И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 13
Текст из файла (страница 13)
урзвнепис до гле о, о„'х, 1»,/,(х У о„..„ох) У,1» ) и и) Отделив а этих уравнениях гействительные и »1нимые части и положив о»=то»+ х» = — а» -) У»=У;+ 6 И Г Пежохскхй ввьльниь. кллссиенкюгня гелкиьний (гл. получим да~ дкл дп„ вЂ” =-а - — — да —— л д, х д гЫ, Простейп~ей системой такого вила являетси известная система уравнений Коши — Римана джей Йд~ де дт Ж~х дай дх г)г ' Аналогична распалюогся на лействнтсльную и мнимую части уравнения вида до, Ю,, д;, -+) —.— — г-/. (х, и, и,, Ф ).
дх ду дт лг ' ' и'''' и' да, ди, +/,(Х, У, ио...,а„) (г'= 1, ..., и). (12,7) Для такой системы вели нны х и /го вхолягцие в уравнения (6,7), (7,7), завксят нс только от х, у, но и от и„..., и„; мы нрелполагаем, что в некоторой области изменения перемеюгых к, у, и„..., и„все корни уравнения (7,7) лействительны и различны. 1)усть й„, ..., й„, — нетривиалююе ревенко спс гомы (6 7) при х= — х,(7=1, ..., л). Умнохгап се уравнение (12,7) па Тзким образом, локазываегся, что сне~сну (1,7) можно привести линейным иеособым (почему7) нрсобрззоеаннем с лсйствительными глапкимн козффипкентами к новому каноническому виду, гле все уравнении в отличие ог уравнений (2,7) обязательно вействительны. (Ср.
замечание к 2 47 моих ч Лекций по теории обыкновенных лиффсоскцпальных урзвненийь, Гостехвзлат, 1952.) 5) Рассмогрим гиперболическую (в узком смысле) квазилннейнучо сисасму вила в 7) ИРиВедепие к канонического Виду систсмы 83 )г,, и суммируя но всем г, полу шм и 7ггт( — ' — 'Х, — „' ) ==-=,Е,(х, У,а„..., и„) (7=-1,...,л). (13,7) уди; . диг ) В каждом из уравнений системы (13,7) содержатся производные ог всех неизвестных функций только по одному направлению. В случае л =2 система (13,7) может быть приведена к виду, аналогичному (10,7). Обозначим ~срез )гг(х, у, и„ и,) частное решение уравнения д(аи иг) д(алий (1 4,7) и введем вместо функций и новые неизвестные функ,гни оу(Х, у, и,, и ) гакис, что днг дгг. 1 ' гг (15,7) Соотношения (15,7) непротиворечивы, так как р удовлетворяюг уравнениям (14,7).
Умножая 7-е уравнение системы (13,7) на р (7 = 1„ 2), приходим к следующей канонической системе уравнений для яо е,: ди ди, = —.л, — — '+7' (х,У, п„п,! (7'=1, 2). (16,7) Функггни и часто называюг обобщенными инвариантами римана. Прн л,Р2 приведение системы (12,7) к визу (15,7), вообще говоря, невозможно. ГЛАВА И ГИПЕРЬОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Раздел ! ЗАДАЧА КОШИ Н ОНЛЛСТИ НЕЛНЛЛИТИЧЕСКИХ ФУНКПИЙ й 8. Корректность постановки задачи Коши Теорема Коваленской утвергкдает существование анзлитическшо решения задачи Копи лля аналитических уравнений при аналитических начальных данных. Мно~ие задачи физики сводятся к залаче Коши лля аналитических уравнений при начальных данных, лифферснцирусмых несколько раз, но не аналитических. !!а первый взгляд ка кется естественным такой метод рсшсння этой аалачн.
Заданные начальные функции и пх производные прноли,каем многочленами. Пс теореме Вейерштрасса такие многочлены моя~но выбрать так, что на всей рассматриваемой части плоскости 1 =1„, где задаюзся условия Коши, разность между этими многочленами и со. ответствующими заданными функциями булет кзк уголно мала. 11о теореме Ковалевской для аналитических уравнений можно решить залачу Коши, если заменить прежние начальные условна новыми, аппроксимирующими прежние, Казалось бы, естественно ожидать, что это решение новой задачи Коши с начальными условиями в ниле приближающих многочленов близко к решению той же задачи при прежних начальных данных, по крайней мере вблизи той части плоскости 1= г„ гле залшотся условия Коши.
