И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 16
Текст из файла (страница 16)
+ — — — т-~ ц-в (л — 1)!,) ' л1 Переходя к пределу прн л -- сю, мы получаем Е - т~с' С1тсюда нино, что е — -0 нрн и О, тзк как е "лг-.-постоянная, не зависящая от ть 3 а д в ч а 1. Сформулируйте определение обобщенного решения авда щ Кощи для снстехпя (1,10) при условиях (2,10) с помогцью гн тсгрально~о тождества аналогично тому, как зто сделано в (1 9 для уравнении (4,9). 3 а д з ~ а 2. 1)окажизе единственность обобщенного реп~синя зала ю Кнцщ (1,10), (2,10) в классе функций, непрерывных и непрерывно дифференцнрусмых вне конечного щсла ~лалкнх линий 3 а д а ~ а 3. Пус гь обг~бщснпос рещение задачи Коши (1,10), (2,10) имеет ю нс нкю число гладких линий разрыва первого рода, анс козорых оно непрерывно диффсрспцируеью, Покажизс, что вти липни являются характеристиками системы (1,10). 3.
'г) заюпочение нзстояцгего парю рафа мы дадим краткое описание ме~ода конечных разностей, удобного для практического приближенного решения задачи Коши, посззилснной в и. 1. Пусть па отре..ке ~а, (~( осн Ох нам заданы начзльюае фУнкови аг(х), с(тобы пРиближенно пзйтн значениЯ фУпкцнй и, (т', ж), удовлетворяющих системе (1,10) и при 1=0 принимающих заданные зна ~ения у~г(х), мы поступим следующим образом. 3афикснруем некоторое полое число л и разобьем отрег — а зоь (а, 6( на л равных частей длины л= — - . После зтол го нронсдсм прямые х =а+ ил и прчмыс г'=дд щж таких целых значений р и (), чтобы область б, в которой нгцсгся 10) 3АдАчА чои1и зля Гипьгволичгоких систгм 101 решение ззаачи Коцш (см. и.
1 насгояигс~о па)пи рафа), бы. ла покрыта квадратной сеткой со стороной квадрата, рав. ной Ь. Занумсруем вершгпгы кналрахов дв) мя ипдексамп, з именно обозначим ~срез Л1 точку персее воняя иршхых га х = а+ рЬ и Г =г)Ь. Нам за,шны значшщя искомых функций иг(), х) во всех точках Л)~,г иг(0, а+рЬ) =..у, (а ( — рЬ) = ==- ху, (Лл „). Опишем процесс, с помоисшо которого можно пряближенно найги значения и,(1, х) во всех вершинах сетки, лежащих внутри О. В ка,кдой из точек Ы,, определены коэффициенты системы (1,10) н, в частности, И шсел )ч(Л!„,)=х,"(1=1, ..., ду). 11з каждой точки Л), проведем И отрезков прямых с угловыми коэфф~ цпенгамя 1 Ьг = — — . до пересечения с прямой ) = Ь и найдем хна.
1ао г ~ения и, (1, х) в противоположных кшщзх соответствующих огрг зков, ххля этгн о воспользуемся формой (ч,10) системы (1,10) и заменим диффсрсцпиал при движении вдоль характеристики Е приращением, а соответствукицее ~ошое равенство — приближенным. Мы гюлучим соотношение ди, (~'аии. +))г) Ь, позволяющее найти приращение функции ди, при псрсхолс из точки Лч, вдгюь характеристики 1, (точнее, вдоль касательной к агой хар,щтсристщ.е) на прям)по .'.= Ь. Прибавив найден~ ыс ириршцеюш к исходным значениям функции в гонках ЛЛ н, мы наплыв з ~а щння каждой фунщгпй и, л точках прямой 1.=-- Ь. При этом значсшш различных ф)нкцпй будут определены, вообще ~оворя, а разлп шых точках Г помощью како~о-либо ингсрпщьгционного процесса по найденным значениям и, на прямой г =./г оирелслпм ес значения в точках М вЂ” вершинах сетки, лежащих на этой нряИх мой.
