И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 17
Текст из файла (страница 17)
г(оказательство г сором ы о един с твегг ности. Логгустгггг. что внутри конуса д и на его поверхности суггвствуюг лва ггепрергггггг и; нмесге с нх пр лгзволггыми ло '2- и иорялкз вклгочитсльио решения п, (г, х,, х„) к пг (), х„х,) уравнения (1,11), которые вчсстс с их первыми произьодгггяггн по г союшдшот на огсггов,г~ггги К. '!огиз разность и(1, х„х,) =-иь(1, х„х,)--и, (г, х,, х,) лгглжггз внутри уг' гзкж; уловлетворять однородному уравиенюо (1,! 1), з ка оснонашги этого конуса и (у, х„х,) я и;(г, х, х ) лолжшя оор,гпыгься в н)ль.
Теорема о сггинсг ггснгюсти бггст лшчазагы, сгги мьг лоьагьем, 'гго и(! х, х )--О в вершине У(. ь)гебы доказаж это, проинтегрируем по внут- 11) злллчл коюи длв волнового хвхвнгю.и 1к:нностп кону'са К и 1рзисс!юс дп у ~уп д'и суит и( (,дм дх; д» х которос. там пскову равно пулкл гаь кзк функции ы улонлегворнет уравнению (1,11), Так как дп д'и 1 д /дп~' дг дс-' 2 дЕ~дг,) ' дид"и г' Удили ~ д'и с)и дт дх;" дх,'Хдс дкг,) дсдх, дх; Преоорззуен зтот интеграл в двойной по формуле Остро градского.
Если через К, обозначить боковую новсрхнос гь конуса К, а через С в его основание, то, гюскольку нз С дп да дп в силу начальных условий †, - =-' -= — — =-- О, останетсч дт дс, азха только инто~раз по К,: ди дп дп с~и — - 2 -- - -'- соз (л, х,) — 2: —,. — сов (л, к,) ) да и), (5,11) 3 ь ь) Обрапгаем внимание на то, что в 1ыссматривзвмых преозравовзьиил ив гегрзла д33 ГРдн г'д д'и ж т — — — — — — дт дх, дх„ ) ) дт (дса д х д а/ мы использовали непрерь~вность первых произвоаных а внутри и па границе К и нптегрнруемость по К вторых пронтвозпых ог и. В~орые произволюае от и во всвком случао интегрируемы но К, если оин непрерывны внутри К и на его границе.
1г!)э 11 ГИПЕРВОЛН'1РСКИЕ УРЛВНЕНИЯ Ио па боковой поверкнос1Н ХЗРактерис1ИЧССкОГо КОНУса соз'(а, г) - - соь' (л, х,) — соч'(и, х,) = О. (6,11) умнояп1в и разлепив 1юльш 1егральну1о функпию на соа(п, у) и воспользовавшись сооз ношс1шем (6,11), получим из (5,1 1) ГП г(1г! д —,— — -- — — «! «! ! ! — соь(л, х,) — — - сов(п, 1))'+ 2сез О1, Г)),~ ) ('1, «Г ' ' дх, 1' дл да -1г ! — >- соз(л, х,) — сов(л, !)~ ) туз=О. (7,11) При атом соз (л, !) вынесен за знак интеграла, так как ! НЗ К, Вта ВЕЛИЧННа ПОСтсьяю1аи (СОЬ.
(Л, !)= — - = ПРИ 1)У, )Г и и соя(л, !)== — --.. Нри г< г ), ! о ' Из равшютва (7,1!) следу~т, что нз боковой поверхно- сти конуса К 111 Л. Л. ссм!л, г! ом(л. х,) сеа(л, х) (8,11) Гиш обозначим через лг направление какой-нибудь образ1ющей конуса К, то, вос1юльзовзвшись р;шенствами (8,11), получим «и — —.== и', соа (ш, !) + и' соя (т, х,) + а' соь (лг, х,) =- =. о!соя (л, Г) сов (л1, !) ',-сиз(л, х,) сов(ш, х,)+ + соя (л, х,) соь. (т, х,)~.:о соя (лг, л) =О (соз (лпп) = —.
