И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Тзкне рсиенвв опрелслшотся либо как предел последовательпосгн обычных рспп".ннй, либо прн помолгн интегральных тождеств. Рассмотрим в качестве примера задачу Коши ллв урав- нсннв $9) понятие ов ововщвнных еен1ггш1нх циальных уравнений в области С, если существует бесконечная цослсдоватслыюсть решений (и(М, ..., ггпу этой системы, равномерно сходтцався к (и„..., им),г. е.

если ащ ~ )иг(Р) — иг'1(Р)) 0 при Уг оо. не о 3 а м с ч а н и с. Иногда систему функций (и„..., игг) называют обобщенным решением какой-либо системы дифференциальных уран~ ений также п в том случае, если нскопсрзя нослеловательность обычных решений (и'~', ..., лоп) сходится к (и„..., ам) в среднем, т, с.

если '~~ (цг(Р) — и (Р))пг)Р—. О при й со. о Так овределсцпые обобщсиныс решении могут быть да;ке разрывными. (См. С. Л. С о б о л с в, Уравнсшш матемаз ической физо ки, Гостехиздат, !934 (особенно стр. 314, 322, 329) и С. Л. Со б оп е в, г)скоторыс применении функчгионального анализа в математической физике, Л., )950.) Распгирение класса решений той нлп иной краевой задачи предстанлвст ин герес только в зом случае, ксива при этом расширении сохраняетсв единственность ршпения.

Длв наиболес типичных краевых задач уравнений с частпыин производными С. Л. Соболев доказал существование и единственность нх обобщенных решений. Прп этом приходится особо определить, как надо понимать краевые условии дли обоб:цсипых решений. Дла линейных однородных эллинги вских и парабошшеских уравнений с достаточно гладкими коэффпгщв тами введение указанным выше способом обобщенных решений не расширнет класса обы шых реп1ений этих уравнений гср. теорему 4 й 30).

Длн гиперболических же урагшсний э~о расширение существенно, как показывает уже рассмотренный нами простейший пример, Введение обобщенных решщшй удобно гсм, чго шш существовании обычных ршцений основных красных ззлзч приходится па функции, залаваемыс на ~ раншц рассматриваемой обла Гп, налагать нн01 да весьма жссткис уел!жив гла гкосгн, в ТО 90 (гл. гилегаоли ~есина кеавнеиия ди, ~-~ гнг Е(и): — — +~а,(х„..., х„) —. + +а(х„..„х„)и=-у (х„..., х,), (4,9) где а,, нсярерывно ляфферснцируемы, а Ь и / нелрсркишы я В. Умнгнким обе части (4,9) на функцво а(х„..., х„'„непрерывно диффереицируемую н области с) и гбрзщагощуюся в пуль в окрестности ее грзнгниа; волу генное рзвенство нроингсгрируем но области О.

Интегрируя но частям, приходим к соотношению ~ '(иЛ (а) — у а) г1х, ... гт'х„.== О, (б 9) где Л(а) = — — — — ' -+йз. дс % ~ д (лгл) 9. х- ах 1 с.а ерема кзк для существования обобщенных решений такой гладкости от заданных нз граншгс фушгцнй не требуешься. Так, обобщенно- реяюнис зала ~и Колю (1,9), (2,9) существует, как мы аидсли, црн любой нелрерыаной функции ~р (х). Рассмогрение обобнгеншж решений урзвнення (1,9) тем более естсстаснно, ч го обычно сама функция у (х) нам быазет известнз только нрнближеинс. Поагону соотаетствующзн фушкцня и (1, х), аанаемзя формулой (3,()), также является только нскоторын прнолшкснве:ч к точному решению поставленной задачи.

Нам сове)мненно безразлично, является ли это нрнближеннс обы*шым нля только обобщенным решением уравншнгя (1,9). Вангно, мо оно мзло отлишстся от истинно~о решения, если функция <у(х) разномерно мало отличается от истинно~о начального знзчсния и((), х). Другой способ сзеденяя обобнаенных решений, также нринздлежангня С. Л. Соболса)', состоит н иснользоззнин интегральных рождеств, кгторые для обычнык решений являкыся следствиями рассматриазсмых уравнений, Этот снособ ааслснии обобщенных решений, яолучюзшяй в нзстоюцее время ншрокое рзсярострзнснне, мы рзссмотрим нз примере линейного уравнения нераого норядка. Пусть фушонэ и(х„ ..., х,) а области 0 непрерывно днфферешшруема и удовлетаоряег урааненяю ноня1иа ов ововщьнных есшгниах Таким образом, всвкое обычное решение (4,9) удовлетворяет равенству (5,9). )1о зто равенство выполняется н лля более ншроксчо класса функций и(х„..., х„), так как леван часть (5,9) не содержит нроизводных от и.

