И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Б самом дслс, ссгггг (гл. и гищгеяолнческик к лепи>ия слслать наиболее общее г>релположсннс д'и д л д>л О>п и д и ду.„' ду" ,ду,'> ду..', к > >'/ дх>дх/ > / и лопустнтьч /то д'а, /М> д'и д>// д>л > " //х//', ' ( >/х-„' сК'; дх', д>., )> >,/.. 0 то мы прилеп к протяворсчщс с тем фзьтом, что всякое рещение )>1/зянения (1>14) пороке~от при прес>брззоизьпп/ пс)/сменных я рещещ>е такого я/с урзвнсипя. Действительно, я ятом слу гзе ь>спина г/олобра/ь систему таких чисел и/,= и"., чтобы >'/= л/ ". оии улоялстяорялн двум лвщйным уравнениям: />,/и» .=.
1, (16, 14), >,/ — е о » (16,14), Для ьб нь>в~ й(я, х, х, х ) --,/ х х инск/т нес~о рзес»сч Бз д' л — — — .=и о д:;,дх/ и' В склу (16,14), чзз фун>/пия улоялетворяет урзяненик/ (1,14), з после преобразования перемени>ск онз не булсг улоялстиорять урзвнсшпо (13,14), кзк слслуст нз (16,14), и (16,14). Слслщ/зтслы>о, сп(/зесллняо (14,14). Пронзвелем прсобрззованис подоб, я х, '= х/ —;=- (/ = — О, 1, 2, 3); '1') И ' >/>// д>м д'и Ил т / д>п д>л д'а д'и >, >>дх', ~ы, дх> дх,,) 'тдх, дх, ~)х дх,,/ Слсдоязтслыо, нзм лгостзто юо >/оьззз1/ь что прсобрзз»язнне у/== ~у а,.х,.
(/=О,..., 3,', (1/',14) /- Р 14) пгеовглзовлпия логгнцх не мспнюнцее мод; чь лнфференцнвлыюго выр гжсннтт 1 и д'и тдтт тга (18,14) дх„дх, дх,, дх „ есть преобразование Лоренца, т. е. оно нс меняет вт1лтт квадраитчной формы ()с) 1,1) !1о это следует из того, что, как было показано в ч 5, при линейном преобразовании независимых ттсреьтепных вида (17,14) выражение преобразуется так жс, кент преобразуется квадратгнтлая форма от этих псрсмениях 1 сыт х;, л/ если над ннытт совершить преобразование х,= Х атс ут (7=-0, ° °, 3).
(20,14) Тнк как преобразование (17,14) с точностью до знака нс меняет вида выраткеппв (18,14), то преобразование (20,14) с точностью до знзка не меняет вида квадратичной формы (19,14). Но в силу закона инерции и знак (19,14) нн нри каком линейном ореобтразовантттт с действительными коэффициентами измениться пе монтет, поэтому преобразование (20,14) и обратное к нему суть преобразования Лорснгта. Соглас|ю установленному в п. 1, тогда н исходнос преобразование (17,14) есть преобразование Лоренца, так как его матрица есть транспоннровтнтнатт к матрице прсобразовання Лоренца (20,14). Таким образом, ыы показали, что всякое однородное линейное нреобразовюгне, не меня~питое вида уравнения (1,14), есть комбинация преобразования полобия и преобразования Лорстнта.
Так как очевидно, что перенос начала координат также не меняет вида этого уравнения, го теорема пОлнОстью до!(азана. ГИПГРПОЛИЧРСКИР УРЬВПРНИЯ 8. Ортогсипюыпзм прсобржюнзш'ем г~срсыс~ии«х хо хы х, мы мшкем Перенес гн любую прохоля~цук1 через ~ з ыло»ь«1прдинат ги1ср1«лс1скос 1 ь н прост рвистве 1, х, х, л „из«т«~псиную к 01 лод углом, большим 45о (н только такую), в гштсрплоскость г = — (тх, гле 1(.",', с' 1 к) в преобразование Лорспиз ((514) даст возмояиюсть перевести в гу гипсрплосгсс|сть в «юрдииаз иую гнисрилоскость 1":=.