После э~ого мояхио продолжзть опрелсленпс значений и,(1, х) тем же методом и определить эти значешхя в точках прямой 1=2Ь, принадлежащих области 6. Повторяя пнгерполянщо и дальнейшее определсщш значений и, (г, х) столько раз, сколько понадобится, хпя вайлем, такпя обре;шм, приближенные значения всех функцнй гг, (1, к) во всех вер шинах квадратов, лежащих в области О. !гл и гюяюоьолические егьвпсняя гйпкпо ппкззз.ь. ч,п»прп л с ириб,южсю ые знз кпия с!йнюгии гази пьяс!тио схюгя1ся к и!)вдел,, лзгоюсму 1о~иое р юсино звдзчи !йяии, я, слеюььзтельяо, ири зостзточ ю болююгм и ирпбли,кеюю, езйдсипглс описзииыи исггздгзч, сколь у~гюпп ьы'ю ослпяагг1тся от исгиниоюо рсюеюю. и ..чи,' — й, пгк.иссс ирибтюг с~югпг~ яск ~яслсння рай~сини ззлзчн Коши .и зчительио упропюстся. Тогда имеются только див семействз хзрютерис багги Рззбгю отрезок !гд л( оси гбх, нз котороы зздиил изчзльиые зизчс,ия и, и ам из мзлгяс ю ~ервзлы и ирюсдя в точьзх депспп1и изсятельюзе к хзрзктерисгикзи рззличиь~х семейств до их ближеяи юо к отрезку !и.
!,! пересечения, мы прпблггжеипо изйгюм з«зчь низ и н и, в вгих точках пересечения, кзк бььчо огюсзио выюс. Л!вазед: яз зтих новых точек ьзсззсльюые к хзрзк.'ерис~юсзьй мы тзюю же спо ~ бом ирис лг1х ею|о язйдем зиз ~е~ ия а, и и, в июкзх псрсссюспия гаях иявгтх кзсзтельяых, блнжзйюих ь огре:*ку !гг, й! ~ т. д. Тзким обрззом, мы получим значения и, и а, из некотором д 1сгз;и и о плогио рзсполг1хгсинго~ множестве тг1 ек, ссгю нзчзльное рзздспсч пс огрсзкз,'гг, дос~зточпгз ьгельо !!ю ю«ьй квздрз»,ст се,кн и ннгсрполяиигг в згом случзс ис требустси.
ф !1, Задача Коти дли волнового уравнения. Теоремв о едпиствю!ности решения Пусть ~рунгггсая и!г, хо хь! у,овлгтьорквт ур:тнгнию дьи спа, Оа л ! .а (1,! !! вхг в .а вяутри круглого конуса К с осью, лорал лсльноа оса г'гг, ю ошиноо ь ло. кв ! и осбрссгюоглалга, г.оставлпгсггкалги с огьго Ог угол о.— — !5'. !7Ютгь гро,ггв глгго, сала функггагг и!'Г, к„кя,! а юг вг ггрои.тодныв йо 2-го дориана включиглсльно н.лргрквны 'кутьи и на гранилг К. Тогда знаюнис гт!', х,, к,,у в гло-асв А ос!нозновно алаи рьделлетск зночгнилюи и и .; на исно(анан кону~а, лерг окощеж в гглоскос,гли,'=.=. гк Конус К изпяиле1ся харггкткгрисогигвсггалг. У!секо ягогеть, чго бокоззя гюверхюгсгь К ив жегся хари,горне|и:юской ио.
верхностюо в свисла и. 2 й 3. 11) зллнча ко!пн лля вол!юного ю агни!иин 155 Теорет!а оаю!анонс верна кю! в алгм глу щс, когда у то !- ки А коордш!нтз 1 >1„, гак и в тщ! случае, когда Заме ч а и ив. 1) Ьмссго уранч!ения (1,11) в форч,лирсгкс теоремы чан!но было бы вщ!гь уравпещ«: гр 'т' дй !, дх дх;,' (2,11) где а,ьΠ— любзя постоя«пан, ззмеющ соответственно конус с образующими, составлюо!ц!!мн у!ол 45' с 0г, лругим конусом, образующие которого !юкло«сны к оси 01 нол углом а = агс1ф а.
