И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 36
Текст из файла (страница 36)
ЙК'1 зв11 ) «!У, мп1 ст,) ' Ы1 Н1 У ,* ч 2(!) СН5;ДСПИ5! О ГОВОТВЕПНЫХ Ф5555555Г55Х 221 гу (О):: Л (1) - . О эквивалентна загтачс нахоткдс5гкя минимума функгнк5кзлз Й~Л') -. () (! Л' ! 5)Л' ) пх ь (11,2О) 5йрк усл55впп гг(Л ) = ~ РХ г1м =. 1 5 (!О,'?6) в классе фуэ5К5555й Л (х), 55С55р5ерын55о дпфферсгн555руемых «а отрезке (О, Р! и обрел.а5огцихся в нуль па ггонцах этого огре.гьа.
Для пр556555555к«5555огс5 регцсния этой зала и5 «5С55ользусмся методом Ргмца, ко5.орый состоит в слсдуюг5тсх5, Рассмотрии произволы5у5о систему иэ бсскопеч5ки о !иола л5555е!55 о 55сзгг«55С5555«5х функций о! !х), О == х 55, непрерывно дпффсОс!55555!зуеь555х в удоялсп5оргко5цвх красным условики '5 5.«.
НО !!. К а и г о и о ь и ч 55 й. ! !. К !5 ы л 55", ! 55555б 5«я«55«ы'. меа цы «5;сае5о 555аг555з,5, !'Осгсм55 «ей !Нб!, гх. !52 сгр ",5Ь вЂ”.5Б. КОТ5фй5555155с55гы Кого!5огО Обра55са5ггтся в бе КО55С 5550СТь е 5«5- л5ос; х сферы 5)==-. О, !)== и. Краевыми условик55Я лля мого ! рн«- 5геи5!я с55у5кат усло555555 не55!зс(555«55Осги я Однозначности рс5ис«кя иа сфере р — — 1. 1!рн этих услоняях мы посучагм, как и в случае 55ЕПРЕРЫ«И5ЫХ 555зэфгР5555ИЕНТОН, бесконсчну5О посл!:дОВа5ЕЛЫ5ОСть собстнск55ых зна 5еняй гг«===и(и+1). Ка5кдоиу сгм)сгв5сн«55555у значе5 гио гг, соответствует 2п + 1 линейно иезавчсимых собствс55ных функц551! К„(!), (э) (сфсри 5ескпс фу55кц55555 и-го 55оридка, гн= —.
1, 2, ..., 2л — 1-1), причем 5Н5следоиз5слгн5осгь собственных фу5555515гг5 55вл55етс(я полной ня поверхност55 сферы и всякая 55е55рер5ав5555я и дс5ствтс5'55555 гладкая функция па сфере могкет бы и !зазлогксн*5 в равномерно сходя!нивен ря 5 сферическим фунггшгиь5. б. Вар55а5555О55555эе методы для прис)лимонного н55хо55где5555я собсг венных функций и собственных значениях). Как бь5ло по5555эа5555 а 2 22, задача «ахогкдення первого собствсн5«ого значсии 5 и 55ср«ггй собст!5«55«ой функции уравиен5Н5 (1,22) прп крзеных услг5555555х (гл.
и ГИИИГЭОЛИЧРСКИЕ УРАВИЕНИЯ )ьулсьь искать ирпбььигиенное решение постаплснной экстремальной задаю в аиде лииейьюй комбинации конечного числа фуьщцнй Аь Х ,(х) =- ~ а,ьу„(х) (! 1,26) .' ь с яеопрслсленными коэффипиентаьщ ль. 11олстзиив (11,26) и (ь),26) и (10,26) и ироизвеля интегрирование, мы придем к задаче иахотклеиия минимума квадральнщой формы л Д 'ьп„..., О,) =-.= У п,а ~ (гььа,', (х) ьу'„, (х) + ,ьь=ь ь + ь)ьу,,(х) ьу„,(х)) сГх ==- ~ А О д л,ю=ь прьь усьпьььиьь х ь А к)то — ззла ьа лпфч ерснвгальиого Ис щеления, КОтОрая пракьи ьески легко решается, так кзк ироизнолные г' и ьь,, суьь лььььеьйььые функции от а,, ..., а, и поэтому система )1ь ьньщнььй ~аь б ('ь 1 2 ° ° ьч) (12,26' лпнейььая ььдьигролнля система ураннснь'.Й ОТНОсительно гь аь' Оььрслсььььтель этой системы есть много ~лен И-й степени гьт. иосительпо А.
