И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 26
Текст из файла (страница 26)
чительно более широкг»го клзсса уравнений. * П' 3. Ка»кдзя из фунюгнй н,((, х) =2(,(х) У»(() =. ~г — з(л — — х — П- ггя =О,, згл — х зьл — » Лх . Лх Ль соэ,"/4-В»зю - ~ ) = Лх — '(»+ »») (гг.—.= ), 2, 3,,) ! ипгняоличесюи: уялюи'ння В иас!ою!!ем параграфе мы дадим и!ли!кение метода без строгого обосиона!юв полунин!!ык результатов С!боснг!нан! с метода Фурье будет дюю а иос.!!еду!он!як параграфах.
1)первые стро!ос обосню!анне метода Фурге б:!г!о дано В. А. Сте!слоя!,!ы ). Итак, рассмотрим гилсрболню.и ое ураньсяис вид! .!р(Е,(')+Р,(х)) !г:==О, (1,21) где козффиию!н!ы А, Г:, Й, Е, !'„с, — - дос !а!олио гладкнс фецкииг!. ири !см А(!) >а» .ъ0, С(х) с. г„. 0; здесь гь я с .--нос!оп!яме. Про!и!оло!кение, мо одю! и! ятях козффиипсктоа заа! сат только от г, друю е — только от х, а козфкаа фяцяеяг иря;, р!и!си !!улю, определяет класс гяиерболиаьа! несю!к уравис!!я!1, для юоорык смеиюю!ая краснея з;яана ыоя,ст быть рсюеиа мс!юлим Фур!.е.
11усть требую ю! иаб и двзгиды нсирсрьвв! дифферениярусмос ре!не!ис !р!в! еюю (1,2!), удонлс!ворюо!цсе иаяальиьм! услоню!и а(О, х)=--!у.,(х), и!(О, х)==-.!!,(х) н гран!оюым успев пм А, и (1, О) -1- В,и, (1, О) ==- О, А,и (г, () + В,и (1, 1):.=-. О, где постоянныс Лм:З„А„Л, тлк,юы, иго Л,, —,- В! - ' О и Л'",+й," „— 'О. Будем, ьак в нря;!сре 5 20, покат! сиаиала исгрнаиаг!ьныс решения урааиенян (1,21) впдм и Р, л) =-= т(у) Х(х), иря юм !ю требуем о! зтнк ре!пений, !гоюа ж!и удое.,!. !н !. ряди !рв!юяиым ус:!спи!!а! (3,21), ис си бе!ясь пюсз об уловлс'иор!!иин наны!ьи! !х ус ини!!!.
"! Рс !уль!агы В. Д, !:!синопа нх!о ксн!! в его ю!нгс ведено!и!!!с ааг!!и ма!елвин!ескоа фп,*ь!!!!;, Бе!гро!рад, 1922. Ознгнй пстод ФуРье йслп т,ппк рсююас сусдсс ~ пгь г, то, пг1дс г г, ью а.о в (1,21), полу юеи урзгп с юе, котороиу нсобхолпно гнюжпы удовлетворять функпии Л'(х) и 7'(Ер А(1) Т Х -'~; С(х) ТХ'-(-72(1) Т Л + Е(х) ТЛ'+ + (7-', ( г) - 1- Е, ( х) 1 ТХ:= О. Тзк кпк фг1погня Х(х) нс рзнпз зожлсствснно нулю, тп нзйлстся 1о ькз х, тзкзн, что Л(х„)-,.— '.О; при вськ г' доююю 1пчполпяться рззснство У) (~) Т'+ 72(т) Т'+Е, (1) Т= С(хй Х'1г„) -~- Е(хп) Х' (х„) —,.'-7", (х,) Х!У,) „. где ),,— некогорзя пос~ояппзя. Точно тю;;кс г|ол) юи, что фуьж11вя Л (х) при всех х долвюз удовлстворять урзвнвнио С (х) Х" + Е (х) Х' + Е, (х) Х.=- 1 Л", где )ч — постоЯннзз.
Тзк кзк длк всех томск х и 1, гдв Х (х) ~ 0 и Т (1) .- =. О, Д (г) Т.".+7)(У) 7" +Е (У),—, Х" Х' Х Х ==- -- С(х) — — Е (х) — — Е,, (х), (о,21) то к, =-- — )ч =-- — - ),, и иы получзсп для функций Х(х) и 7 (1) следуюгцне урзвпюпю: Аа т" +7)11) 7'-( — Е,(У) Т+)Т=О, (0,21) С(х) Х" +7,"(х) Х'+Е„(х) Х вЂ” )Х= — О. (7,21) Тзк кзк 7 (1) У'- О, то для тгпо чтобы функция (4,21) удовлстворялз грзнюннлм услюпюи (3,21), нснйхо юио вынолвснис условий У(,Х (О) + П, Х (О) = — О, А,Л (7) + й, Л" (7) =- .О.
