И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 30
Текст из файла (страница 30)
7?ри атом возлголсно ловленное диФференггирование ряда (12,21) по С и х до двух раз вклгогигггельног полувеннг е таким образолг ряди сходится абсолютно и раонолнрно в Цг ). Во к аз э тел ьс т во да). Расслгггтригг рял (12,21), посгроетгый в 2 21: и(х, У)=-- ~ Хд(х) (Лд?д (?)+Вд!д (У)~. (5,23) Злесь 7. (Хд) = — — )мрХд, ~ рХд(х) дх=1, Ад= 1 ррах,дх ° В,= 1 рр,х,д . груггкгггги Тд и ?г, являются решениями урввпеяия (6,21) при )г — 'дд и удовлетворяют вачальюам условиям а?д (О) т,"(О) = 1, - „, = О, дрд (О! Тд (О) ==. О, — = 1.
аг 'Г условия (1,23) и (4,23) явлюотся пеобголпмыми услсвиями лля стогесгвовавяя в Ц. лважлы пепрерывволиффереияируемого реше- иия поставлеггггой валави. Дейсгвителг:яо, иа условия (2,23! слелуег, ди Фи цго — и — — „, раппы кулю прв х=О и гг=!. Пользуясь этим, иа ураюгепия (1,2!) получасдг, что при х=О и х=с С(х) —,г +В(х) — +р,(х)и=О, д'л ди т. е. А(уг) =О при х=-О и х.=-г.
"'! Зго ловааагельсгво пряваллежит О. А. Олейпик и А. И Едрабаяову. % 23! оьоггювыюк мктолл его ье 10,! Земской иерсмви!ых, внзлоы! !иой (20,22), мы можем привести )рявкни!!е (6,21) к нгшу ег! + ).!,тк = )с ( к) тб. (6,26! Тзк клк ирк чттзм Т(7) ==-.ф(!) тсь !хеф()) есть !!скоторзя! ф!у! кюю, ле ззн! св!шк от )г, тс ск!г!т!гете!ира!цие ф) икц!шм Т, Т. Фуиюию ам и те! Улонле!ворягот ! 3'!зльнь!и услоьням те!!(0) =-=.
гз":, ге,, (и) = ДЯ и гк!ь (О) = — О, г*!~,, (О) = о"*„ где а!', )гт, Рь" — кокоторые «ясла, .ие за!всягцие шг К,огня решений ураннеиия (6,26) иы мо!кем кепке:!гь ингеграг!ыое урвюшюш вгша (25,22). Поль !уясь нтим гвтс!.Озльныи трзлиением, мы мшкек, л!юлоги !ио и му, кзк зто оделено и ь' 2'! !Учить ц ки дш агт: .-,:,; .,: Рс !. дд! ь . Прн: .Ом для функций Ти(!) и Ткк(г) ири поста'гоч!ш болшинх )г мы полу юм ел!дуги!цис оценки; Ю" .Ег ! гГ!', ! ~ г)тт'„ ! Пг'.2:1) ) У" |< )Т, ! г'-(с 77, ( — —.,— ~<'г)с!~'лк, где 07 > 0 — ис!"!!орзя ислстг юи!т!, ()ценим теперь козффюшеиты Фурье функции в,(к): А = — ( ру Л' гйс = — — уе —:- — ' гук = О = — ') —; — Е (гу,) Ль гтх. )е Последнее равснс !но мы иолучлгш, интегрируя дяа !зззз ио к!!с!и!! и У шгьюаЯ !Рзиичю!е Уел юиЯ гУ,(0):.-. !Уя(Г)=- =Ля(0) = — Л;,(Х) = — О.
к)з раяеистьз (8,'зй) пг!луизе!! ),Л! — — — — ~ р -'- —" Л'лом, 1. (гк!) т. Е. ) ! Ак с!' гь козффицн! и ! и! Ф! )зье .!е!фс)эынно днффе))си ° 73 г!, !. !ки:»кььз 1ОЕ )~л. и гипс волячаскка геавнения д Рер вирусной фуюгггии Н)х) =- — — — ', удовлстворгиопгей услогизя и Н 10)::=.— Н О) ==. О. Из теоремы и 10 ч 22 следует равномерная сходкяость г ряда ~~',,')т А, ),' Л;, '. Из неравенства (33,22) лс~ ьо колучаея сходнмосгь рида ~~'„ 1лАь.
