И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Получим: 6) канонический вид в о«гастностн то|ни 69 ур,жвсюж (5,6) совладают и обращаются в урзвлслис Всякое рещение уравнения (14,6) в силу условия В' -= ЛС удовлетворяет также урзвнению (15,6) Мы можем, как и в предыдущем пункте, определить такое рещение м(х,у) уравнения (14,6), что функщгя у~(х,у) имеет нслрерьюныс производные второго порядка к ее лсрвые лроизноднье не обрзщаготся в нуль одновременно в некоторой окре гности О точки (х„у,). Мы можем считать, что д -'-О во всей ~ бласти О. Пусть ф(х, у) =сопя( д:~ ду дх ду д( дд дх ду нигде в области О не обращается в нуль. (Так кзк в О ду Л ~ О и, следовательно, - - ф О, то можно прана ггь наг~ример, ' г)г ф(х,у) =.-х.) Положим в формулах (2,6) С ==- м (х, у) н з) = ф (х, у).
д'л Тогда коаффицнент прн —, в уравнении (3,6) дР д'и в нуль. Козффнциент при — станет равным дЕ дл обращается Согласно (14,6) н (15,6) он также будет то,кдественно равен нулю а области О. есть такое семейство кривых в области О, что функция сс ~ г, у! имеет непрерывные производные второго аорнлкз и якобиы~ 70 введения. классиенкгщня углвняний (гл. г. д'и Коэффициент при — ' в уравнении (3,6) примет вил дч л одд':) (-2 — "'-'~+С~ф) . -„'-~А'.".4 7,"") . Это выражение не может обратиться в нуль, так как в противном случае в силу (14,6) якобиан (16,6) обратился бы в области б в нуль.
Поэтому уравнение (3,6) люжно разде лить на этот коэффициент. После этого получим (17,6) д'и да дя —,=-- А — -+В, -„-+ С,и+Сз, (18,6) Можно сщс несколько упростить это уравнение, авеля змесго и новую неизвестную функцшо з. Положим и=ям, глс о(С, г)) — функция от с и тй которую мы ниже определим. '!'огда уравнение (18,6) заменится уравнением о — „+2 — д а=А,о —,+Вр —.+Се+О,. (19,6) д'г, до да да дт Мы злесь выписали оолробно только члены, солержащие прогызолпые ог г, вклю чив все члены, содср,кащие самую функггщо г, в С„з. Выберем функцию о(8, т1) так, чтобы я уравдг ненни (19,6) исчезла производная —. Приравняв нулю коэфдл да фнцнепт при †, получим дл' дга да — =-А, --:+С,в+ 0„ 1 В,= — ', о(», г1) =е' з (20,6) где С, =.
— — , С, Уравнение (17,6) имеет канонический вид в области О, как он был определен в Э 5. Геля уравнение (1,6) было линейным, то уравнение (17,6) также будет линейным. Пусть оно имеет вид $ 5) кл)юнический вил н Окегстно.'гн точки 71 4. Рзссматрин, наконец, случай, когда всюду в рл с ыгриааемой области Тогда уравнение (1,6] будет в этой области эллвэтпческнм (ср. определение эллиптнчности в 6 5). Б этом случае лся будем предполагатгч что все коэффициенты А„ В и Г сул ь аналитические функции от х и у.
Тогда коэффнциенття уравнений (5,6)-- также аналитические функции от х н у. (1усть м(х,у)=-~рн(х,у)+гр л(х, у) будет аналитическим решением первого из уравнений (5,6) ч в окрестности точки (х„у,) ) и пусть )д(~,-): ~ уеб ее~ой окрестности. Положим в равенствах (2,6) (рн(х ) э) ( ьн(х у) (21,6) Уравнения (21,6) моэкпо разрешить относителгню х и у, так как якобнан дл дх ду дг, с1г, дх ду нигде не обрюцается в нуль. Б самом леле, раэделяя н урав- нении (5,6) действительную н мнимую части, полу плм (23,6) д:, дч Подставляя полученные отсюда вырви<ения для -„-'- н, ' "1 В некоторой окрестности любой точки(х„, ул) рассмлтрпялемой областн можно найти аналитическое ревенне т(х, у! урлэнсння ('.гэ), дт ду у которого в этой окрестности -- н --" необрзшлются оанояремсю.о дх ду в нуль. Это можно глеллнч например, по теореме Кояллея~к:К', валяная нрн х=х„эначсння т(х, у) так, ообы т (х, у,) ~0.
