!О!КПМ 7(71 (х) — с'1 (х) =- 71, (х), ис(1, х) — з,(1, .) с-зг(У, х). Фу»11!ГНИ сс(1, х) удонлегя !ряюг интегральным урея»ем»1ям ес(1, х) = — г!1(лс) + ~ ( ~, аса,) дг. ,=1 Положим п1 ах !з,. (1, х),' =- з. О, х! ь а Тогда, !!ОБ!«1ря7! оценку, поонеде1шу1о при ло«азате71ьстяс су- шесгнояз»ня решения, »О !учзем )хг(1, х)) -. 71 -',-Азгус. 10) 100 гипееволичяские увлвнепия (гл п Пользуясь неравенством (9,10) и снова оценивая )з,.(г, х),' с помощью уравнения (8,10), получим А'А'Ч' (г, (К х) ) == г1 (1 + АЛТ) + в Повторив зту опсрапюо л раз, мы докажем неравенство (А~И)" ' х, (лап~" )гг(г, х)(=-' и ( 1+ Лдт+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
