И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 33
Текст из файла (страница 33)
е — ! (20, 24) (21,24) (22,24) Для доказательства равномерной скоднмости ряда (15,24) и рядов, полученных его почленным лпфференцированием по х и 1 до двух раз включительно, достаточно доказать равномерную сходимость из отрезке Оо:хобу следующих рялов: 212 (гл. и гиню волячвскиь гп ьвньния г)а уравнения (16,24) имеем следовательно, равномерная скодимость ряда (22,24) будет вьпскать нз равномерной скодимости рядов (20,24) и (21,24). Пусть, как и прежде, ()(.У, Я=Р~Ы' +~ИВ.с, ОЕ=~М"+4М') Ух; о очсвилно, О Я ~ 0 для любой функции ~".
Умножая обе части уравнения (16,24-) на Х„ и интегрируя от 0 до /, по. лучаем с помощью интегрирования по частям ),~ Х;;:г)х=й(Ха); а Х ) ась = Е>(У). (23,24) где с,= ('у'Х,г1х ()г.=-1, 2, ...). Д о к а з а т е л ь с т в о. г1н ~ егрирун по частям, находим ВУ, Хл) = — — ~у ((ЛХс)' — 7ХД их= — ) с,,; о )) (Хг ХА) = Ла 1 Хг ХА дх = ЛА ага твк как Хс (х) ф О, то отсюда следует, что )а ) О (й :=1, 2, ...). Л с м и а. Пусть функция у (х) непрерывна на отрезке ) О, У/, обрагцается в нуль при х= — О, х=-.1 и имеет нз этом отрсаке кусочно непрерывную производную, интегрируемую с квадратом. '!огда справедливо неравенство $ 241 нтиггенениь Функции ганна Пользуясь этим, получаем 213 0 -"0 У вЂ” -~ ел Ха ==О(/)+О ~ч,'с Х аг / у и и — 20 ~7", ~гсл Х„=-0(у) — ~' )гса, ~'),' Лз ~ 0(Е (,у,) ).
г=г (24,24) Функция Л(г(г,) непрерывна яа отрезке 10, 11. Принимая во впнмание соотношение (19,24), по неравенству Бесселя получаем 2)г Вг -- 1 )Е (рл*с(х. (25,24) й=.. г г Из уравнении (17,24) имеем — ""- =.— — ~ 0(х, а) Х,(а) с)з; 1а ' г (26,24) ~ледовательно, †' — при фиксированном х является сс-ч Хг,, (х) аг, коэффициентом Фурье функции — 0(х, а), удовлетворягощей на отрезке 0 с-"а~1 условиям леммы. Поэтому гг г — 0(0) Л4, при О " х «.„.1. (27,24! "й а=г Дифференцируя (26,24), получаем: Х. (х~ —: - -- =. — ') П„Х, (з) 3з; гг откуда вытекает (23,24).
По предпологкенгнго, функция Е (гу„) удовлетворяет условиям только что доказанной лемггы; поэтому для Е(гу,) справедливо неравенство (23,24). Используя (13,24), находим 214 (ГЛ. И ГИНЕРВОЛИЧЕСКИР УРАВНГНИЯ в силу неравенствз Бесселя отдела вытекает, что ~г ХР( ==' ~ О„ГЬ -" М, при 0-= к = Г'. Р г;=- Р (28,24) Локзжем теперь, что ряд (20,24) равномерно сходится нх со резке 0 х ~ /. Применяя неравенство Кои1и и нольв1еыь пленкой (27,24), нзхолим ч, (Хл(. )1() (Л,(+ )Р )А( Оа()= А — ч ЧА', Р)/У ьй)» чуч(), т'елч.),' лен); Р.=ч А=-' отссолз следует рзвномсрнзв схолимость ряди (20,24), так кзь числовые рялы 'Р" 1» ЛА и ~~Р 1хох схолятся в силу (24,24) и (25,24).
