И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Для этого, очевидно, нсобхолнио и достаточно, чтобы коэффициенты при одинаковых и, в обеих час~их этого тождества были одинаковы, т. е. чтобы было Ил — — ~чг',аийи 2=1,2,..., и. Е (6,7) Таким образом, для определения йо А„..., к„мы получим снсз ему л линейных одноролных ураынспий с а нензвестнымн. Чтобы эта система имела нстрияиальное рещение, которое только и будет для нас нрслстаалять интерес, необходимо н достаточно, чтобы определитель, составленной из ее коэффициентов, был равен нулин Это условие можно записать тзк: (ХŠ— ран~~ ~ — — 0 МатРица )Š— ~) ас 11 нззынзетсн хаРактеРистической лссгтрииеа систелма (1,7).
Пусть )ч — один из корней уравнения (7,7). Предиолоокаль что е расслсатриоаелсос) окрестности точка Л каоксыс1 ссор:нл ррооненил (7,7) имета одинаееовуе л ратносли дла ен ех гаочес атос) оссресоисосоис Пусть ) имеет з атон окрестности крзтносзь а,. Тл чз в этой окрест«ости )ч улов- 7) пеияедгние к каноническомУ видУ системы 77 легворяет алгебраи )ескому уравнени)о 71" — ')(г, х„у).: . 6, где 7'з(), х, у) есть производная и-го порги)кз пг) 1 от пекой ч сги урависния (7,7). При этом во всей этой окрестщк)п у)"'(г, (х, у), х, у) — йО. Поэ) оь)у согласно известной теореме о неявной функции )и (х, Э) в окресткости точки А будет иметь такую же гладкость, т. с. столько же непрерывных проилюдиых по х, у„к)к и коэффкцпенпг аг..
777)едпалопсилг еиге, чгпо в расслгатриваелго)г окреслпноста тоюги А Я)а)при)га )) аг () — ). Е, (8,7) где )е — и:арена уравнении (7,7), илгеет паин и то)п лге ранг гл'). Тогда в этой окрестное)и точки А сис пемз (6.7) г)ри 1.= л, имеет решение, состоюцее из фупкцпй, )игд' к окрестности точки А не обращак)щихся в нуль од)цжремгп)ч), причем э)п фушсции икек)т такую же гладкое)ь, кзк и и,, 0)эозначих) их чеРез 7го. с)тобы найти такие 7гап ззмс)пм следующее. Раз матрица (8,7) имеет всюду в окрестное)и А Рзнг )„то У точки А сУщесгвУ) т такая окРест)вс)гч п торой какие-)о и — г, определенных уравнений сис)емы (6 7) икля1О) ся слслстпияяи Остал) кых г, ураенснпй. Поэточа вся" кзя система функций 7гы, удоклетворгкощих в неком)рОН макей (ж()ЕСТ1ЮСТН ТО')КИ Л ЭТИМ Г УраВНСКИЯМ, 1)) ПСТ алга).
лстворя)ь всей сис геке (6,7). Лля того же чтобы найти реп)еь)ю этих г, уран)с)щй (будем для краткое)п кз)ыв))ь кх урющспкямк С,), заметим следу)ощес. Так как рзпг магркщ,) (8,7) ирн х= г, равен г„то из столбщж мзтрщ)ы, сос)аклснпой пз коэффицке))гоп системы Е„можно сос)зв)г) ь кь.)1- р,))ную ма)рику с неравным нул)о определителем в неко)прок О),рсс) НОсти точки А. Ф) нкции 7г,о являюии)еся м1п;жн)с.)а;н) у эн)х столбцов, судку) считать непзпестнымн. бега))нные же /го иыюжпм Рьвнь)ми ИРокзвольным, нс Ракпым одноппемщ)ьо ') Лпло гпзь).ы)ь, что га-=-и — ам Б самом геле, пр)л)пп)п),)а порп кз пп по 1, о) опрсзе)птеля (771, клк ле)ко видео, е) и )рп '11, лкпекьаа коьбпнецьа мпнороп пиратка (и — ае) опр)п)езп)е.ы )зу).