О. Таким образом, мы яссютз можем лгшсйшсм прсобрззопз пюм гюззвпсимых псрсиепиых, нс гюмснякипнм Вида угтавнспия (1,14), перевести любую гнпсрплосю сть В пространстве (г', х„х, х ), изьлонснную к оси 01 под углом, бблыпим 45", в гтие1вл зс. кость 1=.-. О. Тем самым мы получаем возмщкп .сть рсипгть задачу Коши для урвшсши (1,14), задавая иячальныс дзиныс ис только на глпсрплоскости г --=- .О, во и лз лк:бог) ы1исрилоскостн И, составлюощсй с осью Ог' угол, бблыиий 4О', или, что все равно, из гпп. рллоскостп 11, псресскзющсй кзждый нз характеристических конусов урависння (1,14) тсюь«о по одной его поле нлн в одной только стс. Вершипс. Дсйстг«1 тельно, задавзи в какой.либо области 0Ы иаходянгсйся иа 11, функцию п и ее производпую по какому-.шбудь напозвлсник, Выходяпгсму из плоскости Ц, мы тсм самым зздзсы В область 0 лсрвыс производные от а по иобым направлениям в пространстве (1, х„х„х,), тзк как зизипс фр киши и в области О, дает нзм знзпне в Втой области ге первых производных ~из всем нзир,твлсиияы, лежащим в О,.
Преобразуя же гявсрнлоскость Ц ") 1(ус гь урзпиепне тзк в~ гпис1«. мс«ости зызпо в як|о А! + Вх, + Схз+ т«х, = — б, гле тд + Ст 1 0" =--1. Топ а ког««1С А угла а, нормали к гииерплосаости с осью От равен --- .. †,,з тая. )гА-+ 1' 1 генс зтого угла равен --. Если н рмаль «гипсрп ~осхости состав- ляет с осью 0т угол, мепыппй 45', то прообразе«зп«е Ьх, (-Сх, +0ха:.— х, прн соответственно выбрз.игых (из условий ортоговааьпости пре- образования) х;, н х, преобразует данило гиле1паос«ость в ющср- плоскость виза 1 ~ ( 1 А! (-х,.=:О или т=- — --х,, где , '1<1.
) А, пгвовгазования логьнцл в гиперплоскость 1" = — О, мы сводим решенно задаю Коши прп начальных дюшык на П к зава ~е Коню, рзсгмогрсп юй вЯ 12. С другой стороны, легко показать, что задача Коши для уравнения (1,14) будет некорректно поставлена, если начальные условия задавать на гнперплоскостн П„ наклоненной в пространстве 1, х„ ..., х„ к оси 01 нод углом, не гревьшгаюгцим 45'. В самом деле, если гиперплоскосгь П составляет с 01 угол в 45', то опа имеет характеристическое направление и потому нз ней нельзя задавать произвольно условия Коши, какой бы гладкости мы пи требовалн от нпк. Рассмотрим теперь случай, когда П составляет с 01 угол, меныпий 45". Ортогональкым нреобразованяем координат в пространстве (х„ х„ х,) и пзраллельшлм ик переносом всегза мокино достигнуть того, ~тобы гиперплоскость П имела уравнение Игг'+х, = О, тле )Р1 (1. При этом, как утке отмечалпсь, вид уравнения (1,14) не изменится.
Вогвользоваюиись далее преобразованием Лоренца, можно дос гиги уть тг~го, чтобы гиперплоскость П получила уравнение х',=-О, причем уравнение (1,14) ие изменится. Зададим па гиперплоскости х", = — О следуюпгие условия Коши.* и(1н, О, хп х',) =у,(х,), ('21,14) Если мы найдем решенно и(х"„х",) уравнения гиа гил —.—,+-. =О, дх, Дх,' удовлетворнюгцее условиям и(О, х',) =р„(х'„), ) и„' (О, х".,) =- а, (х",), то груикция и(х'„х',.) будет удовлетворять урзвненио (1,14) (гл.
