И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Соболев показал'.), что лл!! нслв!юйного гпнерболп и!- ского уравнения Е =-: —,-~) +4. При ьточ прслполагаечся, ыо фуа щю 1', стоягйав в правой час!и ураьч!сню! (4,16), имеет пепрерывныс пр!н!звод!н,!е но всем ар!.уменгам до поГл1 рядка ~ — ~ — -3. ~Я 6. Система линейных уравнений !Ч К !.=- ! а„-1. а, -1- ...
+ а;=.-. о =-~, (1, х„..., х„) (!.— -1, 2,..., д) называется 1-гиперболиееско!1 в !о !кс (1', х,..., х,',), ес,!н !грн л!Обык действительных ио с!ъм!а квадратов которык положительна, определктель , л~ + Ф, .1.... + л „=-. и, имеет только дейстаптельныс я различные корни ).. Авали! н !но определяется 1-гю!ерболнчность нелинейной системы вблиан какого-нибудь ее рсюенвв. Длв гиперболических систем доказана корректность !юстановки зада !н Кон!и ак), Для уравнений с !юстояннь!ми ковффи!шентамп определение гиперболичпости было обобгцено Гордингом след)югднм ") С. Л. С обод е в, ДА)4 ХХ, 14 2 — 3 (1938), 79 — На,' Неко!орые применения функюнюа„,ьного а!ыл!ма в кате!!ачн !вской физике, Л., 1'.!60. "-! И Г.
11 с . ро ь с к и й, Ма!вы свор!юк 2гл!) ()и!27!Н!о Ийь сдь икжс 1 ага у, Г)у)!с!Ьо))с нйсп!пг1а) сс)ваюл!к 1!!!все!ол, 1в5Л; Л. 1 о р л и и г, 11.!!см.(г!н!ь! (перыюль!). 11!) 2: 1 11!С)ЬЬ 61 — Рб. '1,)б (гл. п типы ьолп мсьие а глииы ия образом. Ураппсппе 2.
дел ось" )хл'. б лх~' ьЫР„-).ГЗ 1 ., вы; астгя гнпср)гзлиясскю~ гпюгптсльио иаг,раалсиия -ь '.,1, г.ы =. лсйс.гпитсльпы и "~', -".," = О, сели 1 — ь Х ь-1 а -1-.. -,' и суп)сетя)'ст такое )гсйстаптсльпос ипсло ).", аи. ы(),„', +(а,)" ().;,+)и,)ь ... а. а 1 ь, - ...
1! ими ... ().'.-л+)х„)и =ф=0 ..ря ) - '~,и и любых лсйстиигсльиых яс Доказаию, ит«из и. «х лписйиых ) раппе~ей с иги тоьииыип козффл1ияеи гаги1 .олыко аля ураны;мй, ~ппсргйолиисскях и указммои выгис .ыслс, зала и Коми гоставлсиа коррсктио при проязвольнь|х л .стато юо глалких иа ~альиых фуиквых, заааииых на гиесрплоскос1и „х„,+=, +...
+я,х„= — ба). 1()п1 исглело~ ыи и ур, в~гний с постоя мыми козффиииспгагм паял ув роль в раст ирписпенпс преобразоигимй Фтрьс. 1 иг ими)ью иреооразоиаиий Фур|с изучая вопрос о коррскги кти .и таиоикп зала и Коим для систем пикейных ураапс» гй с постони;ыми (изи запасая)ими от 1) ксзффицяеитами, ~аписе устаиовлсиы каисствсппыс свойства региеппй тм,их С ИС ~ СМ " "1. 7.
)(ля у.гиперболииеского урависиия с посгоиинымп козффидрептами аида Х. Г)г'Л д)гмг)ха' ... йхгь 1з а г И)и Аг1и Ма)йеп1аиса. 85, г(а 1 — 2 1)пй)), 1 — 62. Сы. тгиоьс И Гй ! ел гы) ил и Г. с. Шилов, Обеспечение Фуикиии, аып.,'1, Фгы1 !гиз, 1збк (глава 3). ":) 11. 1. 11етроиский, Гиолзетепь МГУ, секция А, 1, гьм 7 11%к)' )) уи 1 ель~) а ил и Г, Г Ш ил оп, Огзогицсииыг Функции, г ыи. З Фи ьиа,~ и~ )сзя гглаиа '11). 16) овзог ошювных елктов в ткогнн злдлчи коши 137 получены формулы, дающие решенно задачи Коши с начальпыни условннмн нз гиперплоскости != в 0 »).