0н об1гищасгся н нуль при 1=)ч' „..., АА, )ч' ~):„~... ~:АА'. Все ). дейсьиительны, Дьья каьклого ОЬЗ . 1АЗ ° ь ЛИЬ существует иетриииальное рщпеипе систеиы (12,26) и' а... Ом. 1='сля ьг' ииляется /г-крамьыч корнем опреЬь~ Гй ьо . Ьлз лслььтеля, то системз (12,' 6! Ирп к †. †.)г имеет ьа лиьыйно О Рб ььсзаььисььььььк рсщглщй (гь,.ч, ..., и',). Й ьо Пусть сььстсмз ь)ь) ьькщгй 'л„(х) тнкоеа, что лля нсякой яси ьерыгиьо лифферсьь'щрусмой ььа отрезке (Оь, /) функции у (х), удьнлсььчргиоцсй усьоиющ /(О) /(1) ==О, и льобого е)() 26) сведеюи о совствгнных ехнкциях 233 инною пзйтн такую линейную комбипацюо ~ сзо, функцн)) (з„ с поп.санными коэффициентами, что на справке [0, 1) )~(х) — ~ч", сара(х)((а и !у'(х) — ~; сьо'„,(х)(" а.
ь.- 3 ь —.—.1 Тамаз нри вахедом фиксировзююм значении 1 и И-- оо )!л! — )и гяе 'яг — / е собственное зпячсннс данной ездя:!и. '1нсля !л) прн 1, ие преяосходяи!см некоторсчо фиксированного числа л(, н досзяточю больцклз Д7, явлжотсн присближенными зна'!синими первых л( собствсчппзх значений уравнении (1,22) при красен.х условиях Л'(0) =. Л'(1) -.=(!. Из послсдогзтельносж! функци!! Л';* можно выбрать подло!м! слсдовател! ность Л, тяк)ю, что равноме!>но нд 0$ ре зке )6, г) от'! Л) (х) — Л', (х) при Д)' оо, гле Л', (х) — 1-з собс:неннзв функции дянноа зада цн Быстрое а сходимостп Хг )(х) к Л;(х) сугцественпо зави(ла снт ог вибо!>а функций о„(х) и степени гладкости ковффнциснтов р(х), с(х), р(х) н).
Подробное изложение метода (зитцз, методз Гзлеркина и др) гнх приближенных мезодов содерззнтся в кнгяе С. 1. Михлипз козрняпноппые методы в матемзгн ~есной фи и;кеа, Гостехиздзт, 1657. 6. Обоснование метода Фурье дли ре~иенпв смеюянной задачи в случае многих независими ы х и е р е м е н и ы х. Методом Фурье можно репчата смспззнную зала ~у для гиперооличсского уравнения вида дзп 'С' д дз — — .- !и (х, ..., х,)-'-'- ~ — а(х... к !п.1- -(-/(1, х„..., з„) (1:3,2!) '! См., ззнрзиер, !!. М.
Крылов н 11. !1. ! о~ озюооя Инесзня Лк на)я ! ЕХ Р сер ж рнх нзси.,1РЗО с~!л ла — 71, !Об — 11(, (гл. гипьвьолическив т хннюшя в прямом цилиндре Ц. произвольной высгжы Т, одшш из оснований которого служит область 0 гиперплоскостп г =- О, прп начальных условиях озп, п(О, х)=-У (х1, — '(О, х)==-Ь(х) (14,215) и грие пюм условии и=.О на граншге Сг. (15,26) Решение втой задачи, как и а случае двух независимых гс- ременных, форьшльно прслставлястся рядом Аа сов)'г)аг+,. зьп )' хат.+ а== 1.
1 г + = — ) Ра (т) вш ) ха () — т) ~уг , 'Фа (хо ..., х „), (1626) А и гдс нл (хо ° ° ~ хл) — собствегн~ы ф)нк'ип У)эавненна с граяичным угшиишм (15,26), а уа(1)=~...~У(6 хо ..., х„) „(х,„..., х )г(с, ах. С. Л, Соболев впервые висл н рассмотрение обобшснные решения смешанной за,гачи. Он получил так наш,шаемыс внсргети ~сскис неравенства для решештй уравнения (13,26) в цияг|ндрс Ц .. Эти неравенства позволяют докаазазь сходимость в среднем ряда (!6,26), а также рядов, полученных почленньш дифференцированием (16,26) пс х,. и 1, н устаповгыь, что сумма ряда (16,26) является обобшснньш решением смешанной задачи (1,'~,26) — (15,26).
