И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 27
Текст из файла (страница 27)
0 р (О) (Х', (0) Х, (О) — Л", (О) Х, (О)) = 0 в силу условий (2,22). ) Опатову ~ РХ,Л'., сУх =-= О, так как ь, ф1,. й 22) онптиг свойства совсгатпп,.х ао:ппгпй 171 3. Ллч упропгсппн да ~ьиспцпсго нзл мксппи о, рта пики рассмо~рсппсм ь1 асвьх условий Х(б) ==о, Х(1) .=:О. (б,22) Залача пако клеюы собственных зпачегмп1 будет в атом пип рагрзфе сведена к задаче лахоткдсния условного нкстрсмумп (минимума) некоторого функционала. Этот функционал выбирается так, что уравнение (1,22) нвляетси дага него уравненном Лзгрзкжз — Эйлера *).
Рзссмогрпм два квадратичных функционала от функции Х(л) 0(Х) = — ) (рЛ"'+ тХ') дх, Н(Х) = ~ рХ'дх. О Функционалы 0 (Лп Л;) =-- ~ (рЛ';Л". + йХ, Х,) дх, Н(Х„Х,) = 1 рЛ',Л', их нззывгнотся билинег)нгелги фунниионалалси, соответству1ощиии данным квадратичным. Имеет место слсдуюгцаи Теорема 3. Если ) — собственное вназенле расслатриваелиой задачи о собственных вноненилх, а Մ— соопсвепм сглвуви1оп елеу норлсировоннал собственнан фунниин, то длн лгобои непрерывно дифференйируелиои фунниии у'(х), удовлетворлгои)ей условинлс (5,22), 0(Лы У') =-), ~ райх=1Н(Хы Д. е) См. М.
А. Лаврентьев и Л. А. Люггер пик„Курс вариационнсно исчисления, нал. 2-е, Гостехиадат, 1950. (гл, я гнпы волннвскна хглвнения Показа! с:!ьс ! во. И ме!раруя !ю !зсгнй ясина!,!у!! услоюя! 15.,22) а,!я )!ун!пия! Р и уо.!яновне (1.22), нм,!умны 2)(Хы У) ==-= ~ (РХ'.У'+;Х,Р) )х-= .—. РХ,,г! — ) ((РХ, )' — )Х!1( Ух =- Т 1 РХ,У )х == — — ТЛ(Л'м Р). С л е д с ! в н е. Пусть Лг (х) — — собс ! вен нзя функ!о!я, сонг. ве.ству!осцая мнжтвснному зн.!меняно 1г, Тогда В(Х,) ==.-)н, В(Хг, А) = — О, если ! И. 2з(Х) Теорема 4.
Он!ноля*низ --' — (лри Х;,~О) огргггитигнс Н(Х! снизу и, слеоавагг!со!ьна, и.иесгн л!оенух! нижнюю арин*. Йействятель!!о, В (Л') = ~ (рЛ" + г)Х') !(х -- ~ дЛ" с!х =— а =-- ~ -'- рХ' (х ==- яни "РО Н1Х). з-к.м, й(х) Если рассматрнва гь функции, удовлетворя!о,!гяе условию Н(Л)= — 1, то для ннх будут о!рзнпяеьо! снизу значения самого функционала В(Х). А так как всякое собсгве! ное ана !ение Т.=.=О(Хх), если Н(Л;)=.=-1, .то мы полу !аех! отоода вткное следе.впе: собсглагнна!е анаиенил ножай задачи агранинсны сн!гту. Рассмотрим задзну ! нахп!к!ц.
ззн чн!ьнмуиз функцяонзла В(Х) яря ус!юани Н(Х) -= 1..3з клзсс допустимых фуьнп;яй примем !!игпкествг! дввоклы пеярер»!яно дяфференцнруемых на отрезке О =="х =1 фуо!и!гнй Л'(х), удовлетворя!о!цнх условя!!х! (5,22). Н)!сдлолоз!!гила, игла зигогн згинизгиз! дг!сг!гизаеюсл в классе допусгггилгых фуннии!)! и), Тогда осу!цес !юия!!ига!а его фуяьвгия долгина, как извес!но из курса взряационьц!го -! Докзазте!ьсгво сувгесц!г!ван!н! песне!ня! атой з!ск!яи, как н всех аругнх варям!ионных ыдзя, о которых бм!ег говор!мься ватой главе, см. в дололиею и И. М.