О 1ютону, 1го образукндзя конуса всегда составляет прямой угол с нормалью к его поверхности). Итак, на поверхности конуса К производная от и по направлсшно образу1Опгсй рюша нулв. Отсюда следует, чго функптн1 и равна нул1о в вершине конуса, так как она равна нулю па его основшшп.
Зтп51 заканчивается доказательство тш'рс51ы и сдннственношгп. ч 121 еогййялы, длвошис еешеннг зхдхчвв коши 107 ф 12. Формулы, дающие решение задайввв Коши для волнового уравненивв 1. Пусть в нсвшторой ввбластп св, пространства (х„х„х,) запалы функпии в(вй(х„х„х,) н вр, (х„х„х,), причем ву„невврсрвявввз змеев е со сноимн производными до третьего, а вП вЂ” до втоРого поРидкз включнтслыво. Мы хотим нанти решение вв(1, х„х„х,) уравнения дйв! дйл дйи + дйа дх' дх' дх' ! й й (1,12) удовлетаорявовасс при в= О услошшм (2,12), (2, 12), и(0, х„хй, хй)= — в)„(хй, х„х,), и,(0, х„х,, х,) =в(в,(хо х„х,). Это ревпение будет определено во всех точках (в, х„х„х,), служащих всрвнинами характеристических конусов, основания которых принадлежат вз,.
11а()дем сначала решение и„(г, х,, х,, х,) уравнения (1,12) прн начзльныз условиях частного вида: и', (О, х„х„х,) =.е(х„.х,, х,). (3,12), (3,12) Тогда легко убедиться, что функвшя дв„ э(1, х„х„х,) =.—" де удовлегво(вяст при г=0 усввовввям е (О, х„х„хй) = — )в (х„х„х,), гли д'ай дйи й дйий дл, а= - -в+и . 11озтому, если гв нмсст ввспрсрывные нронзволныс в рстьсго шврядка, решенно урзепевшя (1,12), удовлевворяющес обоим условиям (2й12), дастся форм)лоб (гл и гиню волические кглвнгния '1'зкпм образом, обгцзя задача Копл~ длн урзвюгиия (1.12) сноднзсч к нзхгокленюо а., Мы утвернгдаем, по справедлива г)люмула 3 ) а 3тз формула называется форлд лей утирхеофа. Здесь 5,(х„ х,„, х,) означает сферу радиуса г с центром в точке (х„ х„, х,) на гнперплоскости 1:..†.: О, где задана функция ~у, а ~(а, — алеман~ поверхности этой сферы.
Мы будем предполагать, что грункння м(х,, х„ х,) непрерывна н ограничена вместе со своими проиаводиымп до й-го порядка включкгельно ((г = 2); тогда н функция игн как будет дальше видно из формулы (6,12), булсг иметь непрерывные пропзводныс до )а-го порядка вклкли~слюю. 11окз>кем сна гала, что фунюгпн и,, даваемая формулой (5,12), удовлетворяет начзльиью условиям (3,12). Первое на этих условна удовлетворяется потому, ~го н следовательно, и„(1, х„х, х„) — О при г — О. г(тобы проверить второе услсаве, анис~им, что, поло~киа и, =.—. ха -)-(а.т, мы приведем иитегрз ~ (:),121 к ю ау ..., х.) =-,,; ~; (х, +, „х, + Фа х, + уХ) ~, где интегрирование распростраюются по фиксированнон для всех х„х„х„Г сфере К+,,! ., 1 Ло .'~Р 12) Фогмхлм, ал4огипв ееьчвипв звал 1й коппи 109 гии„ Чтснвм вычислгпь —.", перепишем равенство (7,12) так: дР дя,.
а, ! одт~!в ду дт т дя г(д + г/я г)я + — — г)я яя д~"- — ~ 4к) ~ ( дя 2 ' гм ~ ~ ' дя Я~ т + ' + — — ~) с(я, г!я, г!я, = я ===-,'+ —,-,, (9,12) 7(у) --Д~ ! '. + -". + — ' ) аЪ, да, Жсм с венгром в точке (х„х„х,) на получаем а И вЂ” итар ралиуса гиперилоскости à — О Из формулм В,)2) д/(г) 4вг д! а, Г ~Г)') 7(т), 1 г!7ГО т ГдлГ ) чу ! 4пт дг (10,12) Повтому — .