л=- ~ Опевнм теперь Бг =- ~ рР,Х,гРх. Пользуя ь снова уравне) няем 11,22), интегрируя два раза из час~ ям и учим ывая ь раипчкые условия ~Р, ~О) = ~Р, (4 =- Хл10) == Хл ~1) = — О, получим 0л =, 1 рл,Хь г)х =- — ~~ —,— р - '2 — '- Л' гг'с = — 'л С Рел) глс г, — ьоэффииненгы Фурье кепрерывноб функции Б, )х) = ~ д,) — В склу равенства (35,22) имеем Р а Пользуясь опенками 17,23), (29,22) и учитывая 120,22), легко поиазззь, что абсглиотная и равномерная сходнягосгь ряда (12,21) и рядов, полученных из него почленным дифре ргнцированнем по х к по Г до двух раз вхл~очительпо, следует нз сходимосзи числового ряда (1)ч )) Ал) +)Ва ) )ла)) 6 23) тая хах при достаточно болгипих гз члены вгих рядов ио мод)оно не превосходят членов ряда л1, ~Ч ~1~„), 'А, -~- вл))г') ),„,'), где М,— нехогорая иолоякгельнаи постоянная, Чтобы доха- ОЬОСНОСЛННЬ МЬГОДЗ ФЗЮ В з зз гь схолимость рялз (9,23), зззгс ~ нм, ч ~г~ прн ггостзтгнн,о ОО ~НЮНИ а ия л ~ ( У, ',) Аз)+( В„')Г )му==" ~ ( , 'Л 1' ), )' —,.- — -1- з —.
Ф=-и З=-я г'. а З.:. л Здесь мм воспользоязяись нер,.аенстеом !(огзн, Из сходил л 1 я г МОС ~ Н РЯЛОЗ З ЛЗКУ„~Н,— ~Г ~ )З Н НС)ЭЗНСНСГНЗ з — ) з — ь (10,23) слелуег сходизюсть рялз (9,23). '-)Гнм теореме локззава. 2. Покзжсм теперь, ~то сзгсчпзпнзя ззлз ы лля гяпс)кпо- личсскОГО урззниюи Вил1 (1,21) инсст елипсгВгнное рс!ленгге. )3 ч 13 мм локзззли уже сл~встзснпость рсглеюся СМСЬМЗННОЛ ЗЗЛЗЧИ ЛЛЯ ВОЛНОВОГО УРЗВНСНПЯ. Ингсгряруя по частым, легко )Оезнггся, ло лзя зюлыз двух злзжлы г.епрсрмнмо лиффсрююпрусмых В «7 г)п нкюгн и(г, х) п о(г, х) при 0 ' т, =, т имеет место формулз 6,, 1 1 д' ~Л и'* нг д' (.
(К1 н) + Ф, (у) + ~ (х)) и ) — и ~ -' , .", -'-+ — ' — у- -'— ОГ' ' д1" — — — — — — - — -)- (Г (г) ..'-,", (Г)) с ( с ах й 1 , дн д !Лг) ==- '; нл (1) — — и ' +Гмии) их— дг дг Ф --1 дз ')Ас) , ОЛ (1) —, — и — — +!3ио1 гг'х+ у ' ги ди д (Сс) + ОС(х) -'- — и — ' — с+био йг-- дх дх м=г ,ни дгСГН . ) — ~ )о(.(х) ' — и —, +пгт) и г)1,23) дх [гл. ГГИ)РРРГСВНЧ'. СККР УРАВНГН1ГВ Бтсть гх(Г, х) )гигзлс ~ьо(ист В й(г у)эззненк!о (1,21) и т'.ломкя'1 и(О, х) .— О. а,(О, х):=-О, а(0 О) =- О, а(0 г).=.0.
(12,23) (Ькзткеи, ~го ~ р, Вг и а(Г, х). О. (1р Внг. клкнч нрознвнс».. ((усгь и(Г. х) отли гнз от «ули в гглке (Т„с,). 1(ри ынн, формулу (11,23) к фгузкеж а ((, х) к:(гуькннн с((, х), Истер)ю В1зйерси тзк, чтОБы окв удовлет- ВО.ЮЗР В Гтг )ОЗЗНСНГН: н',Л ~Г) с! И'и. ~.'„''. д Ю(ОИ) д(зг!х) гч + дгР их' Ф гг + (г,(у)-(-Г,(х))'-'= — О (13,23) И УСЛОВКЯИ () ==- 0 о(0 г) == О.
О(у„х) ==-О, и;(У„х)=а (х) (1з 23) 1лс а(х) — глзлглк неогрнкзтсльная функиия, отли гнея от нуля тггльксг з изт г1й оьрсстноств ~о Рлг (ТО х,), в которой и (г, х) с Оа згнк~ з .Вк, ( уг з сгвг ванне г)~унк011г1 и((, х1 слезуе~ нз зрс нсзунгс й ~ оремьь тзк кзк урззиснке (13,23) кггеет нг д (1,21). )(секо «нле,ь, ~то к свл) соотгк ик квй (1,21), (12,23), ()3.23) «(14,23) зсвея чзсть рзвенствз (11,23) рзвлз нулвь 3 ВРЗЗГИ ЧЗСТЬ РЗВНЗ вЂ” а(Т„х),4 (Т,) а(х) лгх~ О, Полученное Ороткворечие покззывзет, ыо а ==-О. 3 з л з ч з 3<л а ьго: нгч1рсоыкн)кз ззвискмз, 1ь рен1сл~гя снсннннк(( зззз ~н ллк урзвненнк (1.21) О1 нзчзльны» ) ело,:нн; рсггРгни~ з (О г) )разггсьиз (1,21), уоаз и юзи)ьч«пи Р усзизивзг (1,23) и '2,2ч)„0зрсга ла изйу.ао и;,ель у;о)нз ки(с)В ~ з 6г тхи („Т г)(, ~ ~—," — "( и,',,(х)( с)осагакнинз лазльг д»; о.гР з. гз г ИО ззи* ' кг (О, У(, Длк зг кззззсзьсыгз ззого утнержлення нугкно воснользовзгьск слгся зз и (7,23), (2',),22), рз|н ~ сткоч (30 22', лля Фун агни Ф,, г ь Рнч Яьг":сгвоы (33,22) Зля функции 'з„гх) к Г'О ~ ЬЧОСГ' РО РВЛЗ з — ° ов~члн~.'ляягг м,гола ькягв 3 яме ч ли не.
