И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Поэтому в силу теоремы о единственности решения задачи Коши для уравнения (24,22) г(а) будет тождественно равно а(а) и мы получим для и (г) интегральное уравнение а (а) = — а (О) сов )'Т а + — = — в1п 1 1 а + а' (О) у"Т + 1 й (т) и (т) а(п )'Т (а — с) с(т. (25,22) ч пусть теперь 1 совпадает с л-и собственным значением; о„(а) — решепне уравнении (21,22) при 1 =1„ удовлетворикипее начальным условиям о,(О) = О; п„(О) =ф'),ж Такая функпия о„(ю) будет удовлетворять интегральному уравнению о.
(а)= = "" )' ~ '+ —.-= р й' ( ) „(т) а(п $'), (а — ) с( . (2б,22) иа С точностью до знака она отличается от нормированной соб- сзвенной функпии а„(а) только множителем: ли(а) ~ о,',(з) и'а Б дальнейшем мы покажем, что Докажем преясде всего, что все функпии о,(г) ограничены некоторой не зависящей от л константой. Для итого обозначим шак ', .о„(а) ~ при О ( а ( 7, через Ла„, Тогда нз уравнения (26,22) имеем 2 22) овщих свойства совстванных вхнкций 185 и, следовательно, =- 1+ 01 —.. 11.
(27,22) А,/ — ( ~ Я и) ~ и'х )'1„,) Так как Л„оспри л оо(см. п. 7), то этонеравенстводоказывает ограниченность функпий о„(х). Цля дальнейшего нам понадобится аналогичная опенка для производных первого и второго порядка ог собственных функций. Чтобы получить ее, продифференцируем интегральное уравнение (26,22). Получим о„(а)=)ГЛ„сох )/Л„х+ ~ й(с) о„(т) сох )Гх„(х — т)сН, о„(г) = — ) „а! п ~гЛ„х — ) гх„~ Я (т) ол (г) а(п )/ Л„(г — г) Ит+ х + Й (а) эн (ь ), откуда )о„(х) / «$' Ли+ О(1), /о„(а)( (Л„+ О()~ Л„).
(28 22) й Вычислим теперь ) о, [х) пх, т. е. найдем хщожнтель, о которым функции э„(а) (и, следовательно, их производные) отличаются от нормированных собс гневных функций п,(а) (и их ссютаетствующнх производных]. Из (26,22) имеем э*„(х) = а(п* 1' Л а + 01 =- 1 . Отсюда 1гл, и !'ипы'ведические углвньния Отек!ла для и„(в) сразу получжотсн оценки, авалогичнг!е (27, 22) н 123, 22): гг у! ! ,„„'<г!!-г!, уг,'. !-о!~>, ! (и„(а)1 =-= У„)/ —,:+ О(): ) „).
(2!з,22) сйо!евой г!временных по формулаи (22,22) отсгодз непосредственно получжотся соответству!огцке результаты для Х„!х): ограничеш!ость сойствеги!ых функций и тот жс поряиок роста произволвых прв и.— оо, кзк и у и„(з). О. 1ззссмотрго! вопр,!с о рззложенин произвольной непреры!гной функции у (х), заданной нри 0 =х =- 1, н рнд с,,Хо (х) П= 1 (30,22) 1 р (. ) /(. ) Х„(х) !тх (31,22) (ср. конец !! 21).
11ос!авпм теперь в соотвсгстги!с кэн<лой ингсгрирусмой функции /(х) сс вряд Фур!ез вила (30,22), где коэффициенты с„онрст!са!ен!к ио формулзн(31,22), и исследуем вопрос о сходпностн етого рядз. Сна и!ла докажем, !то длл !!сл!гой инл!егр!зруельой алголы го гаоил! нво!т)!алгол ни ол!реале )О, 2) .усовио нели!- рьыной и) гвунеиии у(х) рлд (30,22) стодитсл х аллой 1.! ест!* ннеюгцс!! к ж * ж и. гнс.г» лек р.!ры! ь по сог!ствснныы фу'нкциян Л (х),, Х„(х), .
урззнег!ил (1,22). Тем же пу!ен, как зто делаетсн для обычн!ях тригонометрических рядов, легко ноказзт!ч что если рнд (30,22) равномерно сходится к функции /'(х), то коэффициенты с„ рзвны коэффициентам Фурье функции У'(х) по системс функгц!и Л'„,..., Х„,..., т. е. э 22! оюцие свойства совстввннык еян1огий (Л (руняиии «в среднелгл, т.