Геаы)!,.г!да я Г. Л. Сухов!аяяова ф 22) овн!ие свойс!ве совствю!нмх Функюгй 173 н!. щс.няюй удовде!ю рить лрн некотором 1, урна!сщнс У)аграявха — — 3!ал !сра д,'гя ф, ниц!к нала ВсЛ) — ! т!'(Х) =. ( 1! Х' .',-рХ" — ),,!Л') с)х=.— с. травив!"но ею!в ,!й,! ~!у. (й сй Л. *)Х' нот! )з! .'. и нзн ! ч сл) !нс сов! г!лзег с уранн'.
! нем (1,2'! ю !и )" но ~!и! . ахаю! и сойс пн нн! !х:!из'!сню!х н ра!сна!(мн ва! !гой нг!р!!зн!!снн!о(! .3знн'я! Тяктне «оянайиоть ! !Ов !Ояу функн!и! Х, (хг, давимая в!!стрех!ус! Е~(Х) нрн усгювнл Н(Х) — -1, и! лнх !ся собствс!щей ф) ни!ней ясховной задачи о собсгвенных анэчеяя!!х, ! зл кзк всегда В(Х) .=-). но те !- рсмс '.т, то, очсюгд о, о!йствещос значсн«с, к!ггорому соогнегс!ьу!т Л',(х), лгыяа!о бы!ь наине ьнщм.
Ойь!зн,!чгтх! е!о !срез ).!. 11ока!не!!, что функции Л'(х), дающая !гинях!ух! функ!!нона'!у Й(Х! н к!псе нолусгнмь!х ф)янц!ай, удовлетворянюсях вссм лрежянн ус,!евнин н !!щи ао!и. н.н!ень:!он! )свн!няю ~ р.т,',Л'г)х = — О, ( явн!сгся солстиеияой фуиьцщй, соопастствуго!цей во ро !у но всгл!чняе собс!не !лому зна!чсялю. В свмом деле, функция„осуществил!о!цав уназаняый ниющум, долщиа у н!щ с!в !рать уравлсинл Лагрсняга — Э!!легре к книге М. й.
Лаврен~не!!,! и д й. Лв!стернин:! !ьОсногы варн,!ю!- олщло лсчис,сенях;, !. 1, !. й (1яйй г.!. В варин!гньяисм ! !чнс !*!!ннн докам!вве!хи. !г! ссхн О! гзм н.!- трет!оьюн! ! ! конт стлных фунвньй сунгес н ! галия !иврерывл!сх лр;них хнь!х тн!ы о !мр н Г; и !р» ь а, !о снеся !г! нгя и в вар ! ! ен;ля!яви!з диффере! нируслых Фувхю',й 174 (гл. и гипеяаолические кехпнения для функционала 7З(Х) — ).77(Х) — р ~ оХ Хг)х г которое в данном случае может бызь записано в виде (рЛ')' — г7Х+урХ+ —, ррХ, = 0; (6,22) 1 и р — некоторые постоянные, Покажем, что р=-.0.
7(ля доказатечьства напишем уравнение (1,22), заменив 7 па к, и Х на Х,: (рХ,) — ОХ, +)чрХ, —..=О. (7,22) Умножим (6,22) па Х„(7,22) на Х, вычтем одно ич другого и проинтегрируем от 0 ло й Повторна интегрпроязпне по час-гим, провсдсююе прн доказательстве оргогоггалгиьзстгп и пользуясь тем, что ~ рХ,Хг)х= — -О, мы лолу пни р ~ рЛ', г)х=-.—. О, откуда следует Следовательно, уравнение (6,22) пчсет янд (ОХ')' — 7Л'+) рХ.— — О п Х является собственной функпг|ей.
Обозначим се через Л;(х). Покажем, что собственное значение );„ соответствугошее втой фучппгнн, есть блюквйшсе к )ч собственное значение. Очевгогно„)м ==)ч, так как от увеличения ~ясла успений на допустимые функпии минимум Е)(Л') может только унюппщться. Зна ~ение )ч не может быть раеюям ) о так кгп< тогда Л',(х) по теореме 1 была бы равной (-Х, (х), го п1юзипоРс щт Условию ~ Л,ХгГх:..— О. Следовательно, ), >)ч. Покажем, чт: мс.клу )., и )ч нет других сюбстаенных значений. Дейстпителыю, если бы существовала тройка соб- $ 22) оащпг. спонстзл созстязнных гг»нкцнй ! 75 стпенных зна геггггй ), - ), > ),„соотаетстаугоигих собстаспным функщжм Л Л' Л' то как легко видеть, не фчггкцггя Л'„а функщгя Л' осуществляла бы решение только ыо рассмотренной иаригнщолгщй задачи согласно следстаиго из теоремы 3.