Ыы н~ л по клянлп что Ч(х, у) есаул ттиэое решение. 72 ввгдяние. кллссиеиклпия и лвниний (гл. г в якобиан (22,6), получим )тАС Ва ~~дс~й ~д ~а~ Отсюда вилле, что этот определитель но кет равняться нулкг тилько в тех точках,,де д"". дв — '=- —.—.. О, ду ду" следовательно, в силу уравнений (23,6), где д„" дв — =-=- О и — = О. дх дх А таких точек в рассматриваемой области нег, так как в пих мы имели бы дт дю — =- -'-= — О. дх ду Разделяя в тотклестве А — + 2 — --с+ С' "у .=..
О дхт' дхду ~,дат' действительи е н мнимые части, получим А('-'-~ +2В"-- —,'+С~~"-) = = А~г-С~ +'2ВИ- " +С~А У 24 6 д. "дг, 1 В('гй дг. Ф дс дл ), .д5 дч гх Ох Г )„дхг дг г)у дх,) т ду ду В силу определенности формы Аа'+ 2Вдч3+ С)" (В' — АС О), правая и левая части равенс1ва (24,6) могут обратиться в нуль только в том случае, если гд".' (26,6) Но мы выбралп ф)'нкпао ъ(х, у) таким образом, что равенства,'26,6) нс ьыпо нопогс: оэн~временнгк Таким образом, в 7) нгпасдгпиг. к кляонн гкскогя яилз систеспз 73 д'"'и д'и ураапспип (:),6) козффнппснты при --; и —; сомылюот и пе дса ос,' рзяпы нусно; почсому ураюгенпс (3,6) прнполнтся к ы.лу сял, спл .
С дл дл ) дР ' д.с,' ' ("' 1' ' д(' дс / (27,(') р 7. Приведение к каноническому виду системы линейных уравнений с частными производнымн первого порядка по двум независимым переменным Иы будем рзссматриазть систему уравнений — — а, (х,у) —, +1с(х,у, и„...,и„) м:1 (1 —.—. 1, 2, ..., л). Линейнь1 ли ~'с ожюснтельно и„и„..., и,„или пслинейюя, нзм безразлично, лучом предполагать, ~то коэффиюииты аи (х, у) .лсйстн1стельны и а некоторой области с) на плоскости (х, у) имеют нспрерыаныс ~летные произаолныс по х н у ао (с-го порядка нключитсльно (й» 1).
Тогда прс некоторых зоночюпельных предположениях, которые у пас напечатаны лзльюе курсивом, систему (1,7) я некоторой оьрссзиости произвольно взятой янутри О точки А кюясно с1рнясс ~ и лннейючя псособыя орсобрачояанием неизвестных функю1и и„..., и„с козффидиентзми, имекяцимн столько же непрерыиных произеолных, как и козфсяинснзы а„(х, у), Этот яил злл~п1ткческого ураас1сния наз!заестся его кано!пм ческим силом. Мы прпиели ураяненпс к такому еилу е окрестности некотории то гкн (х„у,), я которой с)чсгестаует аналитическое респснне уряснснсн (5,6) с отличными ог нуля пропзяодпыяи.
Другими более сложными рассужаеюсями можно показагь, что тзкос. прннеасние нозможно без предположения анзлнтп:пкссти А(х, у), 7)(х,у), 6(х, у), а только а прсдположсннп, что они имеют нспрерыяные производные до игорно порядка включительно. 74 Введении. кллссиеикликн углвнений (гл. ~ к кананикгсказву виду '.=Л, (х, у) —,' +7,'(х, у, н„...,н„), — '"— '==а, (х,у) — "'+),, (х, у) — ' +у;"(х, у, оы..., о„), дн„ дн,, дн, - =. ~й, (х, у) --дд — + Л, (х, у) — ~'- — + +7„", (х,у,о„...,о), дв дн —,' — ' =В„,,(х, у)-- ' ' ' — +Л,(х, у) " 'з+ +У„в, (х, у„о„..., о„), гн, дг дг а — »~,+1 ' ' и ~ н ~ дн" — в ч. +У„„к, (х, у, э„..., о„), д:, дн„ дв„ д =--екм — 1(х у) — — '=в+К (х, у) — —" + +У„"(х, у, э„..., о ).