1(ока>кол~ рзвномерп)чо схолямость рялз (21 24). С помои~ив неравенства (2й,24) получаем лч и ~-' (х, (.)(~)л,(+ ('(~=- 4 п1 ~~'-'-'-'-((у, ( Л, ( + ) '),, (ЛА1)» А-. РР ГЧ РР ! ~л '=) 1(Р ~ )ух ~'1,';.л,', +-)/ х )х й, ). (29,24) 1'ял ' А,*, ЛА скопи~си в силу нсрлиспствз Бессели для й 25( изучгииа колеваннй мембганы 215 функции б (м,); ряд ~~Р~),ьВа сходитсн вследствие леммы, Е=' ~ примененной к фучпогни м,. Поэтому иа (29,24) вытекает равномерная сходимость ряда (21,24). 3 а м с ч а н и е 1. Применяя такие жс рассуждения, мщкно дать обоснование метода Фурье решения смен~анной зада ~и для общего уравнения (1,21), если использовать оценки вида (7,23) для функций 7'аь(1), Т~ (г) и их производных. За м е ч а и и с 2.
Результаты настоюпего пункта гюзволяют другим путем получить основнучо теорему п. 1О 2 22. Дайс -.,о, .» ру «, у .с.р;«й леммы настоящего пувсга, в силу неравенств (23,24) н (27,24) получаем ~~',' с 1)чба(х)) — -- 'ч $' 'л ) с„) к-.л а —.и / ч-Ын == )''Г) (О) ~,г ~ ),„,-, а.=-ч при и > гч'(а), т. е. ряд ~с Х (х) на отрезке (О, 7~ сходивов абсолютно и равномс(ню. ья 25. Изучение колебаний мембраны 1. В Ч 1 мь1 рассмотрели в качестве примера ураансяие колебаний мембраны дт а дви . д"л (1,251 дю" дх" ду" ' Пусть в полон<сипи ршшовссяя мембрана совпадает с не- которой ограниченной областью б илоскосчн (х, у) с кусо шо гладкой границей Г. Тогда фуш.цня и(О х, у), опрсделяюци1я вги колебания, должна удовлегворя~ь уравнсшно (1,25) н начальным условиям и (О, х, у) = э,(х, у) (начальное отклонение), (2,25) и~(О, х, у) =-~у,(х, у) (начальная скорость), когда то и а (х, у) Е 6.
т1 на грангщс Г области сг фунюпгя и (1, х, у! дот ю1а удовлетворя ~ ь ь аким нибудь 1раннчным услоюшм ра смо1рснно~о в 2 ! ~юш 2)В Гиввьпволнческвве ужапневвввя (гл. и вввва рассмотрим простейший случай — мембрану, жестко закрсплеавуво на кршо, т. е. граничное условие и(~, х, у)=-О, когда (х, у) Е1'. (3,25) Решая задачу шать методом разделения псрсмснных, положим и(4, х, у) =- тяп(х, у). Лналогнчвво одномерному слу ваю, полу ввввв следующие уравнения для функцкй т(1) и о(х, у): г+'ут= о, си й' — ' —;+-в —,+М=о. (5,25) Для уравнения (5,25) при граввичпом условии (3,25) сущее.ввуст бесконечная последовательность собственных значений. Собственввые фуикшви, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны между собой.
В отличие от случая одного независимого переменного некоторым собственным значениям может соответствовать не одна, а несколько линейно неззвисимь х собственных функций. Такие собственввые значешвя называкл'ся красмвымн. Всегда мо'кно выбрать среди собственных функшвй, соответствующих данному собственному значению, такую ков с внувО спсвему линейно независимых и ортогональных между собой собственных функций, что всякая собственная функввввя, нрннадлевкащая этому собственному значсниво, выражается нх линейной комбинацией.
Совокупность выбращвых таким образом собственных функций, соотвстстнукшшх всем собственным значениям, образует полную ортогональнуво систему функввий о,(х, у), о,вх, у)...,, э,(х, у), Разложим функции ву,(х, у) н м,(х, у) в ряды по функциям о„(х, у): 3, (х, У) ==- ~~' Лно„(х, У), ив, (х, У) = 'в ', В„о„(х, У). (6,25) Выберем лва линсйвю независимых рспвснпя т~ (~) и Т:ч (У) ур.ввввсввня в4,25в) так, втобвв )лйвлстелрялнсв условвввв В (О).= ); У" (О)=,О; т (О)=.О; таа'(О)=-В изхчениа коаеьлпий мемвглны 217 2 25) Ряд и (1, х, у) =,У, о„(х, у) (А„Т„(1) + В„Т„~Я (7,25) представляет решение пашей задачи в том случае, если втот ряд и ряды, полученные из него по ~ленным диффсрсгшировапнем по 1, х и у до двух рез включительно, скола~си равномерно.