тла хах юа )ропзподпаа пе рата нрн)ь )о одщ) щ аыюрамв пор)1.)хз )и — пь> тыл рпкы )8,7) не рыси пу:по. 7з ВВГ/П.НИ«. КЛАССНФНКАПИЯ УРАВНЕИНЙ [ГЛ. 1 1мл1о, постоянным. Для определенности полон/им пх все равными 1. Тг/гдз сисгсма С, единственным образом определяет г/се лрутпе /з,/, кзк функции, имеющие такую же гладкость, как и а,". Итак, мы нашли в искозоро/ окрестное/и ~очки А функ- 1/ип )з,/(1= —.1, 2,, л), которые нигле в втой окрестности не Обращаются в нуль од1ювременно и которые име/от таку/о хм глздкОсп., кзк и Й/ Для Оп(з».лслеинОстн пОлп/ким, что /г„=ф=б в т/шкс А.
О'1евидно, вто нисколько пе огрангшивает общнос/п, так как мы н/.егда можем достигнуть зтого изменением нумерации и„ по сводится к неособому линейному преобразовзншг и/ По/1ожи«1 лапе» О 1евиднп, фупкцш/ в, (х, у) удовлетворяет уравнению г/ш 7,'(х, у, хм им ..., и„) == дь// ~~-з д(л//ьД+ д) / / (см, формулу (5,7) и предшествующее ей рзвенсгво). Дзлсс все рзссужлсння д 44 «юей книп» по обыкновенным уравнениям нркмснпо/гя без каких. /ибп существеннь1х нзменеш/й в).:-)ти рзссун//»спин з1/ачительно упрощшоггя в случае, ко1да вес корни ), урзвпешш (7,7) раыш шы, и мь«1ровсдсм их здс/ ь до конца. В шом случае каждому корню ),, 1 == 1, 2,, /1, згогс/ урзннсгшя соответствует системз функгшй ло(х, У), 7= 1, ..., л, опРсдслсннаа /ю )ч гвк,кс, ьзк;1Ршклс 'Л Замс1нм„по зл«спсзсшя, состплпсй 1ы л 1 ура»пеняй, » .: Н11о мы, как и в й -И м/н й книги по оо/«1шо1 ещ1м» знффсреннн».1ы1ь1м ура/и/сн1/я»1, золя ны пулем запнга:ь н ха1цшшес«ом ви ге, св/м»сзлн«ь1 вр»знолг»«синя, 1ыпечзтанныс «чрс»»ом, и пози»мт.
/ю пр,шоложепию пнзукшш, г«1 у«1 систему из л — 1 уравнений 1/о/1/нз зз///1»а:ь в «»1///ннчсс/ш«1 внзс. =/то легко проверить, зьцн/жзя мзгршб ,', а, 1( — «77 1срсз С/«носпег»Увгцу«З МагриьУ преогразо»мшой гнсгсмы, м1»,лжи«ион (134'"т зз 44 1ошгн 1/Лекции по гсо)ни осы«повсппьо, дифференциалы/ых у)ыннсннйз, $7] пгивелениь к клноннческомх вилг системы 79 были определены функиии И,.
(х, у), 7=1, ..., и, по Фупкнии /г..(х, у) имеют столько жс непрерывных проншод. О пых, как и а.,(х,у). При этом -~--'=-Хг:-'+~;(х,у, и„..., и„) (г==-1, 2,..., и), где а ~~Р й; и /=' (г=..-1, 2,..., и). Остается показать, что ]гг; ]-фО. Лопустим прогивное, т. е. что в некоторой точке (х', у") той области, тле онрелелены все ]гг (х,у), ',ггг (х',у')]=--О. Тогда существугог такие постоянные С„не все равные пулю, что '~ С,)г,г (х', у') ==. О (г =- 1, 2,..., и).
