И.Г. Петровский - Лекции об уравнениях с частными производными (1120428), страница 38
Текст из файла (страница 38)
2. Из толыю что доказанной теоремы сразу след)ет е»1»тственнос»пь реи»ения додави хуит»ихде. В самом дслс„ допустим, что две гармонические фуикю|п и, н ит совпадают и,» грзиюге некоторой ограниченной с»б»»зсгг» 1». Тьч»тз их Р»»»~»осг»ч ко»»»1»»»гц о'»свидио, гзкикв Явлие гси га м»оиичсской фуикги»ей, гвк»гес»пенне» рав»»з»»у»ио нз ~ранние облзстн и, по;юказзнному, нс мгикет внутри облаг.
ги ириним гть больных или менами»г»х, .см нуль, знл»сипри г. е. и — и„: —.=0 и и .=:и,. » ' ' ' 3 Из теорсмь» о макс»»ь»уь»е и минпчуь»с следует также нг»»» ерменая завита»иотпь ре»иения аг»апти Лир»ихде о»п гранин»мх г)а»тн»»х для произволыюй огрзыгчеэ»ой облаем» г».
ь»)ейсгвг»гель ю, аопусгям, что и, я и, — репгеняя задачи Дприхле аля некоторой облзс»я 0 при зна иииых т„со»»гвегс~оеиг»»»,"и нз грзниие 1 области (» и то на Г всюду (7, — — у,( .' з. Тогда» рвиичнмс зизчеиня гармонической функ»»»ии и, — и,, ра»впгяе, счев»~»»» о,,', — »'и удовлетворяют нсравсисгяам — зч»» < в.
28! сгкгйгтво млксикомл и ктннчьтл п то слгдстюьп 243 Из теоремы о максимуме н миютум. слсдугм гоггы, гго всюду в области Π— ес и — и. а, ! т. е. !и, — и,,! е, гто и требовалосг, лова гагь. Отсюда следует полезная дгггг далыюйюего Х! е м м а 2.
Если ггоследовагпелькость непрерывных в и! кол!ау ой залгккутои огу ики ьекнои о!пласта и гсгр.ггокачес к!! г внутри отой обласгли функции равножерно схооится на границе области, то ока такзке равнолнгрко сходится по всеа рагслгатриваегдой облагти. Для доказательсгва рассмотрим ты!у!о носледсвателыгос.ь и„..., ин,... и обозна гим !врез у', гта геюж функции а гггг грань!!ге Г обпагги ЕЕ По гюедгюложсннго, !нкпс донажльносгь уг равномерно скоггггтсгг.
))о кригер!по (роггггг для всякого е ь 0 сунюствуе! гаков бУ, что ггри и, т" лУ всюду н.г ! ( у„— у ! ~ е. ! (о тогда, гю дока!!!гиги!у, !!ля зтнх и и гп будет гги„--.и„,) г ос!оду в (л ((а ос!имат!и ггосгаточгггжггг кригерия )(огг!г! ны заключаем ото!ода, что последовагельносгь и„..., и„,... равгюлгерно сходится и замкнутой ггбластю 3. Г)сг,гьзуясь лсммой ! н геореьюй о макюгмуме и мюгимуме, можгю доказать след)гогггие георгик Т е о р е м а !.
РУугть гуанииа Г области бУ та!сова. что калсдои токаи Р гуан!!им Г жозкко ко!кулисе круго.гг пугинадлегкшцил! обласпги б, т. е. сулгествует кууг Уб „лотоугмй содеугзкггггг точку Р и все вкуту!синае точки котоугого принадлежат О (гпак будет, !игпугижер, в о!от слуга!с, если гсривая, огроничитиоигоп область 6, ил!ест в кглггггзогг точле ограниченнйно кривизну).
Если гар.иокичетсая агункция и(х, у) непрерывна в 0-! — Г а не гаека пгггтоггнног), то в точке Р, границь, 6, где и(х, у) принигиает каилгекыаее да (соогпвегггспгвгкко наиболыасеу значение, произвос'не!я — от дп фунгсгугги и (л, у) по ггппривлекиго вктакей портили отрицателька (соопгвггтственно полодкител ка), есди только пропади водная —, в втой тоске гутес пвует. ггг! До каза тел ь с ге о.