Дсйстнк гелию, уравнение (2,11) своди;ся к уравнепи!о (1,11) заменой а!' на 2) Мы всегда можем с !итзгь, ч го 1, =-. О. Слу-!ая любого Г, сводится к ятом!, если вчесго незавпсщюя переменной ввести !юную нсзависиму!о переменную 1 "= — г — 1,, от !сто вид урзннения (1,11! не изченнгся. 3) Допус!нм, что в плоскосги г ==-О нзм зз.гю!а об;юсть 0. ч Построим конусы К с оснонщ!пнмп, лсжщцн!щ в об!веги 0„, с осями, иараллелщ!ыми осп 01, и с норах!ювоощ, состзщиющимн с 01 угол -1-45'. Тоглн г!з вашей теоремы следует, ди что задание и и - в области 0 однозначно определяет редг ! шение уравнения (1,11) в области 0 прогтра !ствз (1, х„х,,), дл заполненной конусан!и К.
Наприкгер, задание и и, - в квзарадг тс ) х, ! <, а, ) х„) (а однозначно онределяс! дважды непрерывно гм!ффсрепцнруемое рс!нею!с и (1, х„х,) уравнения (1,1!) внутри кажлой из двух иираю!л, лля которых вгог квадрат янлястсн общим оснг!в!и!!си, а боковые !раин сосгннлюот с оснонаннеч угол в 45". ди 4) Задание и и - и каком-нибудь круге О, лежа!цен ' дс ч п плоскосгн (х„х,), не ог!ределяст рещсщге и (К хо х,) уравнения (1, 11) ни в какой тонге В, лсжюцсй вне соогпетс!нующих конусов К, у которых обнп!м оснонащ!см служит круг 0„, оси параллельны оси 0(„а обранугощ!га сосгннляют с ос! ю 01 углы в 45". Д!н докам!тс:!«с!на этОГО достаточно убсдитьсн, чго суще! твует та«ос !тещсние и (1, х„х„), ч !о г!г7 и и — равны нулю в круге 0, а и(И.-.г'-.О. Для нос!роения дГ м такого ращения заметим, что при любой двгохды непрерывно иг!гегволи'гагкнг угааг!Гггия !гл. и лнг!фсренцнрусмой функцкя,г(з) и о., + а,,=1 функцгш у(! )-агт, + а,х,) (3,1 1) нн:ыьтюг ршгнгг.ием урзвнсшш (1,11).
(Проверите)) Функшш ("),11) сохрагшст иостоянш.гс зиа гения из асякои плоскости ! -',.-а,х, +а,х, = — О, (4,11) гг,гггглаг~ из южорых составляет угол я 45' с Об Г!изберем а, к а,, гак, чгобы тз плоскость семейства (4,1 1), которая прохолг;г через го гку Ь', не иересекалз круга О, После -гтого можно гголсгбрать дважды непрерывно аиффереюгируемую фуияцшо У(з) тзким образом, чтобы /(!+ачх, + а,х,) была отли ггы ог нуля в го гке ггг' и равна нулю в О,. Тогда и (г, х„х,) =.—.г(г+а,х, +а,х,) будет пскомыч решеггиегг. 5) Привозимое гшжс лгггкггзггтсльсгно теоремы о едпнстаси.
ности применимо лля лнажлы ггеирерьшно лифференцирусмых решсгшй уров гегшя д 'гг + ггйгг + дг" дх', дх,", иря любом гг. 14 этом случае грехггср~гьггг юшус гг в форггулпровке теорсмь«-)жно было бы .гамепить конусом в простраисгне л-). 1 измерений, у которого ось иарзллсльна оси Ог к образучогцие составлякм угол в 45' с Об Зтггт конус также называется хзрзктсрпстическим При и=1 этот конус замсинтшг треугольшгком, у когорого основание пзраллшгьио оск Ох, а боковые стороны наклонены к ней под )тлом в 45".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