Длв уравнений вида (6,16) изучен вопрос о диффузии волн, который был у~!се рассмотрен нами длн волнового уравленво. Гоковзя поверхность характеристического конуса уравнения (6,16) с вершиной в точке (1», х„ ..., х„) разбивает основание его на лптерплоскости 1 =- О, вообще говори, на несколько областей. Одну из этих областей мы будем называть л з к у н ой, сали при лсобых изменениях начальных данных (лишь бы юш оставались достаточно гладкими) только внутри этой обвести решение задачи Коши дли уравнснсш (6,16) не изменяетсн в точке (г», х„..., х„). Если лакуна содержит посек!сакэ верпины характеристического конуса на сипсрпсн скость 1»:-О, то для уравнения (6,16) отсутствует диффузия волн.
11аличнс лзкун у уравненкн (6,16) определив ! ся ~ сомстрнческнми (топологнчесщгви) свойс гзамн поверх- ностин !~„6» +...-Рл„,=м д»и д'н д»и дтс дх» ду' (7,16) при нз ы!льных условивх а(О, х, у)=ю(х, у), ис(0, х, у)=ф(х, у). Црн зтсм нрсдполагаетсв, что на щльные функции су(х, у) и ») Нсгк1о1г, Вег1с)йе дог басйз!»сьев А1садепне 78 (19261, 93 — !26, 287 — 318; 80 (!928), 69--1!4. И. Г. Петровский, Магем.
сборник 17(5'.!):3 !19451, 289 — 370. И. 51. Г ел ьф а н а и 3. Я, Ш »- и н р о, Успехи матам. наук 10:3 !1955), 3 — 70. "»! И 1'. П е т поиск» й, Изв. А11 СССР, серна матем. 8 (19441, 101 — !66; 54»~е»ь соорнчк 17[59):3 !!945ь 289 — 370. прн ! =--1 в комплексном пространстве (вп з„..., з,); найдены нсобходнмьщ н достаточные условия существовании л з к !з с И!шрос о диффузии волн н лакунах изучался также и длв об:ннх гчггн!ербссшсчес!сих снстщ!»".). 8. Укажем следу!гноив пряближсв~ый метод решении задачи Кон~в (исто! коне л~ых разностей) дчв уравнении (гл.
и гиню воли гьские ю хвнг ния ф (лб у) гщеют пспрерывныс прогвводные до че г пер гого гюркдьа вклю гнгслыю н определены в некотором ггваугрггте Ьг: Проводячся три сеьгсйства параллельпьгх гглоскостей в гг)гост(гаггсгггс (1, л, у): (.=ы, А-.=б, 1, 2, 3, ..., к==во, У=-п). Згтссь Ь и о — гшкоторые гюлогкытельньш числа. '1нсла в н и ггрсгбсгагггт г акис гюслсдовагсльпые ислыс значения, что вссгла а с. вуу с гу и с < по х.
с(. 1(лгг уггрощеггык излогвснвя дггпустгмг„гто а=пг,о, гг= —;в,гу, с=. п,о, с(=п,в. Заггеггггм в ураввсгшв (у,)гбг) гггг()гЬ, вс, по) на и 1(л . 1) ь, гук', ггз)+и ((й+ )) а, уггл, пе) — уггг ггул, т'и иа) ии()гб, с, 6) . гг ггггз, (уп+ 11) й, ууа( )- и 1)уз, (т — 1) г, иг) — Зи (АЗ. гг'', ие) и, (угл, во, пй) замсшгм гга и (гг~, т.', (и -р 1) зг + и!йЛЬ глй (гг — 1) 11 — Ьг ()гд, гл3, ив) Легко провсоить, что сслк и(г, х, у) имеет ньчгрерывные проызвоушые дг; вгггрггго порндка включительно, то грн достаточно малых Ь и с происгскшогцие от такой замшгы ошибки м,опь Посл: этого дггбггфсрсгггггггглыггге уравнение (у,16) обращасгся в разыостгше уравнение, когорос обозна'гим черггз (й.
пг, и). Придягдп Ф, в, уб различпьгс хогг)сгнмые зна шгшг, полу гпм спетому разпостньгх урану;ешгй. Регпсгггге этой гпь гомы булан <гбозгю шть и. Ь' соответствии с шгчальнымп условиями полшкнм и(0, упь, угу).=ги(пгй, пй), и(Ь, и"', гм) и(п„т', иг) а )з 161 оаснгн осноаних аакгон в ть ч ии ааллчк коган )о9 )ыаа начальныс услоеня определят а(0. та, лб) и и (Ь, тле', па) ао всех уаловь~х точках, длк ю торых соо~нетстнумиие ~очки (О.