)(зкояозснне петрнвнзльных рсшвю.й урзвнспня (7,21), удовлстзоряюьцпк условняп (8,21), нззннзстся задпчег) о спосглзгннь~х знпчгнплх. Эгз зздзчз нс прп всякой ) нпсст отлнчнос ог тождсстзспного нуля (ьсгрнвг1зльпос) рсшснпз. [гл. и гипевволп'Г«юкив увввнвиия Т» зюче»н»я у, гв»» «огорых сущсслвуст псгрянпзльное ре щснис, ».»»зывзкпс« е»йггиимннызщ зн щения.яи (числами) эт»зй азха ~»ц з само псчрщ пзльное рсщщщс пазьщасгся еабетагнний функцией, соотвс с»ву»огц»й данному собственному знзчсюпо.
е'»»воку»п1»с»ь яссх себе»венных значений вазыва» гся еигктр»оя лщпюй залп щ. К сл»»ду»ощ».м п»1рз рафе будет н» кзз»1по, что собс»вснньн: щючсння ю»пей» задачи нр» щ г»н»л..п»зт собой бссконе ы ную послслопаг»лыюсть Еа;«дому собственному зн.»щнию «и соотвегству»т собственнав функция Ха(х), которая, в силу однородности уравнещы (7,21) и условий (8,21), определяется с точностью до произвольного числового мноткигеля. Выберем этот многкнтсль так„чтОО»я (9,21) ') р(х) Х; (х) »Ух= — 1, « где р(х) > Π— некоторая фиксированная для дзнного урав- нения функция, которая будет определена в слсдующ»м параграфе.
Лзлее будет показано, что собственные функции, соог- ветстнующие разпьщ собственным зна 1енняи, «оргпвеональ- нм е деепяг рэ, т. е. )довлетворяют равен»гвзм ~ р(х) Х„(х) Л;(х)»Ух=-О при 1«фу. (10,21) Для кагкдого собствснн»»го значения «„реыг»е«» уравнение (6,21). Общее рещение уравнения (0,21) при ь= — 'ха (обозна- чим его Т«(1)) представляет собой произвольную лииейну»о коь»бщ»зцпю двух кщ;нх-либо линейно псзави иных частных рещений Та(т) и Г, (® Тя(г) = — С,Т,,(т) + С,Т«(У), Подберем Та и Т;, гак, чтобы они удовлетворяли следую- щим начальным условиям при г=-О; 1;,(О) = — 1; Т„- (О) ==0; Т,"(О) =-О; Т,","(О) =1, (11,21) овнгнй и; год гсо ьв с 211 и волочи!и ль(Г, зб —: Уь(!) ° Ль(х).
Фунгсции и (г, х) ири гиобогг ю" удои,ге Гнор ног г))зйненнк) (1,21) и граничным условнвн (3,21). Чтобы удовлетворигь ванильным условиям (2,21Ь составим ряд и(1, х) =- ) Ль (х)(А„Гь (1) +ВдТ~,. (У) (. (12,21) й.= ~ Если втот ряд скодится равноверно, гак .ке кзк н ряды, получзгощиеся иа него двукратным ловленным днфферсн Гггрованисм по 1 и ьо х, то сунил еггь очевггдно, будет у,озлетворять уравнениго (1,21) и граничным условгын (3,21), Для выполнения па гальнык условий (2,2!) нсобхгдаино, ч гебы и(0, х) .= ~~), АьЛ'„(х) = гу„(х1, (13,2! ) иг(0, х) = — ~ ВзЛл(х) = — р,(х).
(14,2!1 Предполагая, что ряды (13,21) и (14,21) сходятся равномерно, мы можем определить ковффюгиенгы А,, и Вн, умножив обе ~асти равенств (13,21) в (14,21) нз рЛ;, (х) н н1гоингегрировая по х в интервале ог 0 до 1. Б сниу (9,21) и (10,2!) мы иолу гим А,„—.— ~ о (х) з,, (х) Л'„(х) г(х )3,„.=- ~ р(х) л,(х) Л;„(х) ух. О Подставив такие значс гня коэффициентов в р ~д (12,21), мы, очевидно, получим регвсние нагнсй задачи, сслн ряд (12,21) и ряды, полученные из не~о ио ьтснньпг днффереипировввиеи но х и по 1 до днук рзз вклго пгтельно, равномерно сходя гож гСп!ггн«Тзн!«Н«'кне гглвнения (гл. и л а м с ! а и и е.