е. что ~ р(х) (Р(х) — ~ с„Х, (х)1'дх — О О й — '! (717 — -оо). Система ортогональных с каким-либо весом р (х) функиг11г, обладающая указанным свойством, называется пллнои. Лля доказательства сформулированного утвергидення предпологким сначала, что г(х) — нглрерыпнл дид7(рергнцируглгня гЬуняг(ия, удовлетаоряголгая услоаггялг,г (О) =л'(7) =-О. Бведем обозначения; н /,ч (х):= — У(х) — ~' г„Х. (х), дл = — ~ «(~) Ут (~) д .
и=-1 и Ъ(х) =- —.'— ух (х) 6 г(ам мало доказать, что дгг — О ирн И- (х. Так как ) ръ (х)дх=-.1 п и так как, кроме того, $ рр 4(х) Л'л(х)дх=О (и=),..., И), о то ~у (х) является одной из допустимык функций вариационной задачи, рассмотренной н и. 3 этого иараграфа 1. Значение минимума (д(Х) для этой задачи равно ), „„ сл:- довательно, 7д('Ь) ==), +м Вычислим теперь 0 (ы „). Пользуясь обозначениями и. 3, "1 Ср. &ряиечзлне яа «тр„ 172 †'ь (гл. и гилегволи нескин кгавнещея найдем О(Ы= ') (рр.'+ )р',) ) = —., ~ (Или+В'*) сех = ! Ле ! е е' Ре =.
-„-. ~ (р(.Г' — ~ с„Л')*+е)(~ — ) с Х )е(еех= е!е ! ! ! — ! =--; (ее(е) — 2~ с„ее(г", Л'„)+ ~~'„~~~ с„смО(Л'„,Л' )]~ '~Ч Р=! ю=! е =! (32,22) На основании теоремы 3 и. 3 имеем ОД, Х,)= — 1,с„('е(Х„, Л'„)=Ее(Х„) =)!„, еУ(Х, Х„) =-О нри и~=не. Полставляя найденные значения функцноналоа в (32,22), получим —,1се Я вЂ” ~ )„с,',(=-),л,+ „ 'л е=! откуда ле Е> 03 — ~ 1„с„' 3„',~ (33, 22) )Ф+ ! Согласно (19,22) суецествует только конечное число отрицательных )„. Поэтому числитель правой части (33,22) ограничен при всех ете.
Так как 1,, --. со при е!е' оо, то отсюда следует, что В' — 0 нрн М оо, т. с. ряд (30,22) сходится в среднем для всякой диффсрснцнруемой функции, обращаеощсйся в нуль в точках х=О и х=1. Чтобы освободиться от ограни есний, наложенных на у (х), заметим, что для всякой кусочно непрерывной функции р (х) с иеггегрируемым квадратом существует непрерывно аифференцирусмая функция /" (х), обращающаяся в нуль ца концах первака (О, е) и такая, что ~ о (/(х) — ун (х)('еух ( е„ где а — леобое заданное оолоаенеельиое число. ф 22! овщиь свойства совсгвснныз эгнкцнй )89 Пусть, далее, 7»' выбрано насголько больщнм, что ~ р(х) [/»(х)-- ~, с„Х»(х)['«ах « 'е,; с„' — коэффициенты Фурье для /»(х). Тогда ) р (х) [/(х) — ~ «„Х„(х)[' «7х ~ »=1 ( ) р (х) [ [/(х) — /» (х) [ + [ /» (х) — ~ с Л',, (х) [ )' дх «-.
... 3 = з, + а,, + 2 ) р (х) [ / (х) — /» (х) [ [/» (х)— — «„Л'„(х) [ «1х к- а + з, + 2 )гз е, При оценке последнего интеграла мы воспользовались неравенством Буняковского. Таким образом показано, что для всякой интегрируемой с квадратом функции /(х) существу~от такое М и танис с„, что ) р (х) [/(х) — ~~ с„Л'„(х)['гХх (34,22) как угодно мал. Но известно (см., например, мои «Лекции по теории интегральны» уравнений», Гостехиздат, 195), стр.