Но Адамар посароил промер, коорый показывает, что дело иногла обста т совсем не так. Рассмотркм слслую|цую задачу Коши. Требуется найти решение уравнения Лапласа (1,8) 5 8) кояеектность постановки задачи коши 85 удовлетворяющее при 1=0 условиям и(О, х) =-О, 1 и~ (О, х) = — „яп пх, (2,8), гле и и А — полокятельные постоянные.
Легко проверить, что решением втой задачи будет 1 и(т, х) ==- — — зй пг гйп пх. 13,8) Та«как (и, (О, х)(-.= —, и Пусть зто булет функция и, (1, х). Тогда лля начальнык условий 1 и(0, х)=у,(х); и,(0, х) --а, (х)+ — типах л" решением задачи Коши будет функция и (1, х) +- — -з)1 пг я1п пх. я ' 4 Таким образом, очень малое изменение кнчальныа функций то при достаточно большом и абсолютная величина и,'(О, будет всюду как угодно мала. Решение же и(0 х) рассматриваемой задачи Коши, как показывшет формула (3,8), булет принимать как уголно больпшс значешш при произвольно малом 1, если п достаточно велико.
Дело пе изяенится, ссяи мы потребуем, чтобы не только (и,(0, х)( был асюлу мал, но чтобы были малы и все производные от и,(О, х) по х ло порядка А — 1; здесь и — любое целое положительное число, большее 1. Мы не говорим о малости накальных значений самой функции и, так кзк по условшо (2,8), они всюду равны нулю, Лопусгнм, что мы кашля решенно задачи Коши лля уравнения (1,8) при некоторык начальных условиях о(') ги(0, х) =у, (х).
(гл. и гипагволическиг углииения и их производных до порялка й — 1, полу ~енине прибавлением к прежним начальным условиям функций (2,8), и (2„8)„ может повлечь за собой как )ч одно большие изменения нида (3,8) решения задачи Коши н притом в какой угодно близости от начального значения ) = О. Будем говорить, что задача Коши в некоторой замкнутой обласчи 6 пространства 6 х„ ...,хгп прилегакнцей к области (О на гиперплоскосзн г= г„ гле задаются условия Коши, лля системы линейных уравнений вила и Ф,„»„ЛО ж. д 'л, — —.- — .+у,.(г, к„..., х„), (4,8) Ш", ох» ... г)х'м 1=1, 2, ..., й, й~ lг+...+А„=lг-=л, Ас л поставлена корректно, если сушсствуют такие целые положительные Е, и б„что 1) для любых непрерывных вместе с их производнымн до порядка х., функций ~~ы(хп ..., х„), заданных в 6„, н области 6 сушествуст елннстнснное решение системы (4,8), уловлетвореошсс нри г = —.
г, условняш дзл, — —,' =~~!" (л„х„..., х„) Ос=О, 1, ..., л,— 1), (5,8) 2) для любо~о полохгизельного в мо.кно указать такое т~ »О, что во всей области 6 решение задачи Коши изменится меньше чем нз а, если в области 6„функции ~р„."н и все их производные по х„..., х„, ло порялка Е, изменятся меньше чем на х.. Обычно условна Коши опрслеляются из опыта и потому не мо~ ут бьшь найдены с абсолютной точностью. Ввиду всего лля физики (мы всюду понимаем слово кфизнка» в самом широком смысле) прслстапляют интерес решения задачи Коши только для таких уравнений, для которых эта задача 8 8] коггвктность постановки задачи коши 87 поставлена корректно. Как показыьзет пример Адамзрз, задача Коши поставлена корректно лалско ие ллв всех уравнений в), Приведенные вьпие сообравгевии о корректности нос гзновки ззда ~и Коши показывзюг, что и лругие краевые задачи для уравнений с частными иронззодиымн представляют интерес длн естествознания только в том случае, если имеет место, в некотором смысле, непрерывная зависимость решения от краевых условий, корректность "*) постановки залзчи.