Соасрщенно апалсжп'гиым образом показыааетси, что функция Л'„(х), дащгцая минимум О(Л) и классе диа»гды лепре. рызно дифференцирусмьгх функций, удонггетггорякзгггих соотлощеггнягг (5,22) и условиям Н(Л') — — ), ~ РЛ'ул'д. =-0 (лг= — г, 2...,, а — 1), П где Л',(х) есгь фя собстаеюгая функция, яилястся ссгбстзеи пой функшгей, соотзетстаугощей гг-ггу по еслпчпие собс гаси.
ноггу знз гепщо. Таким образом даи способ последовательного нахщкдеггпя соостпеггных гпсел и собстненных фуигсцип. Так «зк и далыгейщсм будет покззагю, гго )г„-- оо ггри и — г оо, то отсгода следуе~, гго таким образом могут быть найдены есе собстаенныс пгслз и собственные функщпн 4, Можно указать метод, дагощий зозможность сразу отыскать и-е собстзещос значение и ано собстзщгиуго фугщцщо без предварительного нахождения орслглестнугощих собственных функций. Этот мегод дастся слсдугощсй лгсорсжой Куранглас Пусть сгг, (х), чгг (х), ..., ог,, (х) — произвол»кап гисагста КваргуггггвнггХ функ(глигг Ка Огнрстггг )О, С). ОггаагкггчиЛг Гиреа '» (иг„...., чг„,) лгггкилггг гг функционала О(Л) в гс лассе двазхды ксаугсргггвно дисфггргс~гснггггр1тлгггг.т фунниий, оорагггагоигихса в нуль на ноннах огггрссгтгг и удггалгггтвоу лгоагих следующая дОггггнкиглслькылг условггллгс П(Л).—.— ), (8,22) 1 русл'г)х=--О (г=-= 1, 2, ..., — 1).
(0,22) Тсжда а-г' собгстаскггос ока ннггс );„гглгсг расслгоагрекной вмгис задали о гобствсннаы лначскикх равно всрхкси зраки снансншг 1(ггг„гум ..., глгл,) ари всевсгвглгозгснолг выборе функНиг, г'г ! н!!ьгьоличсокнс иеаьисии ! !гл, и Локана тельство. Так как со!ласно пре и!луп!ему У (Х„..., Л',, ) '= —. !чл то досгагочыз показа!ь, что прп люоом выборе т!, ..., и х(з„..., ил,) -- ).„.
Покажем, что пРн пРонавольной системе ко ..., 9, а!оип!о укаа!!! ь таку!о домус!!ы!ук! функцн!г! Л(х), удовлетворгпогцую условиям (5,22), (8,22) н (9,22), ч!'о Е)(х) = л,г Отсюда будет следова!ь, что и теорема г улет до!газ!!на. Функцию Х(х) будам искать в вндс Л' (х) =.— ~„слХл (х).
! )невидно~ что такая ф) нкцня при в!обык сл будет оорагдаться в нуль !Рн х = 9 н х = — г и будет иметь непрерывные производные до второго !юрядка включптелгню, 11одберем козффициен гы сл так, чтобь удовлетворя вись уело!и!я (3,22) и (9,22).
Подставляя Х в (8,22) и польауясь тем„что Н(Хь Х!)м=0 пРи г=т'=)г (свойство ойтогонал!нюсти собствено!ык функций), мы полу'чнк! Н(Х) = ~ рЛ г)х==- ~ с!', Условия (9,22) да!ог систему уравнен!нй регат(х==-,У, сл ~ рсегХ,г)х= о (! =-1, 2, . л А =.! й Это — система л — - 1 лю!егй!ыл ураьч!сппй с л нею!ьестны. ми с„. Она всегда имеет нетривиальныс реюеюиь !1ронорми. в 22) ОБщие свОкстБа сОБстввнных Фхнкцвд 177 рован одно такое реюение с иомощюо (10,22), мы выберем функцию Х(х). На(О!си 0(Х): 0(Х)= ~ ) р( ~~к с~х,,) +д( 5 скХЕ) ) дн-- е *=. ! е=-! е е я е === ~ ~р ~~к ~~» сксгхкХ, '+о ~~' У с,с Х Хг~ г(х= е *=! г=! в=\ г=! е ~в~ ~с,"0(Х )+ хч'к скс,0(Х„, Л;).=- в:! е,-г =-- хк г„',0(Лв) = — ~'„с,').Е-.=1е ~' с! ) =.-~,в е=! е=.! в=! что и требовалось доказать. 3 ам е ч а н ив. 1)место гого чтобы искать кюю!мум функционала 0(Х) ори условгюх (8,22) и г(),22), мсокно искать минимум отнои!сини ири условиях (9,22).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