и гипегволическия хелянения и услоеиям (21,14), Гслп мы зз начальш»с услозпя (22,14) возьмем условия (2,8)„ (2,8)м которые 6 ~лк нспоггьзоизви в примере, посгроенпо1г Ллзмз(роя, зо лш ко получить некорректность постзнозки задачи Коцггг для уравнения (1,14) с начальными условиями на шп~ерилоскости х, = О. й 15.
Математические основы специальной теории относительности Специальный прпг.оп относительности состоит з том, ло во всех ннерггизльных системах отсчета я) зсе зшюны природы имеют одинаковую форму. Точнее, н кажлой яз этих спсгсм отсчета асе законы природы можно ззписзть одипаконыяя уравнениями. В чзстности, н кажлой нз этих систем отсчета скорость света одгшакояа и притом не зависит от напразления распространения света. Для простоты записи мы будем предполагзть, что она ранна 1. Система отсчета нззызается ииерциальпой, сслн н этой системе зснкое тело при отсутстнни внешних сил лзнжегся прямолинейно и разномерно. Из этого определенна следует, что система отсчегз, движущаяся ршшомерно и прямолинейно относительно какой-либо инерциальпой системы стсчета, также является ннсрцпальной, н, обратно, любыс дне пнерцпальные системы движутся друг относительно друга разномерно и прямолинейно.
Нашей целью является нахождение снязи между пространственно-временными координатами лля лвух инерцнзльных слстем отсчета А' и А", одна из которых А" ляяжется равномерно и прямолинейно со скоростью р, по абсолютной величине меньшей 1, относительно лругой системы отсчета А'. В силу прелползгаемой однородности и нзотропности пространства и времени мы будем считать, что искомая связь линейка и ее коэффициенты зависят только от гй Прострзнственно-временньге координаты лля А' мы будем обозначать (1, х„ х,', х,), а для А" соотяетстяенно (1", х'„, х"„ х",).
Иногда для простоты записи мы будем писем ь х,' вместо 1' и х, "вместо г". В Спешной отсчета пазьшаготся пространственные коорлишпы, служзгцне для указания места, н часы, служащие лля указания времени. й 15» г»»с»'нл»ьнл»г»3 с»Р»»я О» ~госз»т»» ькосгн 11глк, иге» »'. — ~' а,,»:)х,'.)- ао (»'. О, 1.'». й]. (!,»о) 1!зк» ж п»»е связи между коордкнз» з»и» (), х,, х.. з,; и (» .;.,', »:..., з» судет основз»»о топко нз»» . »онн.тнс с»»с»»»к»»» сзе»о» з гя сне» я»»гс'»'.
тз 4' г» .4'. 11рямолги ейное р,»сирострзисннс п»о, кои с»»сто»г»й»ко». »» н простр»ны»нс (» „., „х))»ы о»»исывзем локатор»»й нсиоаг»»»н. »:ой функ»и»сн — ) — а х, Р„л,—: »».т.), (:),1 .) г»»»»гсрх»н сгн ур. вю»»»»зоран с г»зг»с»кл»ссо» кремс»ьг»' врс. двнглотся»ырпсидикуляр»»о к плоскости»»,.г,. +аох, +а,х,=- = — со»М со скорость»о ) ~», ° ).и;-) л) по»»р»ел»го»»» жтннк» рзенон 1; »г . а,, а. и, здесь пост»:в»ные. Огсг»»дз с»»к».стд что ао — » (+ г» ")»»». (3,1й) Ты. кзк скорость сзетз для сне». мы отсче»з А' в к»оран,аз»»к .'" х1, с', х" .»; к:».и дол киз бь»ть рз»и ой 1, то, »»~ режь»я о» ког»рзи»»:»т х, к каор»оннаггм» .*:", ог»я»»лидок», чг нырзжс. нне а,)' -,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