Понтону естсствешю следуюлгсе онрсделение. Определение 2. Функции и(х„..., х,„) называетси обобщенным решенном уравнения (4,9) в области 7), если вынолняетси равенство (5,9) дли вовкой нснрерывнз диффсренцнруемой функции о(х„..., х„), обрзщзющейся в нуль во всех точках области й, расстоаннс которых ло границы сУ меньше некоторого ноложительного числа р, (о, различные длн различных о). При рассмотрении обобщенных решений краевых задач, как уже говоршюсь, следует особо указыватгч в каком смысле понимаются краевые условии. Иногда зти условия (или часть из них) можно учесть, вндоизменив интегралыюс тождество, определиющее обобщенное решение. Так, обобщенным рсн1енисм задачи Коши длв уравнения (4,9) в области Е1 полу- пространства х,.== О, граница Г которой содер1кит кусок Г, гинернлоскосги х, =О, с начальным условием и(О, х„..., х„) =~у(х„..., х„) на Г„(6,9) называют кусочно непрерывную функцшо и(х„..., х,), уловлетвориющую равенству ~ ~ (иЛ (в) — у в ) нх, ...

Йх„— — ') у(х„..., х,,)о(О, х„..., х„)г)х,... )х„-.=О (7,9) ц прн любой ненрерывно днфференцируемой функции о(х,, ..., х„), обращающейся в нуль в окрестности à — Г,. 3 ад ач а 1. Покажите, что если функции а(х„..., х„) непрерывно диффсрснцнрусма в замкнутой области О и является обобщсноьш решением задачи Коши (4,9), (6,9) в смысле соотнглнения (7,9), то эта функция удовлетворяет уравнению (4,9) и начальному условию (6,9) в обычном смысле. 3 а д а ч а 2. Постройте обобьцснное решение (в смы.ле соотношении (7,9)) задачи Коши длх уравнения (1,9) [гл.

и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВПЕНИЯ с начальным условием при хп О, при х >О. и(0, х)=( 3 а д а ч з 3. Покажите, что если функция и(г, х) является обобщенным рсшеггнем уравнения (4,9) в смьгсле определения 1, то эта функция является также обобщенным решением (4,9) н в смысле определения 2. 9 10. Задача Коши для гиперболических систем с двумя незавнсимымн переменными !. Рассмотрим систему (1= — 1, 2, ..., Ю) *). (1,10) Мы будем предполагать, чтс во всей рассматриваемой области она пшсрболична, т.

е. все )г — действительпыс функции от 1, х. Будем предполагать еще, что все ),г(1, х) различны н псрспумеровань1 в порядке нк возрастания **). и) Все послелуюшяе рассуждения нзстояпгего параграфа с очень небольшнмн изменениями применимы к системам вида длг дггг д — ' — )ч — г=Уг(1, х, и„..., им) (1=1, 2, ..., гт)) в предположении, что функции Уг(йх,ггп ..., гглг) нмшот непрерывные производные до вто)юго порядка вгглгочгггельно (ср. доказательство суогеспювання решегггггг уравнения ггу --=у(х, у) методом последовательньж приближений). 'н) Предположение о том, что все )г различны, не является существенным. Все дальнейшие рассуждения справедливы н в том случае, когда некоторые )г совпадают. Нужно только для определенна области 0' змее~о каракгеристнки бп выходящей яз точки (О,а), взять решение уравнения нх гтг — = — — )ппп (Г, х) пРоколашее чеРез точкУ (О, а), где )ж.п(б х)=пгаг(),(0 х),.„ й 10) зхдхчв коши для Гипегволичсскнх систем 93 '(ерсз каждую чо шу нашей области ироходит М действи.

тельных хз)икгернс~ як 1., с угловыьш коэффициентами 1 и = — — -- но отношению к оси х (см. пример 5, ч 3). ! ), Если не делать предположения об аналитичности коэф- фициентов системы (1,10)„ то из тсооемы Ковалевской нель- зя сделать никаких выволов о разрешимости задачи Коши для этой 1 т ж системы. Мы нрешншожнм, что в некоторой замкнутой области О, ограниченной отрезком д -о 1Р';~ )и, й( оси Ок и хзрактеРис. 2. ристиками Е, и Еы, выходящими соответственно из точек (О, а) и (О, 6)(рис.

2) *), функции ан, д, н )1 непре- рывны и имеют непрерывные первые производные. Ззда1шм оз отрезке )а, 6] М непрерывно дифферснцируемых функций р, (х), ..., ~р,, (х) и поставим для системы (1,10) задачу Ко- ши таким обрззом: Найти непрерывное в 0 решение и,, и„...„иы систе- лгы (1,10), ижеюи(ее и 0 непрерывные первые проиввадныс, и гпаное, что при 1=0 и,(0, х)=~уг(х) (1=1...

„И). (2,10) ---- — г 0 а - 6 При сделанных предложениях поставленная задача имеет ре- шение и нритом только одно. 'д(д х) ), и вместо 1ы — вроходяшее через точку (О, 6) решение уравнения их йт = — )жчх (т, х), где )мах(т,х)=шах ( >,(т, х), ..., )ы(т, х)). Функции )юс (т, х) и 1„„,(1, х) псврсрывны и, как легко показать, удовлетворшот условию Лившица во 1, если все 1, нсврсрывны и имеют ио г ограниченные вроизволвые. а) Линии 1., и Еы не обязательно вересекаются. 0оочвсгстаенно э~ему область 0 может бьмь бесконечной.

Характеристики

Список файлов лекций