(2,7) Здесь Л,(х,у), ..., Ла(х,у) — корни определителя матрнпы Ц аг (х, у) ~( — Лй, (3,7) а,(х,у), рг(х, у)...*, ы,(х,у) — некоторые довольно произвольные функции, имекнцие непрерывные производные до и го порядка включительно и нигде в рассматриваемой окрестности тонки А не обраща1онгиеся в нуль. Функнни оп ),н ан ~3н..., сог, ~,",..., 7„"; вообнге говоря, могут быть комплексными й 7) пввньдгнив к клиони гескомк видя системы 7;э ф) нкциями нх аргумсгпто. Если уо ..., у, имели непрсрывныс нропщоаные г7чо горялка, то 7',...,7„будут иметь $ нснрсрывные про~вводные ло порядка пцв (г), й — 1) включнтслюю. Рассматриваемые нами системы (1,7) н (2,7) отличаются от системы линейных обыкновенных лифференциальных уравнений и — — вг у +уг(х) (г'=1, 2,..., а) (4,7) г:! с постоянными коэффициентами а; н соответствуюгцей сй канонической системы (133), оцнсзнной я й 43 моего курса обыкновегннях дифференциальных уравнений (Гостехнзлат, д 1952), только тем, что вместо -- в левых частнх соответдх д сгвующих обыкновенных уравнений нависало —, з вмссто -— гтх ' ду в согпвегствующих обыкновенных уравнениях нолразумевастся мнщкнгсль 1.
Прн этом у системы обыкновенных лифференцизльных уравнений (133) коэффициенты иостояншы н функции г" и уя завися, только от одного независимого нсременного, а у соответств)вещих рзссматр'вземых нами уравнений с частнымя цронзводными коэффициенты г~рн производных зависят от лв)х независимых нсременных, функции жс 7 и / зависят ьрамс этих лвух независимых неременных еще от всех неизвестных функций. Привелщшс системы (1,7) к канонн ~ясному виду (2,7) нропзволнтся совершенно той жс заменой неизвестных функций, кзк это слелзно в ч 44 моего курса цо обыкновенным дифференциальным уравнениям лля системы линейных уравнений с ностоянными коэффициентами. Глпнственное, о гем теперь слелует позаботиться, это доказать, ч~о волизн точки,! козффшщснты линейного преобразований онисаи~ка.о в 4 44, являюгся тзкнмн же глалкнгю функцнячн (х, у), как н коэффициенты а, (х, !) системы (П7). Для этого нзм нрнлс~ся несколько повторить этот й' 44.
й!ы булан нользгжзгься мсзодом гюллой мз~емзтической индукции. Прн л =- 1 локазывагкюе нами утвсржненне о нозмозгностн нрнвелсния системы (1,7) к зилу (2,7) линейщзм нреобрззова~ нем с глзлкнми коэффп;иентамн очеанлно. внгдение. кллссиенклция зтлвнгннй (гл. Допустим, что оно верно лля числа урзанений, раиного л — 1. Дока»;ем, что оно верно н лая пгслз уравнений, рзснюго п. Умножая с-е уравнсти системы (1,7) нз йп где дс -.- неко орые дифференцируемые функции я окрас~ ности то ~кн которые будут определены позже. Полу ~спине урзннення оросуммнруел| по всем с и результат ззнншсм в внлс о(~ Фи;) Определим теперь кс тзк, чтобы тождественно по и было ~ае, йеи,=:=1~Ч'ус,аи (5,7) где л — некоторая дифференцируемая функция (х,у), лейстянтсльная или комплексная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