(9,7) Умножая г-е из этих равенств па аг и суммируя по г, получим О =-"~~ С,lг„(х', у") а„(х', у') = ~С ~~~~/а .(т у )а (х у ) '~г,'СТ (х у )]г (х у ) г 5 Послслний' переход мь1 слелали, яспользуя соотношение ) г Иг = — — '~р ~]ам а ! аналогичное (6,7). Таким ооразом„ мы получили равенства, аналогичные (О,У), где вместо С, написано С,)ч(х', у"). диалогично получи:. ~~~Р С,,хх, (х', у')]г,г(х', у') = — О при т = 2, 3, ..., и — 1. что нсвозможно. 3 з и с ч а н ия, 1) Легко внлегь, что асе приведенные выше в этом параграфе рассужлсння справеллнвы и в том случае, Так как опрелелителгч составленный из коэффипиентов при С,йм(х', у') н этих равенствах (определитель Ванлермонлг), отли чен от О при разлп шых 1„ ..., гю то мы получасы отсюла, что прн всех х и г С,гг„(х", у') = О, ввьдьниь.
кллссипиклция ю ланский (гл. когда коэффициенты аг и уг — комплексггозначнгас функции. В дальнейшем, однако, мы будем предполагать, что аы,/г— дейстантельныс функции. 2) Если ураннение (7, 7) имеет только раз:шчныс и дейстпительные корни во всей рассмагриааеьюй области 6, го из предыдущих рассум<деннй следует, чзо в окресгностн точки А ка;кдому корюн А; соотнегствуст единственное, с то шостью до знака, решение Йп, 7гы, ..., /гг„системы (б,7), у которого Н в этой окрестности ~~ 7г,'..==1 и функции лг нмекгт такую же / —.г гладкость„кзк и а, (ср. примечание на стр.
77). Пользуясь этим, можно показатгч что при указанных условиях ао всей об;шсги 6, сслп эта область ошгосвязна, существует нсособое линейное преобразование неизвестных ф) нквгй, прннодя~цее систему (1,7) к каноническому инду (2,7). Прн эгн ~ коэффицнсчыы этого преобразования ю~снэт асгоду такую х е гладкость, как и а,, а система (2,7) првн~гмащг анд — ); — — ) — /,'(к, у, и„..., и„) (1!::,7) (г-=.— 1, 2,..., л).
й~ — 1 г.=о а а (! = 1, ..., г 7) (! 1,7) 3) Если ао всей рассматриваемой области О на пло.ности (х, Ю у)ыансние (7,7) нс имеет лейстаитсльных корней ),, то сне~сна (1,7) назынастся в этой области л.глигпггпкггтгнгЕ Если ао всей этой области существуег линейное нсособое прсобрьм ванне искомых функций и,- с деиствн~ельнынн кг.эффнцнсн ганн гакой жс глалкости, как н аг (х, у), прнжшянгсс си;тему (1,7) к виду (10,7), то система (1,7) называется гиперболической а области О.
Если жс во асей области 6 все корни ) урзннсння (7,7) д й.~ннгсльны и ра ош шьц сис~ема (1,7) называет я гилергтгьгггчггкол а улмож слгыглг 'г(з прелылунгего заме ~нн~ги следусг, что система, гиперболическая а узком смысл~ в олн ~сан шгтй области О, ~ииерболпчна в эзоп ог засти. Точно так гке обш,ги линейная система уравнений с часгными нропзводнымн но двум независимым переменным э 7) пгиввлениь к кхноничяскомх впдх системы 81 называешься зллплглспсескод я области 6, если зо асей агой области определитель матрюгы (л .
не ил1еет действительных корней х. Если же ясе корни з1ого опрелелителя лейстяитечьны н различны, то системз (11,7) называя~си гиперболической з уамолх сзгисле. 3 а д а ч а. 11окзжите, что если сне сема (11,7) гюк.рболп о~з в узком смысле в олпосаязной области О, го в этой области гиперболичнз системз уравнений перяого порядка, построен. ная по уравнениям (1 1,7) так же, как система (5,2) бьпга построена по уравпенияз (3,2) 4) Если все корни уравнения (7,7) действительны, то н преобразованную систему (2,7) можно сделать дейстзнтель.
ной; лля это~о нзло выбрать лсйсзвительными коэффяциенты линейного преобразования от функций ис к функциям оп что в этом случае все|да возможно. Если же уравнение (7,7) имеет комплексные корни,.го эти корни распалаются на пары комплексно сопряженных корней. Тогда систему (2,7) можно построить так, что каждому уравнению внлз до» до» д =~» д +У»(х У о ° ° ° ох) и этой системе булег соответствовать комплексно сопряженное уравнение, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