Иы указалн Об!пуго сксму прим нс!Нна мего'«а но«р«ьс к Г«сигани!О л«иванной зада'!и г«лк уров!никия (1,21); эта схема применима з«!«Нисе н в случае многих врос грапствсн!Нн!к нсрс««сплыл дня !инерболкчсскнк уравнений снсцналС,но! О нида (с и ф 22, Обпгнс свойства собственнык функций н собствепвык значении Для исследования л«виста с!бственяык функннй п собсзв *! нык нна !сннй по!са«!с«м ирен!Не ОслО, '«го 1«равнение (7,21) С(х) Л'"(х) +. Е(х) Х'(х)+Е,(х) Л'(х) — )Х(х) = — 0 п!гаДУНТЕГО ПаРаГРафа МОТК!ГО ПРИВЕСтн !, ВНДУ )Р(х) Х'(х)!' —,",(х) Х(х)+)(«(х) Л(х) =-О, (1,22) укн«О«кнв егс на пс«дк«здящи!«! образом подобрнннуго функтвнс! от х. В««в! ! илань!'.
'Г(в!Оа! буд! и пргд!гола!а! ! чу с (х) н !' ' (). где г, — г!Осте«!нн«ая. Уагно«кив согда (7,21) на р(х), иолу !нм рг: У" . !-р~зХ'+ а! ": — -~ОХ «=-О. Для того !тобы нера!те два члена мсгаого было записать в впле 1р (х) Х'(', анн!нс««О быть (рС) =ж г«нредслиа («(х) кз э!ого диффсрсннв!альнсто уравнения, «кн!у'!асы (' 'йа .! Р (х) —.= е " ' ь б (мы взялн частное рсьвс:нпс диффсренцналынл о уравнение дгн! р(х)), Вводя теперь обозна н:нвя РС= — — -Р и РЕ', =.=С7, !Ня моткам записать нанСе урании!ннс в впле (1,22). Из сделан! ых нРндполоскений спел Уег, '«го Р(х) >7!и Р(х); Р„, где р, и р,--иолсл!снтельные постоя!!«!ые.
з 22) овации свойства совсгаенных Функция 100 Будем с отать, что р(х), р'(х), 0(х) и р(х) непрерывны при О==хе-1. 2. Итак, мы бчдем рассматривать задачу о собственных значениях †ней нетривиальное ретение уравненпя (1,22), удовле~ворпоцгее условиям А„Х(0) -(- В„Х'10) =. О, А,"Х(1) ) В,"Л-(1) ==О, решений Л', и Л; уравнеют (1,22) в точке х= — О вдается в нуль, н следовательнеч функггин Х, (х) и линейно зависимы. В дальней~нем мы будем предполагать собсгвенны« ции нцрмнрованнымп с весом р, г, е. выораппымн так, обра- Х, (х) функч тоны ~ р (х) (Х (х)(' г1х = 1.
о (о,22) Такуго фуньцто Х(х) мгпкпо получить, умноьтив произвольну~о собственнуго фупкцнго Х(х) на число 1 / / ~ г. (х1 (Х (х)1" г(х Очевидно, что прн данном собственном значении норси рованная собственнав функция определяется с точностгло до знака. где А,',+В,',-фО и А, +В,:ф-.О. Теорема 1. Если Л,(х) и Х,(х) — собственные функиии„отаегыоогиие однолгу и то.иу аае соозсглаенному знаяениго Л, то Х, (х) =--«Л, (х), где с — — логтолннаа. Действительно, так как Х, (х) и Х„(х), по предполовгени~о, удовлетвортог условиям А,Х, (О) + В„Х(0) -=- О, А„Х, (О) + Б„Х'.„(01 = О и А,+ В, ~0, то определитель Вронского (70 (гл, и гипгя воли некие хглтютня Т е о р е м а 2. Собслвенние функции, соовсвтлслсву~оисссе раанкл сооствгнныя значениялг, орслосокалькк с ассоли р(х), т. е. если х, — '- в, и Л;.
(х) — сооственнил фукссция, соответствутоисая собслиеннолсу значенсио )ч (с==-), 2), то ') р(х) Х, (х) Х,(х) ссх= —.О. До к аз а тел ь ство. Вгяпип1еы то,кдсства (РХ;) — с;Х, + х, рХ, = — О, (РХ:,) — оЛ, + )чрХ, = О. Умностям первое из них па Х,, а второе на Х, и вычтем одно из другого. Мь~ получим тождество (РХ;1* Х, — (РХ,'1' Х,.-!- (1, — )ч) рХ,Х, = О, Интегрируя это то.кдество в пределах от,йлн до с', получим (с помощьсо интегрироваиия по ~астям) ') (1, — ь,) рХ,Х, с)х= Ю с ! =.= РХ;Л'„1 — РХ,,'Х, ) — 1 РЛ" Х' с)х -(- ( РХ'Х; с)х 0 в Позная часть этого равенства раппа пуд~о, гак как последние два слагаемых взаимно уннчтожаьттся, а р (с) (Х; (с) Х„()) — Х', (() Х, (с)) = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