1)сгко ~кяяааггч гго если гг)г', г) г човлсг. ворьст я Ц, ))ывячялго 11,21М яа вльчьмм уел~ виям 11,Л) и грани ~ньч условиям )2,23), го интеграл будет сколь угодно малытг, если ~ рр,".,1х) гУх и ) рм".,1х) агх ') рл" 11, х) гтх г1Г ьч =-Б р1 ЖЛ; 1х) АьТг)г) + ~я Л',,1х) Вгу !й ~ гЬ.гус-:.:.. ь=. ~ ) 1 Р ( Х '1ь 1х ". У', 1Г) )' х ьо + ь= й р ( Х Л'.(. ) ач Т' г' ) ь-.~ К, ~~'„Б~ =-.А, ~ р:а,,1х) ох+ ггт ', рс,)х) гух, а=ь :~ Х(, с~' Аг + гдс Гг, и д, — некогор~ ге яолоккителг ньы нос совиные, яч аавнсчигне от ч,, ь у, Пря выводе этик оценок мы ьосвольоо валя'и влемен~арным неравенством 1а+Р)' . 2а" +2д', оргог.ояальггос~ьго с несом в )х) сооствеивык фуякяг й, которые предослагногси яормггрованныягь ограягленностгяо функций Ул и 1, н равенством 1)врссяаля )35,22).
3. Если начальные Функгвгг Ф„1х) и Ф,1х) яе удовлстворикл условггггм, )ормулировногыч в теореме яастоясие~о яа ран рафа то моягег нс сущесч чона г двьмкды ясггрсрывяо чяфФерелнир)сигм ь /1т ре!лсгя.е смсгваяяоя авдачя для )рав:. яия 11,21) Одгыьо если т,, 'л) -- ясир ровно дяфферсння. достаточно мальс 11сйствгчтсльно, вас соль ~оггвяигясь яреас галле,чеч а )г, х) в виде ряда 112,21), лолу гим !ГЛ. !'ИИ!!'ГО,Н'!РСКИР ГРЛК'!Гн!Ы !зхсмзя фун!Оии!, Обрзогз!00Г,! !ся в ! у,и и)кв х -".= 0 и х::= 1, и„(х) --. Кс! рсрыю!ю! сиснюГиг! оа отрезке 10, l1, то ряд (12,21) рог!нгм!Грг!г! Ганди!Гя и ся!редсляет в гг', некоторую !!Гирерыиную фуиь;юь и(Г, х).
Фуюагия а (Г, х) буает ири эгом обоб!цс !и!Рм рс!н!'и !с!, Гк!с н!анной вада !н для урависюгя (1,21), Гдкл ю 'Гс'!'ягкнцкм $ючальяь!и ) сл!)вню! (1,23) и ! раничным услою!ям (2,23). Фунюны! и(), х) и! ! !Г !ывзс ! Обоб!Ги н! ым рсюсннсм у! авве!ея (1,21! с на !,!.!ьюзми услГюкввю (1,23) и тренк ы нымн условиями (2,231, если и!Г, х) является н!ределом в 1( т н! и л — - о. ракяжмср!и! ск! дГицейся !юследовательности и !Г, х) ретив!Гии ураю!сник (1,21) с гр! ни и!ымп условияии (;!,23) и !!з !ю!!и!язв! услг!Гвя,и! а„',О, х) =--в,.',(х), ии, !', х! Д! (х) (15,23) и ори и — оо ) Г ' ., (х) --,'!х))' гух - 0 ! а !х) — !Р1 (х))! Г)х О.
Я 1)О!сая сг!, 'Ло с'с ли ю (х) — - исГЦзср!Звио пиффсреицнру сная ф:и ю!я, обрзвГзюнгаяся в н)ль ири х = — 0 н х —.У, з !а, (х)— нсирсрьюиая функигя ня (с!, 1(, Го урзвню!Кю (1,21) с услоыгями (1,23) и (2,23) со !твстстяует едино!всинос обосб!ценное рси!с!иин Сук!ос!я ~!Кнн!с ' б!юигснно! О рсюсиия выте!сает ия то!о, что чзс!ныс сузам ряда (12,21) образуют !юследо- ГзГ!ГСЛГН!Оств гГм (Г, Х). КО!Ор!я уд!я Летятряет ЗрсбуЕМЬЫ! усз!Г!- виям, и елекова г люю, !ыл (12,21'! являстю! Обооигснным рсюе!Гнем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