Мы остановимся сейчас на двух частных случаях, когда собственные функции уравнения (5,25), в свою очередь, могут быть найдены методом разделения переменных. Аналогично ьюяьло поступать и в случае большего числа независимых персмепныю Эти случаи могут быть ясследованы ло конца сведением к одномерной задаче о собственных значениях с пшющью следуюецсй леммьь Лемм а. Иусть еЛ (х), (ь,(х), ..., о„(х), ... — палила систелга ортогональнмх и норлигровиннь~х с весом р,(х) 4ункг(иг) ни отрезке (а, Ь(. Оуспгь, далее, для каждого п(п=-1, 2, ...) илгеется полная систелиг ортогоно.н,ны.с и норлсировиннмх с весом р,(у) функлий на ольрелгсе (с, г1( ф, (у), фь, (у), ..., ф, (у),... (3,25) Фунгсггии р, (х) и р„(у) предполагаются нелрергтвнылги и неотрииательнмми.
Й лшком случае дьункиии Л'„(х, у) =- ь„(х) ф„(у) е ь ') ') р (х, у) Л"„н (х, у) Л'„. (х, у) дх гуу == ьа 1 при и — -- и, т .=- т', 0 при и ~п' плп т —,'- т', (9,25] и если С„м — — ~ ~ Р(Х, У)г- (Х У) Л „, (Х, У) ил дУ, образуют полную систему ортогонал*нмх и нормированных функиии с весом р(х, у) == И, (х) р,(у) в ггрялгоугольнике а(х Ь. с=-у = с(, т. е. имеют место равенства (гл. и ГИИЬРЬОЛИЧВСКИЕ УРАВН!',НИЯ то для любом непрерывной в расглгопгрггваелголг прялгоугольмике фуня.ггии ~(х, у) справег)лггво равенство Пир!Геваля с ь ~~ р(х, у) (1(х, у)("агхсгу=~ '~ с,'вн.
(10,25) П вЂ” ! Л=-! Д о к а з а т е л ь с т в о. Справедливость формул (9,25) очс- '. Д.- '; ° .; - (1(),25) ') р, (х) г' (х, у) гр (х) ггх = в„(у). О Тогда очсвндно, что сг );,(у) б„(у) ф„„(у) ау=-с„,„, ь сс р, (.г'( !',у))евах==- ~.', р'(у) ! — ! и что ~ р,(у) К,'!(у) г)у= ч~р с'..., так как системь! ф„(у) нолик! Ири любом и и квадрат функции г„(у) Гигтегрируем. Так как рнд ~', ~„(у) состоит из положительных членов П вЂ” "- ! и схолнтса к непрерывной фтггкниг! в катиной точке отрезка )с, гг(, то но теореме дини он сходигсх равномерно на етом отрезке и нозтому вь в ~~~ р(х, у) („г (х, у)1 ггхггу = ~ р (у) Р х„(у) ггу— О с с=! = — 2~ ( р,(У) б~(у) г(у== ~'„,у„с„'., ! — ! с=.! чго н тря!бова!с!ось доказать.
р!Гсм: !гюм !слюн нсрюей частггый слу'гай — гсолебамиъ прял!ау:ольнои лгслгбрггггьс, $ 25) из>чених колхвлняй мемг,елны 210 Пусгь область О прелставляст собой прямоугольник 0 =х ( а, 0 =- у ~ д. Разделяя переменные в уравнении (5,25), поло ким о(х, у) =Х(х) 1'(у). После подстановки агой функции уравнение (5,25) примет вид Л"'1+Х)" +1Л У= О. Х" Разделим нз Ху и перенесем †; в другую часть равснсгва. Получивюсеся равенство 1" Х" —, +1=-- —— Х эквивалентно двум обыкновенным дифференциальным урзвнсниям Х" +ил=о, У™-1-'рУ=О, где и — постоянная, а р =1 — а. Соответсгвенно граничному условию (3,25) первое уравнение дол,кно решзгься при условиях Х(0) =- Х (а) = О, а второе при аналогичных условиях У(О) — — = УО)) =-О, Чтобы удовлетворить этим условиям, мы долгины считать и) 0 и ()) 0 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