Лля каждого тнпз уравнепнй супгествугот свои корректно поставленные краевые зада ~и. Почти во всех до сих пор ра«ох~от)>енгпях с~у~~~х формулировки таких задач полсказаны физическими рассхютрениянп. В частности, такими корректно поставленными задачами являются задачи, приведенные в ~ 1.
В настоящей главе корректность постановки палачи Коипг локззываетсн длв волнового уравнения в пространстве при подходящем наклоне плоскости — носительницы иачальпь~х дшипях — и лля линейных пгпероолических систем уравнений с частными производнымп первого порялка по лв)м иезависимыи переменным. Согласно сказанному в условии задачи к замечанию 3) в Я 7 отсюда слелует также корректность постановки залзчи Коши лля обших линейных гиперболических в узком смысле систем вида (11, 7) с частнымн производными по лвум независимым переменным в односвязиой области.
в) Интересно огмстить, что есап рассматривать решения задачи Коши длв уравнения Л.шласа в классе функций, ггрзиичеишях пп абсошотиой величине наперед заданной постоянной, ~о малым изменениям начальных условий будут соответстгювзть малые изменения решения; см., например, М. М. Л а яре н т ь ею ДАН 106 (1рбб), )чй З, с.р. 88Р-- 8))(). й') В кахогом копкрегном случае понвтпе о корректной постановке задачи лолыно быль точно определено. Прв определении корректносчи посгаиовки аыачиКоцгв для нелинейных уравнений естественно )ыссмагривзть в качестве возхюжпых начальных функций 7г (хн ..., х„) ~олько функции, близкие йа к какич-пибуль опредеаеяным функциям чг (хь ..., х„).
Мшхег .В) оказаться, что вблизи одной системы функций ч,' (хь ..., х„) ~ам~ ла га Когш лог гзслена корректно„а вблизи лр)тг й сне~сны функций дю К ' (хь ..., х„) — некорректно. (гл. п гнпггволнчгскнг ю лвнания 9 9. Понятие об обобщенных решениях дл дп дг дх (1,9) щщ пзчалыюм условнн а(0, х) = —..м(х), (2,9) гле ~у (х) — непрерывно лпффсрепцпруемая функция нз отрезке а ~ х ~/ь Как нетрудно проверять, решенном этой задача в областн Е>(а < х+ у(Ь) является функш1я а (К х) = — а (х + т). (3,9) Пусть теперь функппя з(х) на отрезке (а, д) непрерывна, но не дпфферснцнруема. Известно, что такую фупкцню можно прелставить как предел равномерно сходящейся па отрезке (а, д) последовательностя функцнй м' '(х), имеющих ~м непрерывпыс пропзволпые.
Прн этом соответствующие решеши ф" (х+г) урзвнеши (1,9) будут равномерно в 17 сходиться к функцич (3,9). Зго лает основаннс функцию (3,9) так;кс с1птзть решением урзвнення (1,9) в обобщенном смысле, Оп р ел ел с и и с 1. Спстсма фунюшй (и„..., им) называется обобщенным рсшсппсм нсьогорой системы лпффсрсн- В прсльщущем параграфе мы говорили о корректности пгнгшкшкн задачи Коши прн достаточно слал.ких начальных данных.
Однако фнзнчсскпс зада и далеко нс всегда приводят к гачзльпым услгвпям„достаточно гладкьм для того, чтобы можно быпо угвср;кчать существование решения с~ютветствуккпей задачп. Еслн на ~аль.пяе данные не явлшотся пепрерывнимп н лнфферснцнруемьшп достаточное число рвз, то ис.го может нс существовать н лнффсрснцнруемое рсшсннг соответствующей краевом' зада ~я. В этом случае весьма полезным оказыщштся примснснпс так называемых «обобщенных рсшепнй» лнффсренциальпых уравпепшй Теория обобщснгпчх рснпший урзвнсннй с частньп|н произнодиамн бьиа разработана С. Л. Соболевым в 30-х голах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