1~ с(х, +!В„з, ) !, .„х, ! !1,) гта, -)- — ' ~~~" 34м (х, +)~~о х,,+у!)о х, )Л !),) туз,. !7,12) 5, 4— Здесь ~уа оаиа гает произвовну~о от м по ял, Легко вплетен ° по первое слагаемое в правой части сгремнтси к я(!х„ х„ х,), коган ! — О, а второе стремитсв к нулнз, потому что вколиьмий в него интеграл остаетси ог!иничгигпньи !'еперь лостаточио аоказатгч что и„ опрелеленное ио формуле Кпрхгофа, уаовлетворвет уравиепиго (1,12). Иа равенства (б,)2) накопим ;., ~~~-' —,"+д — ', +'~ , ")ддо (Я,)2) (~л.
ь гипегаоличьскиг зшлннения Но легко видеть, ло д/ой и Г /д'- д'т дст — — == / 1 ( — т + — + — '-) /, '). (11,12) -М' .-- б, й э Сравш ззя равенства (8,12), (10,12) и (11,12), щгко убедиться, что функция л, опредсляемая формулой Кирхгофа, дейстнптслшю улоплетаоряст волновому уравнению (1,12), 3 а м е ч а н и с. Если ф).акция и, (х„х„х,) ~о~~~~ и прерыаиз, 3 ю„(х„х„х,) непрерыина Вместе со споимп первыми произеодпыми, то функция и, определеннаи рззенстазми (0,12), (5,12), даст только об ~бщенное решение зада и Коши. При атом нол обобщенным решением задачи Коиш для уравнешш (1,12) с начальными условиямн (2,12) мы понимаем предел равномерно сходяитсйся последователькости ршиеннй аьп(1, х,, х„ х,) урзанснии (1,!2) с начальными условиями л сели при л оо послелоазтелшюсти ан„п —."'", ун, раино с ля мс(лю в с/ сходятся соотвегствсвю к о, — '-', м( .
Легко О ,и лх, ! нилстгп что есле о, (х„х„, х,) нспрерьвна, з а, — вепре- рызно дифферсчнгпрусма, то обобщсяиое ршпснис задачи Коши с начальными условияин (2,12) существует и едии- с~вснио, 2. Рассмотрим частный случай, когда фупкшш ~р пе заиисит от х,. Легко нндеть, но тогда функция и, давае- мая формулой Кнрхгофа, также пс будет зависеть ог х, ь) Б самом леле, персзодя к полярным коорлиншам (Е, 0, т) с центром в то ~кс (х„х,, х,), имеем /(й ° - ~~ ~ а', (г, т, 0)г~з!па~/ризаг и/(/1 Р ' — ае(Г, (, О)/ььша~Фтг/0;= ~ ~ Ьт~/ап и/ 12) еогмалы, лиощив ггшьннв задачи копи 111 и поэтому будет удовлетворять уравнению сии д'а и'и г х," г)х,' †.-=;, + (!2,12) М, =-. 1 г — (я, — х,)'-- (а,, — з и формула Кирхгофа переписывается следующим образом: и (1, х„х,) ==.
1 ~'~'т(з„~,) 1 ~" ~' с(а„з,) ~~й, гв~, Поэтому решение уравнения (12,12К удовлетворвощее усвоя~ем л(О, х„х,) ==:(„(х„х,), и,'(О, х„х,) =)з,(х„х,), дается формулой Г Г у, (а „я,) на, гтя ,+ "г ~ 1' Г' — (з, — «,)' — Ш,— х,~-' ( ( ея(г,, п,) Т~, ~гсд — (з, — х,) — (а, — х,)- А) Эта формула называется Жорлгулой Пупсгонп. 3. Если фупкпия (з не завися г нн от х„га от х„то функция и, даваемая формулой Кпркгофз, также нс зависят ни от х„ни от х„и пегому удовлегворяст уравнению П 4,12) вг* лх" ч В этом случае формулу Клркгофа можно псрепнсать гзк: ия(Г, х,)== — -Ц -' -'-г(о,.—.==. ~ у(тч)г(ам аг х,— ~ ц этом случае можно интеграл по сфере Яг заменить удвоенным интегралом по сеченного Кг шаоа Кг плоскостью гг ==х,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