()с!.гнием круг Уся. По препположенао, все внутренние гг ипг зтог'о круга прн;ыл чюьа г ей Если и(х, у) гге равна пес!генной, т! по гж реьге о ьыкснмуме и минимуме функция и(х,у) приникает нанменыиее элгггггггн гаскпе кглвнг:ггия (г-л. ни зпз генис только в граничньцг точках 6. Поэтому значсюге и (х, К) НО ьссх внйт!юггних 20чгсзх Ке ст!2ОСО мг.*ньнгс значсггня и(х, у) в точке Р,. Примоют,нсмму 1 этого параграфа, дгг получггм, что - ч. О в го жс Р, сели только эта прокзводпак сгл 3 суггсествует, !! точках Г, где и(х, у) прпнгэгзет ьгаггбольшсс зна югюе, фуггкцггя — и(х, у) прпюгмаст г,зкмюгьшсс значение и, цо вод к2гзгзггггоьгу, — ( — и) .
О, т. с. — '- '.- О. дл ' ' дл '!'с орем а 2. Реигенсгл одной и той же лторои гсраелой задави .иоеюл отлсс'с22222ьсл л2елиду собои только лсгслголн- кы гцс с.га аслиглис, ссли, 'ткгща 6 уао22 гегггсга)гггст услози о, сдгсгй> кулироаанножк В тгссре гге 1. Локазагсльсгво. Пусть и,(х,у! к ис(х,у) — термос!и, ди, ссс е Фуги юн в 6, г;рер* » . 6+Г, . '= — '.=У ' дл с!22 на !". Функция и(х, у) =.-и,(х, у) — иь(х, )г), г~рмони гсскзя ди в 6, непрерывна в б!+ Г н,- =.-О. Если бы и(с, К) гжлн- чзлась от постоянной, нг согласно георгис 1 в точке Ро гдс и (х, у) прин22хгает наименыпес зпа геюге, пронзводнан ди †' была бы отличкой от нуля.
(.ледовательно, и(х, у) рвана дл пос 2ггянггой. 3 а д а г а. Третьи краевая задзча состоит н том, чтобы найти гармоническую функюгю и (х, у) з области 6, нснреди рывную в 6-)- Г п гак)го, что — +аи в каждой точке дл г ранпцы облзсгп 6 равно зггачегпгю заданной фуггкгьни / ди (а зм О, а з' О и — — производная по гаправлению внсиюсй ол нормали). Локажптс единственность рсцюют третьей краевой зада ги для уратюннч Лапласа, ггредполагзя, что грагшца Г области 6 удовлетворяет условию, сфориулировангюку в теореме ! ф 29. Репгсгггге вадачи Диригьле для круга 1. Пусгь на окружгюстк рздкуса 1 задана нтгр рывнзи с)гунююя / (з). )Лось г о гначзет ллиггу луги сгггружггсгс 2н, огс нгтывасмую от некоторой фиксированной гсгчкгг, н прслползг,югся, чго у(0)=.=Е" (2г).
Требуется гюсгронгь гарно гп- 29) гппспнс ллдхчп днгихлг для кгхгх ~ескуго внутри окруховкги фуики ио а, ирииихииаитую на сзмой окру ксостп зздаигнхс значения /(а). Поместим иа гало координат в пснтр рассматрпвзехи го круга и ось Ок направим в точку з= О. Псрсйлсм к полярным коордннатам, гахн Ок ла полириучо ось и 0 — зз помог. Тогда уравнение граничной окр);кис,~п злпиюстся в гк ыриых коордннагзх: р: —. 1. и функипи,~(к)=у'(ъ), где и — полярный угол ао ~ьи па окрук,ности. Применим длв рсюсиия пмисп зала ~я метод фурье, г;ред. полагая сизчзла, ч ~о у'(л) имеет исч1рсрыви) ю прс извоз в) хз второго порядка.