глс, ль) леткаг н области 6. После этого, аь.ииспвая рааностцые уравнения (1, т, л), ин иайлем аиа ~ения и(2Л, глэ, па) во всех точках (2Ь, ~й, лэ), слуягащих Рс))ьингачн Л окраина сказанного ла рнс. о иила ° Ф)а", та раа ' к гс',пг сау При згои оредиолагаетси, что асс точки 10, )гл, )) г;, (и лежат ннутри квалрата О„г. е. что и,+1к. т(т,— 1, г),+1< п~п (чыиисывая нотон ураинения (2, т, и), мь~ найден аначении и в то )ках (Ы, то, пГ), где и,+2 гл~ьаа — '2, п,+2<' и<'и,— 2, оольауясь ранее найленнгнчи вна ~свинки и на н ясностях г' ==,х, 1 =-- 2Л. П)эодолткая эти аычислсн1ни хн ~ иа)'леи анач л~нк и я .
сх точках (й.х, то„по), лея'аьр)х вну) ри нираеики с основ,ннсь (, 140 гипегволнчгскна (а хвн(гп(п( [гл. и на плоскости 1=.=. О и с боковыми грю.ямп, нюлоненными а к втой плоскости под углом агсЦ" Если м ( а и о достаточно лыхло, г(го лголгно покатзать. юно найденные она(ения и (кЬ, то, ггд) как угодно лгало отличагготся от значении е этих то гкагх функ((ии и (К х, у), коли— Лая слузк(гт точньгм ре(иенислг постаеленной задачи Ыгггги. Аналогично определяются приближе(ниле значения и (1, х, у) при 1(0. Такие же пестрое~(г(я позволяют прнбъ(женно реншгь згшачу Коши для более общпх линейных гиперболических уравне~(ий второго порядка с любым числом независимых перемеш(ыхч).
Г1риблнжснноыу рен(ению гв1срболи шских уравнениг( и систем ме(одом конечных разностей посвюцспо большое число раб(л. 9. Уравнение ог даи оа оа ду' — — = й(у) й(х, у) — — + а (х, у) --+ а (х, у) — ' + дх' ' дх ' ау + с (х„у) и+ / (с, у), (8,16) где )а (0) = О, (а (у) — монотонно возр((с (акзн(ая фупюшя у и Ь(х,у))0 нри у з О, является ги(~ерболг(ческяы при у 0 и параболическим ири у -=.О. Коказано, ~то .шдача Коши д.ш уравнения (8,16) с начальш|ми дааными на иарабшш ~вской линии у = 0 и(х, 0) =р(х), "и(х, 0) = ~(х) ((),16) ду поставлена корректно, если кочффна(ек гы уравнения (ш.ш ютсв достаточно гладкими функц шян н вы((о.н(яс~ся условие тп (х. ч) 1(ш — — = — '==.
О. а Г гг(У( )(4ожио привести примеры, ког(а при нарушении весно уело вия задача Кош (8,16). (сд„161 оказывается некорректшн( ""). Аналогичные результаты полу ~е на так;ке н лля уравне;шя со многими независимыми (юремсниьын. ') (,'м., например, Курант, Фрн 'рико Лова, Уснеан матом.
наук, ьып. Ч111 ((Ч41), 141 — ИО а") КК С. Боре ~и и, Матея сеорннк зон()гй(64'(й ЗО[ — Зун [ага((е К Сааайан,)оогпа( о(' а(а(О. О:4 (1061ь 51г -:эя. 161 овесе основных елктов в гвогии задачи коши 141 10. Гннербоаичсскис системы нелинейных уравнений имеют широкгю оримененис в механике, особенно ори изучении движений газа. Многие задачи механики приводят к рассмотреншо разрывных начальных условий и разрывных решений. издана Коши д.ш нелинейных гинерболических си~тем уравнений с разрывными начальными условиями обладает рядом особенностей, которых не имеют линейные системы уравнений. Рзссмо~рим примеры. В качестве начальгюго условия для задачи Ко~пи возьмем разрывные функции вида 1, если х =.О, <р(х)=-. ' * ( - -1, если х)0 ) — 1, сели х-., О Ф(х).—.. 1, если х >О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