Работы С. Л. Соболева по гиперболическим уравнениям, в которых систематически применялись доказанные нм теоремы о влозкешш функциональных пространств, использовались понятия обобщенгкжо решения п обобгценной производной, оказали большое ашш ше на дальнсншнс исследования смешанной зада гь 2 26( сввдычия о согстаьнных ььь~кцььях 235 ,'1ля неоднородного вошкшого урзвнсшья с многими незавпсь мыми перемснньып УС Л. Смолнцкий, ись~гьльзуя выведенньяс им оценки ьшя собьсз венных функ шй и пх проязводных, доказал существование гьбьь ььюго рсшеюш смешанной зада их).
О. ььг, Ладыжшшкзя показала, что прп гпределеншьх условиях на коэффнпь енты уравнения (16ь,26ь), на ~альные функции я граню)у области 0 ряп (16.,26) и ряды, ьюлучеипыс его двУкРать,ьш почлеиным ьтиффеРеиь)ььРованиекь по х. и равномерно схопяься в Ць.*а). 13. й.
Ильин лал лругое гьбььсньзваньье метода Фурье решения смешаююй зллзчи (13,26) — (15,26); при этом и реыюложсния огносьг«слыло г)ьаннпы Оолзстп 11 Йьльь свспь:ны к минимальным М. Л. Крььсносеьььскьчм предлшкспа общая схема обоснования метода Фурье для юирокоьо клзссз задач, оснонашшя на ис.юльзованнн теории л.робных степеней операторов в функциональных пространствзхя"я '). 7.
Решение смешзннгй задачи для обьцсго линейного гиперболического урзннсиия второгоо поря д к з. Скьсцьгьь~паьь згышча д ш гььпс1ьбьоььвческььх у)ьавььснь!й вида ч д~ц сь'и д"п 1 х~ сря * +)ь„-;-+си+,', (17,216) а и где а,, аеи (ьо 1ь„с ьь,г' — ьыьстато юо гладкие функция от 1, х„..., хгп впсйвьме гьыьцч Решена 11Ржихчзь~сьгикь п ШььУдергькь "кеая) с помощью аналитической аппроксимацнцкоэффициентов уравнения, изчзльных н граничных условий. 11ри этом поь пебонклось ьшбо налагать сплю.ые ш раин ишвя па к) Х. Л.
Смола пкп 0, ЛЛ)1 СССР 73, №3 (1960), стр. 466 — 466. "Я) О. А. Л а л ы ж е н с к а я, Смешзппаа задача лля гипероо- лпчсскогп ) равнения, 1 остехпзьрп 1253, """) йв Л. Ил ь н и„успешь мюем. паук, 15:2 (1й60), 07 — 154. "е" к) См. К. ьч. К р а с п о с с л ь с к к й и 6. И. П у с т и л ь и к к, ДЛИ ССС) 122Ь, № 6 (11);;Зь, Ьтти — т. -"'") )ч гь. у аль 1с1, Ьс йаь 6 с г, 51пща Мьцйешаь1са, 11КЮ), 162 — 165а Гнпекаолн'!асина уилянкния глалкосгь начальных данных, либо предположигь высоту цилиндра Ц . достаточно малой. Методом конечных разностей О. Тп Ладыженская и) доказалз рззреп!имость смешаю ой зала ш дгш уравнения (17,26) в цилиндре Ц.
и!ронакольной кыс!жы Т при некоторых естественных предположениях относительно коэффициентов и началы!ых данных. Изучен также кодрос о существовании, единственности и дпффсрснш!альных свойствах обобщенного решения смешанной зала и. Смешки!нуш зада гу для уравнения (17,26) в цилиндре Ц. можно свисти к зала !е Коши д:ш операторного ураянешш в некотором функ!шональном нр! странсгве, от!а пространство обладает, в частности, тем свойством, что все принадлежащие ему !.лздкпе функции удовлетворяют граничньщ условиям, заданным на бокшеой поверхности цилиндра Ц .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