Поллнсс мы освободимся ог ваемо ограни~снив. Уравгмние Лапласа е полярных координатах имеет апд дхл . ) дл, 1 д-"'и + Будем искать регпение етого уравнения в викс произведения двух функппй: и = — с'с (( ) Ф („). (2,29) Подстзвляя такое произведение в уравнение (),29) и рззделяя исрех1енные, полу ~ихг (агнчлогпчио ь 20) для ф)ч кннй Й(р) и Ф(з) обыкновенные дифференциальные уравнения Ф" -( - 'лф = — О рЧх+ рй.' — - И = О. (3,29) Фуикиия Ф (м) по схпяс.чу задачи дол;кнз иметь псрвсд 2с,. что мотает быть только при ).„равном квадрату гд лого пасла л нлн пулю.
Полагая ),==-л' и 4(1 ° - с сгм л 1 — с з/и л(~ нз (3,29) получаем лля тс уравнение р И + рР— и'тст == О. Это уравнение имеет линейно пезавпспмыс рва~синя и'=е" и Д=-о ' "), и так как в~орос рсисенве имсс~ рзврыв в на- 9 )Ь~асгх михой й=с оиа ирако имея х уравнению с посгсмиными коэффнднситамгь (гл. вп вллиптическне хвлвнкння ю.ве координат, во нспрерывюяюв внутри еанвючного крува чаев ньвю, рсшсююмн вида (2,29) явлвююся функции и„(р, в)) —: р' (а„соь гвву+ Ьв,в зю ар). Кроне жюо, прн ) = 0 вюлучзсвся репююи и,(р, у)=сопят, О вовв.,рос мвя обознзчнм -„-. 1 яд и(р, в)=.„"+ ~ р" (а,,сов гввь+)в„а(ввав(в) (4,29) при любых ов равючснных а„и вв„сходитсвв в вввобоИ внутрен- нсИ точке круга, так как прн р 1 втог рял мовкно мажорнровать схолящимюв рядом вила Л4(1-) р, +р'+... +р",+...), (5,29) гле р< р, ~1.
'1тобы шжазать, что функцю: (4,29) является гзрмоническв й прн 0 =: р < 1, запнюсм рвд (4,29) с помощью координза хвву: и (х, у) = — е+ ~ )(ее)1(а„— Ф„) (х+ )у)л). (6,29) Ряд (6,29) и ряды, полученные пз него почлсвюым дифферснпированпем по х и по у любое число рзз, сходятся равнояюрно прн О-.= р "р, < 1, так каь. эвн ряды мзжорнруются рвщом (5,29) н ряаамп, нолучсню,вми из (5,29) почленным лнфферснднронвювем ао р,. Отсвовва следует, что и(х,у) уввоввгвсвворяст уравненюо Лапласа, гзк каь каясдыИ член ряда (6,29) являлся вармоювчсскоИ функцией. 11олавюв р=-- 1 н и11, в(в)= — /(1в), мь нз (4,29) нолу юем равепсв во т'(т).=- —,,"+ ) (а„соа лвь(+(в, залпов), и в котогвое бвугвст справедливым вврвв сделанном относительно у (ву) нредноюывсввюв, еюю вволвв.квыь а,, а, вв а„раювымн ( 29) Реп!ение ахлхчи лигихлт лля ! РУГА 247 ьозффв!нснтзм Фурье лля функвю /(й): а„=-- — „(/(Т') 1(л а, = — — ~ / (в) соз тг7 хйр; ! Г О ! р б, = — ! /(л) гнпп у И~.
(7 29) с) гебы рял (4,29) с козффипиен гамп, определенны як по г)юрмулам (7,29), левал рсгленне згыгачн Лирихле, лала показы ь сгце ненрсрыпность втой функции а замкнутом круге (см. 9 27). 11о прн р ~ 1 ряд (4,29) мохгно мажорироазть рядом схолвцимся в силу предположения о непрерывности второй п, „, аодн ия функции /( .) е) Таким образом, для дважды непоерыано лифференцнруемых граничных функций /(з) задача 7(ирнхле лля круга единичного радиуса рсюается рядом (4,29). Покажем теперь, что ряд (4,29), гле агн Ь„определяются формулзин (7,29), представляет (при р (1) реюение задачи Диряхле и е том случае, когда /(з) — произвольная ненре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