66 — 67), что интеграл вида (34,22) принимает наименьшее значение, когда с„ суть коэффициенты Фурье для функции /(х). Поэтому, если в (34,22) за с, взять эти коэффициенты, то величина интеграла (34,22) не увеличится. Пользуясь ортогональностыо функций Х„(х), нетрудно г л подсчитать, что в' = ) р[/(х)['йх — ~ с„--О (неранено » 3 ство Бесселя), гве с„— коэффициенты Фурье для функции /(х). Следовательно, условие полноты системы функций может [гл. и 3пиггвплпческаг угьвньння Оы~ь зьансщю в вид« сл лукнисго рзвенс~нз: ! с,',==- ~ р („5(х))' дх И=. 1 (35,22) Применим теперь для оценки первого множителя неравенство (33,22), а во втором вынесем за знак корня шах ( Хь (х) ) = М. д к Так как из неравенства (33,22) следует, что (,ге+ ~ сь)1ь)-- М,', сь1ь =-.
с) то / ц+ь =-.= И,М$/ ь=.л в+е ) сьХь) Так как согласно (19,22) ),а -'=- с,1г'+ с„ 1дзвенстно Перегнали). 1О. Пока кои теперь следующую основную теорему: длл нелрерь вно дийгберениируетой на отрезке (О, 1~ функаии /(х), обраглакинейсн в нуль на конках отрезка [О, 11, ее «рнд Фурьеь (30,22) сходилгся к втои функции абсолготно и равношерне. Достаточно показать, что этот ряд вообще абсолютно и разномерно сходится. Лсйствгпсльно, так кзк этот ряд сходится кв среднсмв к 7(х), то, сходясь равномерно, он не может иметь своим пределом никакую другую функщпо.
Пусть и, настолько велико, что 1, ,ь О при п ) и„. Воспользовавшись неравенством Коши, л1ы можем для и:= л наинсагь п~» ~~', ) сьХ„,'= ~~' ~ се)~ Ц- ~1, А=в опосвовввиь метода егл а ъ«1 и 1«кд т —.— сколитси. Слсдователь~ю, 1л с=-«« при в~с~а«оиио больиюм и и лк'бом поло- 1 1 то )ь г,)««+ е.," дли юобпго е '> О «ни~саки««1 е П+ « а+« и поэтому,"т,' ( сьХ,) < е, т.
е. Ъ г, Х„(х) скодитсв абсоа — « лютио и рагиюмерио. 2 23. Обоснование метода Фурье 1. Рассмотрим уравнение (1,21). Будем предполагать, иго коэффииг~ситы этого уравнение — трюкам иепрерью ю диффсрсииирусиые фуюгции Ц, А (Г) = а, О и С(х) с с„к.. О, т. е. уравнение (1,21) ггп~срг)олиисское -). Будем иска гь лвюкды непрерывно дифферсицпруемое в Ц. рсюсиис урввисюгв (1,21), удовлетвориющсе печальным условивм и(0, х)=.=.Ф,(х)„гб(0, х)= — у,(х) (1,23) е(„=Е (су„) =- О при х — "- О и х=-1, (3,23) «) Легко вроверить, иго ьсс теоремы а 22 и испеки*ы теорема В 23 сп)ыкеллккьв если С!х), Л(Г) ккакогы исирерыкио лвфферсицируемы, В(г), Е(х) Е,рх) имскп ксир рывиые врокзкод ые первого морилка, а Г«(г) ис(ирсрывиа. и граююкым условпим и(1, О) —.:=и(О 1) —.:=О, (2,23) Метод Фурье приводит к рас«мотр«.иа рада (12,21) («м.
21). Ф)икции Хд(х) вила~отса собственными фуикдиими уравнении (1,22). !!усть Е (.г') =-- (И')' — ~И. То~да уравнение (1,22) моткпо аапи«ать тапи Е(Ль) =--).,рхл. Теорема. Если о«(х) илггет на отрезке )О, 21 иеарерманую л) оизаойную тргольего лорис)ма и удовлетворяегл условиял~, 192 [гл.
и 1игвгволичвскив угапггеггггв а г), (х) имеет нег атом отрезке неирерьтную производную впн рого пггрлока и удовлетворяет условиплг рг =- 0 при х = 0 и х =- ?, (4,23) гпо !Угунгггггггг и 7l, х), определяемая рпдолг (12,21), имеет неарермвнгге ги оизлодные вгпорого порядка и уоовлстьорпегп в Ц уравненгао (1,21), натальнылг условиям (1,23) и грани гным условиллг (2,23).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
